Listado_MasaResorte

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS
FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
Ecuaciones Diferenciales MAT 525223
Práctico No 8
Problema 1.
Caracterizar le movimiento de los siguientes modelos y esbozar el gráfico de x(t):
a. ẍ(t) + 5ẋ(t) + 4x(t) = 0, x(0) = 1, ẋ(0) = 1.
b. Una masa que pesa 16 libras se une a un resorte de 5 pies de largo. En equilibrio
el resorte mide 8,2 pies. Si al inicio la masa se libera desde el reposo en un punto
2 pies arriba de la posición de equilibrio, encuentre los desplazamientos x(t) si se
sabe además que el medio circundante ofrece una resistencia numéricamente igual a
la velocidad instantánea.
En el caso que corresponda utilizar las funciones hiperbólicas.
Problema 2.
Una masa que pesa 8 libras alarga 2 pies un resorte. Suponiendo que ua fuerza amortiguada
que es dos veces la velocidad instantánea actúa sobre el sistema, determine la ecuación del
movimiento si la masa inicial se libera desde la posición de equilibrio con una velocidad
ascendente de 3 [pies/seg]. Esbozar la gráfica del desplazamiento en todo tiempo.
Problema 3.
Demuestre que la corriente i(t) en un circuito LRC en serie satisface la ecuación diferencial:
L
d
2
i
dt
(t) +R
di
dt
(t) +
1
C
i(t) = E0(t)
donde E0(t) es la derivada de E(t) el voltaje aplicado. Escribir la solución general ho-
mogénea en la forma de una sinusoide general amortiguada. Identificar el coeficiente de
amortiguación.
1
Gúıa de Ejercicios N
o
7
a. Construir la solución general de las siguientes EDOL:
a) 6x2y00(x) + 5xy0(x)� y(x) = 0.
b) 2x3y000(x) + 19x2y00(x) + 39xy0(x) + 9y(x) = 0.
c) x2y00(x)� 4xy0(x) + 6y(x) = 2x4 + x2.
d) x2y00(x)� xy0(x) + y(x) = x3.
b. Construir la solución del PVI:
y
00(t) + w2y(t) = 2 cos2(wt
2
), y(t
0
) = y
0
, y
0(t
0
) = y
1
c. Resolver el sistemas de ecuaciones resolviendo dos ecuaciones de segundo orden:
dx
dt
= 2x� y
dy
dt
= x
d. La temperatura u(r) es el anillo circular 0 < a < r < b se determina a partir del
PVC:
r
d
2
u
dr
2
(r) +
du
dr
=
d
dr
✓
r
du
dr
◆
(r) = 0, u(a) = u
a
u(b) = u
b
.
Establecer que
u(r) =
u
a
ln(r/b)� u
b
ln(r/a)
ln(a)� ln(b) .
e. Considere un sistema masa resorte libre no amortiguado, con constante de resorte,
k = 10[ libras
pie
]. Determine la masa m que puede sujetarse al resorte de manera que
cuando se libere en la posición de equilibrio en t = 0 con velocidad inicial v
0
, pase
por la posición de equilibrio en t = 1 segundo. ¿Cuántas veces atravesará la masa la
posición de equilibrio en el intervalo de tiempo 0 < t < 1?
f. Determinar el valor de m tal que el desplazamiento de la masa pase por el punto de
equilibrio en t = 1 segundo si consideramos el sistema masa resorte amortiguado:
mx
00(t) + 2x0(t) + 10x(t) = 0, x(0) = 0, x0(0) = v
0
.
g. Considere dos esferas de radios r = a y r = b con 0 < a < b. En la región localizada
entre las esferas, la temperatura, u(r), se determina a partir del PVC:
ru
00(r) + 2u0(r) = 0, u(a) = u
0
, u(b) = u
1
Resuelva para u(r) multiplicando la ED previamente por r.
13/10/14
FMC/FPV/fpv
2