palabra puede significar también «tamaño». La dimensión más larga, en este sentido, de una caja es la que sea más grande de estas tres, pero realmente la «dimensión» más larga es la diagonal, que es mayor que cualquiera de estas. Los matemáticos y la ciencia se han decidido por una noción más general de dimensión, en la cual, podemos decir con seguridad, algún espacio tiene, por ejemplo, diez dimensiones, sin decir cuáles son estas dimensiones. El énfasis ha cambiado: el espacio tiene dimensión diez. No definimos cosas llamadas dimensiones y luego las contamos para probar que hay diez. Aclarado el punto, listas de diez cosas sí existen, pero no llamamos a estas cosas dimensiones. Las llamamos coordenadas. Los matemáticos no presentaron espacios de muchas dimensiones por diversión o para impresionar a la gente. Lo hicieron porque lo necesitaban. A finales del siglo XIX, una variedad de progresos, motivados por todo, desde la geometría pura a la mecánica celeste, parecían apuntar en la dirección de una misma idea. Casi al mismo tiempo, los físicos empezaron a darse cuenta de que muchas claves descubiertas cobraban más sentido si se formalizaban en un «espaciotiempo» de cuatro dimensiones: las tres dimensiones tradicionales del espacio más una extra del tiempo. Pero el tiempo no era la cuarta dimensión, solo una posibilidad. Abreviando una historia que es larga, la dimensión de un espacio es el número de coordenadas independientes necesarias para especificar las cosas que pertenecen a él. Espacios con muchas dimensiones proporcionan un modo conveniente de describir sistemas en los que le podemos dar los valores que queramos a muchas variables distintas. El «espacio» de todas esas elecciones tiene una estructura natural, una generalización directa de las dos y tres dimensiones matemáticas familiares. En particular, podemos especificar qué significa para dos «puntos» en uno de estos espacios estar cerca uno de otro; las variables que se corresponden la una con la otra deberían tener valores que estén cerca el uno del otro. Además, los «puntos» no necesitan realmente ser puntos. El plano es un conjunto de puntos, pero puede también ser pensado como, por ejemplo, una colección de elipses. El conjunto de todas las elipses en el plano es un objeto matemático interesante por derecho propio. ¿Cómo puedes especificar una elipse? Hagámoslo para la geometría euclídea, donde las imágenes nos son más familiares. Necesitas saber: • dónde está el centro de la elipse (2 números) • cómo de larga es (1 número) • cómo de ancha es (1 número) • cuál es su ángulo de inclinación (1 número) Por lo tanto, en resumen, para especificar una elipse usamos cinco números (véase la figura 30). El «espacio» de las elipses es de dimensión cinco. Y es un espacio en el sentido de que si cambias los números que representan una elipse en cantidades pequeñas, obtienes una elipse «cercana». Es muy parecida. Y cuanto más pequeño es el cambio, más parecidas son. Desde un punto de vista, el plano es bidimensional. Desde otro, tiene dimensión cinco. Pero es el mismo plano de un modo u otro, por lo tanto no tiene sentido afirmar que existe el espacio bidimensional pero no uno de dimensión cinco. Aquí hay dos aspectos de lo mismo. FIGURA 30. Se necesitan cinco números para determinar una elipse en el plano. Aparte de la familiaridad y la tradición, no hay una buena razón matemática para preferir el conjunto de puntos al conjunto de elipses. Qué punto de vista es mejor depende de las preguntas que estés haciendo. Debido a este tipo de razones los matemáticos llegaron no solo a tolerar espacios de dimensiones mayores, sino a sentirse perdidos sin ellos. Esta idea sencilla resultó ser tan útil que rápidamente invadió la física. Hoy en día, la física de partículas, por ejemplo, no puede ni siquiera plantearse adecuadamente sin usar espacios con prácticamente cualquier número de dimensiones. Los ingenieros también se unieron en el acto. Si estás intentando calcular las cargas y tensiones en una rejilla de 100 vigas de metal, entonces tienes 100 fuerzas con las que trabajar. Ya que no sabes qué son hasta que haces las cuentas, estás conceptualmente analizando una lista de 100 números arbitrarios y tratando de seleccionar el correcto. Esto es, estás buscando un punto en un espacio de 100 dimensiones. Los ingenieros encuentran esa terminología molesta y prefieren el concepto más físico de «grados de libertad». ¿Cuántas cosas diferentes pueden variar independientemente? Pero es la misma idea. Pensar en todas las posibles configuraciones de algunos sistemas complicados, como un «punto» en un «espacio» de todas las configuraciones potencialmente posibles, da una imagen tan vívida y un estímulo conceptual que han impregnado todas las ramas de la ciencia y más allá. Un ejemplo que viene al caso es el espacio del ADN. Una secuencia de, para simplificar, diez bases de ADN permite cuatro elecciones (A, C, G, T) en cada localización por separado. De modo que el «espacio del ADN», el conjunto de todas las posibles secuencias, puede pensarse como un «espacio» de dimensión diez, con cada dimensión individual tomando cuatro posibles valores: A, C, G o T. Reemplaza «diez» por cualquier otro número, tal como un millón, y lo mismo sigue vigente. Este espacio tiene una geometría natural. Dos secuencias están cerca la una de la otra si difieren en un número pequeño de posiciones. Por ejemplo, AAAAAAAAAA está muy cerca de AAAAACAAAA, un poco más lejos de AAAAACTAAA y aún más lejos de AAGAACTAAA, y así sucesivamente. La «distancia» entre dos secuencias es el número de bases en el cual difieren. Esta noción recuerda, en muchos aspectos, a la distancia en el plano bidimensional o el espacio tridimensional corriente, aunque difiere en otros. Si estás interesado en las bases genéticas de la evolución, cuya manifestación más sencilla son «mutaciones puntuales» en las que una base cambia, esta noción de distancia es ideal, es igual al número mínimo de mutaciones que podrían conducir una secuencia a otra. Los biólogos han encontrado el concepto