Si en la última suma reemplazamos n por −n, resulta que ésta es igual a la primera entonces, ambas sumas son iguales, luego se tiene 4.1])ĺ(n[cosA...

Si en la última suma reemplazamos n por −n, resulta que ésta es igual a la primera entonces, ambas sumas son iguales, luego se tiene 4.1])ĺ(n[cosA n n ν+λ−∑ ∞+∞−= + 4.1])ĺ(n[cosA n n ν+λ−∑ ∞−∞= = 2.1∑ ∞+∞−=ν+λ− n n ])ĺ(n[cosA Entonces, el segundo término del desarrollo de 0´ee 1 ==     ∆ definido como P1, admite el desarrollo: P1 = − η2 2.1∑ ∞ ∞−=λ− n n )ĺ(ncosB )ĺ(cos[ λ− − ])´2ĺ(cos τ−λ− = − η2 2.1∑ ∞ ∞−=λ−+ n n )ĺ()1n(cosB + η2 2.1∑ ∞ ∞−=τ−λ++λ− n n ]´2ĺ)ĺ(n[cosB = − 2.1 η2 ∑ ∞ ∞−=λ−+ n n )ĺ()1n(cosB + 2.1 η2 ∑ ∞ ∞−=τ−λ+λ−+ n n ]´22)ĺ()1n([cosB Notar que, en la primera suma intercambiamos (n + 1) = n, luego n = n − 1; en la segunda suma realizamos la misma operación (o intercambio) y análogamente se opera con el tercer término, que contiene a η4 , definido como P2. Finalmente, se obtiene el siguiente desarrollo: 0´ee 1 ==     ∆ = 2.1∑ ∞ ∞−=λ− n n )ĺ(ncosA − − 2.1 η2         τ−λ+λ−−λ− ∑∑ ∞ ∞−= − ∞ ∞−= − n 1n n 1n ´22)ĺ(n[cosB)ĺ(ncosB + P2 + . . . Donde el termino P2 admite la siguiente expresión: P2 = 4.3 η4 2.1∑ ∞ ∞−=λ− n n )ĺ(ncosC [ )´´l(2cos22 τ−− − )l(2cos2 τ− + )´ĺl(2cos τ−+τ− + + ])´ĺl(2cos τ+−τ− Notar que: )´ĺl(2cos τ−+τ− = )´2ĺ(2cos τ−+λ y )´ĺl(2cos τ+−τ− = )ĺ(2cos λ− Entonces, P2 = 4.3 η4 2.1 {     λ−∑ ∞ ∞−=n n )ĺ(ncosC2 − 2 Cn cos [ n ( l´ − λ) + 2 ( l´ − τ´ )] − 2 Cn cos [n ( l´ − λ) + + 2 ( l − τ)] + Cn cos [n ( l´ − λ) + 2 (λ + l´ − 2 τ´ ) + Cn cos [n ( l´ − λ) + 2 ( l´ − λ )]}] Aplicando el operados Σ, suma, término a término se tiene: P2 = 4.3 η4 )ĺ(ncosCn λ−∑ − 4.3 η4 ]´22)ĺ()2n([cosCn τ−λ+λ−+∑ − − 4.3 η4 ]´22)l(n[cosCn τ−λ+λ−+∑ + 8.3 η4 ]´22)ĺ()2n([cosCn τ−λ+λ−+∑ + 8.3 η4 )]ĺ()2n([cosCn λ−+∑ NOTA: Las sumas anteriores son con respecto al índice n; ahora cambiamos los índices de la siguiente forma: En la segunda suma: n + 2 = n ⇒ n = n − 2 En la cuarta suma: n + 2 = n ⇒ n = n − 2 En la quinta suma: n + 2 = n ⇒ n = n − 2 Entonces, la parte principal de la función perturbadora, cuando las órbitas tienen excentricidades nulas o muy próximas a cero, tiene la expresión: 0´ee 1 ==     ∆ = ∑ λ− ])ĺ(n[cosMn + ]´22)ĺ(n[cosNn τ−λ+λ−∑ + ]´44)ĺ(n[cosPn τ−λ+λ−∑ + ]´66)ĺ(n[cosQn τ−λ+λ−∑ + . . . Los coeficientes admiten los siguientes desarrollos: nM = nA 2.1 − 1n 2 B 2.1−η + [ ]2n2 1n 4 CC 4.3−+η + . . . Nn = 1n 2 B 2.1−η − [ ]n2n2 14 CC 4.3−η − + . . . Pn = 2n 4 C 8.3−η + . . . iva, cuando e = e´ = 0, la parte principal de la función perturbadora se puede expresar de la siguiente forma ∆ 1 = ∑ τ−−λ− ]´)ji(jĺi[cosK ji (7.8) donde, un argumento cualquiera de la fórmula (7.8) tiene la expresión: i ( l´− λ) + h λ − h τ´ = i l´ − ( i − h ) λ + h τ´ = i l´ − j λ − ( i − j ) τ´. siendo h = − ( i − j ). Luego, para e = e´ = 0, resulta la ecuación (7.8). Notar que: para h = 0, jiK = Mi, j = i para j = i − 2, jiK = Ni, para j = i − 4, jiK = Pi, § 7.3 Desarrollo de la función perturbadora en series de potencias de e y e´. En esta sección vamos a analizar el desarrollo de la parte principal de la función perturbadora 1/∆ en serie de potencias de e y e´, i.e., cuando los elementos elípticos a ≠ r y e ≠ 0. Hemos analizado, consultar § 7.2, el desarrollo de 1/∆ en serie de potencias de 2η , considerando que e = e´ ≡ 0, en cuyo caso r = a, r´= a´, v = l y v´= l´, i.e., “elementos orbitales constantes”; dicho desarrollo se puede escribir, como hemos visto, de la siguiente forma: ∆ 1 = ∑ τ−−λ− ]´)ji(jĺi[cosK ji (7.8) donde, τ´ es la longitud media del nodo ascendente de m respecto de m´; definido por el arco: γ Ω´+ Ω´G (ver Figuras 35, pág.138) y λ = l + τ´ − τ (consultar pág. 141). El índice i, en la suma, varia desde +∞ a −∞ y los coeficientes jiK adoptan los siguientes desarrollos 1: Si j = i entonces, iiK = iM , coeficiente que