El plano es un conjunto de puntos, pero puede también ser pensado como, por ejemplo, una colección de elipses. El conjunto de todas las elipses en el plano es un objeto matemático interesante por derecho propio. ¿Cómo puedes especificar una elipse? Hagámoslo para la geometría euclídea, donde las imágenes nos son más familiares. Necesitas saber: dónde está el centro de la elipse (2 números), cómo de larga es (1 número), cómo de ancha es (1 número), cuál es su ángulo de inclinación (1 número). Por lo tanto, en resumen, para especificar una elipse usamos cinco números (véase la figura 30). El «espacio» de las elipses es de dimensión cinco. Y es un espacio en el sentido de que si cambias los números que representan una elipse en cantidades pequeñas, obtienes una elipse «cercana». Es muy parecida. Y cuanto más pequeño es el cambio, más parecidas son. Desde un punto de vista, el plano es bidimensional. Desde otro, tiene dimensión cinco. Pero es el mismo plano de un modo u otro, por lo tanto no tiene sentido afirmar que existe el espacio bidimensional pero no uno de dimensión cinco. Aquí hay dos aspectos de lo mismo. Aparte de la familiaridad y la tradición, no hay una buena razón matemática para preferir el conjunto de puntos al conjunto de elipses. Qué punto de vista es mejor depende de las preguntas que estés haciendo. Debido a este tipo de razones los matemáticos llegaron no solo a tolerar espacios de dimensiones mayores, sino a sentirse perdidos sin ellos. Esta idea sencilla resultó ser tan útil que rápidamente invadió la física. Hoy en día, la física de partículas, por ejemplo, no puede ni siquiera plantearse adecuadamente sin usar espacios con prácticamente cualquier número de dimensiones. Los ingenieros también se unieron en el acto. Si estás intentando calcular las cargas y tensiones en una rejilla de 100 vigas de metal, entonces tienes 100 fuerzas con las que trabajar. Ya que no sabes qué son hasta que haces las cuentas, estás conceptualmente analizando una lista de 100 números arbitrarios y tratando de seleccionar el correcto. Esto es, estás buscando un punto en un espacio de 100 dimensiones. Los ingenieros encuentran esa terminología molesta y prefieren el concepto más físico de «grados de libertad». ¿Cuántas cosas diferentes pueden variar independientemente? Pero es la misma idea. Pensar en todas las posibles configuraciones de algunos sistemas complicados, como un «punto» en un «espacio» de todas las configuraciones potencialmente posibles, da una imagen tan vívida y un estímulo conceptual que han impregnado todas las ramas de la ciencia y más allá. Un ejemplo que viene al caso es el espacio del ADN. Una secuencia de, para simplificar, diez bases de ADN permite cuatro elecciones (A, C, G, T) en cada localización por separado. De modo que el «espacio del ADN», el conjunto de todas las posibles secuencias, puede pensarse como un «espacio» de dimensión diez, con cada dimensión individual tomando cuatro posibles valores: A, C, G o T. Reemplaza «diez» por cualquier otro número, tal como un millón, y lo mismo sigue vigente. Este espacio tiene una geometría natural. Dos secuencias están cerca la una de la otra si difieren en un número pequeño de posiciones. Por ejemplo, AAAAAAAAAA está muy cerca de AAAAACAAAA, un poco más lejos de AAAAACTAAA y aún más lejos de AAGAACTAAA, y así sucesivamente. La «distancia» entre dos secuencias es el número de bases en el cual difieren. Esta noción recuerda, en muchos aspectos, a la distancia en el plano bidimensional o el espacio tridimensional corriente, aunque difiere en otros. Si estás interesado en las bases genéticas de la evolución, cuya manifestación más sencilla son «mutaciones puntuales» en las que una base cambia, esta noción de distancia es ideal, es igual al número mínimo de mutaciones que podrían conducir una secuencia a otra. Los biólogos han encontrado el concepto de espacio del ADN o espacio secuencia muy instructivo. Coincide con una idea similar usada en ciencias de la computación para describir mensajes digitales en teoría de la información. Los biólogos no están solos. Los economistas ven los precios de un millón de productos como un punto, o vector, en un espacio hipotético de dimensión un millón, y los procesos matemáticos que usan, tales como los métodos de optimización, son explícitamente motivados por esta imagen. Los astrónomos, tras descubrir que necesitaban 18 números para describir el estado del sistema Tierra-Luna-Sol, trabajan en un espacio matemático de dimensión dieciocho. La geometría de este espacio 18-dimensional les dice mucho sobre cómo se comporta este sistema de tres cuerpos. La tendencia de los virus a experimentar mutaciones genéticas ipso facto se delata por este tipo de uso del espacio multidimensional. Formaliza el uso de semejanzas en las secuencias del ADN para deducir cambios evolutivos pasados y clasifica virus en «cepas», diferentes variantes que surgen por la mutación o intercambio de material genético. Estos cambios son importantes en medicina porque las vacunas que funcionan para una cepa podrían no ser efectivas para otra cepa diferente. Probablemente recuerdes la pandemia de fiebre porcina de 2009, cuando una gran cantidad de muertes en México anunciaron la llegada de una nueva cepa del virus de la gripe. La secuenciación reveló que esta cepa, conocida como H1N1, se había desarrollado combinando material genético de cuatro cepas de gripe anteriores. Algún tiempo antes, tres cepas se habían combinado de este modo; una se produjo en los cerdos, una en pájaros y una en humanos. Esta nueva cepa pasó en buena parte desapercibida, hasta que se combinó con otro virus de la fiebre/gripe porcina. En este punto, la Organización Mundial de la Salud se hizo cargo y declaró que el virus era una pandemia mundial. Los gobiernos de todo el mundo se apresuraron a solicitar el suministro de la vacuna adecuada, adaptada a la nueva cepa. En este caso, H1N1 probó ser menos