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Universidad del Bío-Bío 
Facultad de Ingeniería 
Certamen 1 
Investigación de Operaciones I 
Ingeniería Civil Industrial mención Gestión de Operaciones 
Programa ICIV 
 
Profesor: Carlos Obreque Niñez 
Fecha: Martes 27 de Junio de 2006 
 
Problema 1. La dirección de un establecimiento educacional está planificando el paseo de fin de año para 
sus 400 alumnos. Para realizar este viaje, el colegio puede contratar el servicio de una empresa de 
transporte de la ciudad. Esta empresa dispone de 6 taxibuses y 9 microbuses con capacidad de 40 y 50 
asientos, respectivamente. Dada la diferente capacidad y calidad de los buses, el costo del viaje de cada 
taxibus es de 60000 pesos y el de cada microbús es de 80000 pesos. El gerente de la empresa, por política 
de seguridad, siempre arrienda sus vehículos de tal manera que por cada microbús debe incluir al menos 
dos taxibuses. ¿Cuántos buses de cada tipo le convendrá contratar al colegio para que el viaje le resulte lo 
más económico posible? 
 
a) Defina las variables de decisión y construya un modelo de PL para resolver este problema. 
b) Encuentre la solución óptima por el método gráfico. 
 
Problema 2. Considere el siguiente problema de programación lineal: 
 
Maximizar Z = 
s.a. 21
23 xx + 
 1052 21 ≥+− xx 
122 21 ≤+ xx 
0,8 21 ≥−≥ xx 
a) Dibuje la región factible 
b) Determine la solución óptima en forma gráfica. 
c) Escriba la forma estándar. 
d) Resuelva utilizando el algoritmo Simplex. 
 
Problema 3. Un comerciante compra azúcar a granel y vende al detalle. Para venderla tiene dos 
alternativas: confeccionar bolsas de 1 kg y bolsas de 5 kg. El precio de venta es $300 y $250 por kg, 
respectivamente. En el mercado del azúcar al detalle se pueden vender 20000 kg en bolsas de 1 kg y 
17000 kg en bolsas de 5 kg. Debido a un contrato anterior se deben entregar 5000 kg en bolsas de 5 kg a 
un determinado cliente. El comerciante se puede abastecer de azúcar desde dos proveedores. El primero le 
puede vender hasta 15000 kg a un precio de $90 por kg, y el segundo le ofrece la cantidad de azúcar que 
el comerciante desee, pero a un precio de $110 por kg. Debido a requerimientos de sus distribuidores el 
comerciante debe vender menos del 30% del total de azúcar en bolsas de 1 kg. Por otra parte, dispone de 
un presupuesto para la compra de azúcar de 2 millones de pesos. 
 
Además, suponga que el precio de los envases y el proceso de envasado son nulos, y que el comerciante 
no tiene azúcar almacenada y vende toda el azúcar que compra. 
 
Formule un modelo de programación lineal que permita al comerciante decidir cuál es el plan de 
abastecimiento y ventas de modo de obtener el mayor beneficio en su negocio. 
 
 
 
Problema 4. Un fabricante de televisores produce 4 modelos: uno de 14 pulgadas en blanco y negro, uno 
de 21 pulgadas en blanco y negro, uno de 14 pulgadas a color y uno de 21 pulgadas a color. Cada televisor 
requiere tiempos de armado y tiempos de prueba de acuerdo a la tabla siguiente. También se muestran las 
utilidades por cada televisor. 
 
 14´ Blanco y negro 21´ Blanco y negro 14´ Color 21´ Color 
Armado 8 10 12 15 
Pruebas 2 2 4 5 
Utilidad 40 60 80 100 
 
El tiempo disponible para armado es de 2000 horas semanales y el tiempo de prueba disponible es de 500 
horas semanales. El proveedor de pantallas tiene una capacidad de entrega de 180 pantallas semanales, de 
las cuales no más de 100 pantallas se pueden ocupar para fabricar los televisores a color. 
 
El siguiente modelo de programación lineal se puede utilizar para resolver este problema. 
 
Maximizar Z = 
s.a. 
40 + 60 + 80 + 100 1x 2x 3x 4x 
 8 +10 +12 +15 1x 2x 3x 4x ≤ 2000 
2 + 2 + 4 + 5 1x 2x 3x 4x ≤ 500 
 + + + 1x 2x 3x 4x ≤ 180 
 + 3x 4x ≤ 100 
1x , , , 0 2x 3x 4x ≥
 (1) 
 
(2) 
 
(3) 
 
(4) 
Donde, , , , son la cantidad de televisores a producir en la semana de 14´ en blanco y negro, 
21´ en blanco y negro, 14´ a color y 21´ a color, respectivamente. 
1x 2x 3x 4x
Considere las siguientes variables de holgura, , , y para cada una de las restricciones (1), (2), 
(3) y (4), respectivamente. Además, el algoritmo Simplex produce la siguiente tabla asociada a una sbf. 
5x 6x 7x 8x
 
 
Base 
1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x b 
Z 20 0 –10 0 0 30 0 –50 10000 
 –2 0 2 0 1 –5 0 10 500 
 1 1 –1/2 0 0 1/2 0 –5/2 0 
 0 0 1/2 0 0 –1/2 1 3/2 80 
 0 0 1 1 0 0 0 1 100 
 
 
 
 
 
 
 
a) La solución básica factible que se obtiene de la tabla, ¿es la solución óptima?. En caso afirmativo, diga los 
valores de todas las variables de decisión. En caso negativo, indique la variable que entra a la base, la que 
sale y realice una nueva iteración. 
b) De la tabla óptima, indique cuánto está dispuesto a pagar el fabricante por una hora adicional de tiempo de 
armado y por una hora adicional de tiempo de prueba. 
c) Si el fabricante insiste en fabricar un televisor de 14´ en blanco y negro, su ganancia total ¿aumenta o 
disminuye?, y ¿en qué cantidad?. 
d) Suponga que la utilidad de un televisor de 21´ en blanco y negro cambia de 60 a 70. ¿Qué propone Ud. 
para encontrar la nueva solución óptima, sin tener que resolver el problema desde un comienzo?. 
 
 
 
 
Tiempo: 2 horas. 
Puntajes: 25% cada problema. 
 
Problema 1. 
1x = Número de taxibuses a contratar 
2x = Número de microbuses a contratar 
 
Minimizar Z = 
s.a. 
60000 + 80000 1x 2x
 
1x 6 ≤
2x ≤ 9 
1x ≥ 2 2x
40 + 50 400 1x 2x ≥
1x ≥ 0, 0 2x ≥
Región Factible Vacía, el problema no tiene solución. 
 
Problema 2. 
Maximizar Z = 
s.a. 21
23 xx + 
 1052 21 ≥+− xx 
122 21 ≤+ xx 
0,8 21 ≥−≥ xx 
a) Región Factible 
 
b) Solución óptima: 
9
40*
1 =x , 9
34*
2 =x , 9
188* =Z 
c) Forma estándar 
08088 1111 ≥+=′⇒≥+⇒−≥ xxxx ⇒ 811 −′= xx 
 
Maximizar Z = 
s.a. 
3 – 24 + 2 1x′ 2x Maximizar Z
´ = 
s.a. 
3 + 2 1x′ 2x
 –2 + 16 + 5 10 1x′ 2x ≥
 – 8 + 2 12 1x′ 2x ≤
1x′ ≥ 0, 0 2x ≥
 
⇒ 
 –2 + 5 – 6 1x′ 2x ≥
 + 21x′ 2x ≤ 20 
1x′ ≥ 0, 0 2x ≥
 
Donde, Z ′ = Z +24 y 811 +=′ xx
 
Maximizar Z´ = 
s.a. 
3 1x′ + 2 2x
 2 1x′ – 5 + = 6 2x 3x
 1x′ + 2 + = 20 2x 4x
1x′ ≥ 0, 0, 0, 0 2x ≥ 3x ≥ 4x ≥
d) Algoritmo Simplex 
 
Base 
1x′ 2x 3x 4x b 
Z ′ – 3 – 2 0 0 0 
3x 2 – 5 1 0 6 
4x 1 2 0 1 20 
 
Base 
1x′ 2x 3x 4x b 
Z ′ 0 –19/2 3/2 0 9 
1x′ 1 – 5/2 1/2 0 3 
4x 0 9/2 – 1/2 1 17 
 
Base 
1x′ 2x 3x 4x b 
Z ′ 0 0 4/9 19/9 404/9 
1x′ 1 0 2/9 5/9 112/9 
2x 0 1 – 1/9 2/9 34/9 
 
De la tabla, =112/9, =34/9 y 1x′ 2x Z ′ =404/9. 
De donde: = – 8 = 40/9, =34/9 y 1x 1x′ 2x Z = Z ′ – 24 = 188/9 
 
Problema 3. Presentamos dos modelos para resolver el problema 
 
Modelo 1: 
1x = Bolsas de 1 Kg a vender 
2x = Bolsas de 5 Kg a vender 
3x = Kilos a comprar al proveedor 1 
4x = Kilos a comprar al proveedor 2 
 
Maximizar Z = 
s.a. 
300 + 1250 – 90 – 110 1x 2x 3x 4x
 
1x ≤ 20000 
2x ≤ 3400 
2x ≥ 1000 
3x ≤ 15000 
1x +5 = + 2x 3x 4x
1x ≤ 0.3 ( + 5 ) 1x 2x
90 + 1103x 4x ≤ 2000000 
1x ≥ 0, 0, 0, 0 2x ≥ 3x ≥ 4x ≥
 
Modelo 2: 
11x = Azucar para bolsas de 1 kg compradas al vendedor 1 
12x = Azucar para bolsas de 5 kg compradas al vendedor 1 
21x = Azucar para bolsas de 1 kg compradas al vendedor 2 
22x = Azucar para bolsas de 5 kg compradas al vendedor 2 
 
Maximizar Z = 
s.a. 
210 + 800 + 190 + 700 11x 12x 21x 22x
 
11x + 21x ≤ 20.000 
12x + 22x ≤ 3.400 
12x + 1.000 22x ≥
11x + 5 12x ≤ 15.000 
11x + 21x ≤ 0.3( + + 5( + )) 11x 21x 12x 22x
90( + 5 ) + 110( + 5 ) 11x 12x 21x 22x ≤ 2.000.000 
11x ≥ 0, 0, 0, 0 12x ≥ 21x ≥ 22x ≥
Problema 4. 
 
a) La sbf actual no es la óptima. Entra 8x , sale 5x 
 
Base 
1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x B 
Z 10 0 0 0 5 5 0 0 12500 
8x –1/5 0 1/5 0 1/10 –1/2 0 1 50 
2x 1/2 1 0 0 1/4 –3/4 0 0 125 
7x 3/10 0 1/5 0 –3/20 1/4 1 0 5 
4x 1/5 0 4/5 1 –1/10 1/2 0 0 50 
Esta tabla resulta ser la óptima. 
 
b) La solución básica factible de la tabla anterior es la óptima. Pararesponder estas preguntas debemos 
fijarnos en los costos reducidos de las variables de holgura asociados a la primera y segunda 
restricción. 
5 por una hora adicional de armado 
5 por una hora adicional de prueba 
 
c) 1x es la cantidad de televisores de 14´ en blanco y negro a producir. Como esta variable no está en la 
base, significa que no se fabrica ninguna unidad. De la primera fila se tiene: 
Z = 12500 – 10 – 5 – 5 1x 5x 6x
De donde, si =1, manteniendo en cero y se obtiene 1x 5x 6x Z =12490. Es decir, la ganancia total 
disminuye en 10. 
 
d) Reemplazar la primera fila de la última tabla por la expresión: Z – 40 1x – 70 2x – 80 3x – 100 4x = 0. 
Obtener la tabla en la forma canónica y aplicar el test de optimalidad. Si la nueva solución no es la 
óptima, iterar hasta encontrarla. 
 
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