9 - Aritmética - Laura Blanco Carmona (1)

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ARITMÉTICA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo : Anual Virtual UNI
Docente: Ramiro Díaz
REGLA DE MEZCLA I
REGLA DEL TANTO 
POR CIENTO II 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
Objetivos 
• Realizar aumentos y descuentos
sucesivos porcentuales .
• Aplicar el tanto por ciento en
las actividades de compra
venta de productos.
• Calcular el precio medio(precio
de costo por unidad de
mezcla).
• Emplear la igualdad de
ganancia y pérdida aparente
en la mezcla de ingredientes
en la resolución de problemas.
Con tarjeta CHIPLEY
AUMENTOS Y 
DESCUENTOS 
SUCESIVOS 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
DESCUENTOS SUCESIVOS
Son descuentos que no se aplican
sobre la misma cantidad inicial, sino
sobre lo que va quedando. Cuando
hagamos descuentos sucesivos, el
primer descuento se aplica a la
cantidad inicial, y los siguientes
descuentos, se irán aplicando a la
cantidad que va quedando.
Ejemplo:
¿ A que descuento único equivale dos
descuentos sucesivos del 20% y 30% ?
Sea N (100%N) la cantidad inicial
1° descuento Queda
20%(N) 80%(N)
El segundo descuento se realizara sobre
lo que queda: 80%(N)
2° descuento Queda
30%[80%(N)] 70%[80%(N)]
Luego de los dos descuentos quedará
70%[80%(N)]
Se recomienda dejar un 
% para poder comparar
= 56%(N)
N – 56% N 
El descuento único será:
(100%) =44%(N) 𝐷ú𝑛𝑖𝑐𝑜 = 44%
Otra forma
Cada descuento que se va realizando se hace independientemente sobre
el 100%,y lo que se obtiene se antepone a lo anterior. Finalmente todo se
multiplica quedándonos con un solo % para poder comparar con lo inicial.
Sea N la cantidad inicial
Queda:
𝐷1 = 20%
80%(N)
𝐷2 = 30%
70% × = 56%(N)
Luego: N – 56% N = 44%(N)
∴ 𝐷ú𝑛𝑖𝑐𝑜 = 44%
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
También
Dos descuentos sucesivos del 𝐷1% y 𝐷2%
equivalen a un descuento único (Du) según
la siguiente relación
Du = 𝐷1 + 𝐷2 −
𝐷1. 𝐷2
100
%
APLICACION
Fernando compró su automóvil en mayo del 2018;
observando que en el primer año se devalúa en un
20 % y en el segundo año 30 % respectivamente. Si
en mayo de este año (2020); su precio es de 25200
soles, ¿cuántos pagó Fernando por su automóvil ?
Resolución
Piden el precio del automóvil en el 2018
Sea P el precio en el 2018
Precio en el 2020:
𝐷1 = 20%
80%(P)
𝐷2 = 30%
70% × = 56%(P)
Por dato: 56%(P) = 25200
56
100
(𝑃) = 25200
𝑃
100
= 450
P=45000
∴ 𝐸𝑙 2018 𝐹𝑒𝑟𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑔ó 45000, 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑚𝑜𝑣𝑖𝑙
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
AUMENTOS SUCESIVOS
Son aumentos que no se aplican sobre
la misma cantidad inicial, sino sobre
lo que se va teniendo. Cuando
hagamos aumentos sucesivos, el
primer aumento se aplica a la cantidad
inicial, y los siguientes aumentos, se
irán aplicando a la cantidad que se va
teniendo.
Ejemplo:
¿ A que aumento único equivale dos
aumentos sucesivos del 40% y 30% ?
Sea N (100%N) la cantidad inicial
1° aumento Se tendrá
40%(N) 140%(N)
El segundo aumento se realizara sobre
lo que se tiene: 140%(N)
2° Aumento Se tendrá
30%[140%(N)] 130%[140%(N)]
Luego de los dos aumentos se tendrá
130%[140%(N)]
Se recomienda dejar un 
% para poder comparar
= 182%(N)
El aumento único será:
182%N - 100% N =82%(N) 𝐴ú𝑛𝑖𝑐𝑜 = 82%
Otra forma Cada aumento que se va realizando se hace independientemente sobre el
100%,y lo que se obtiene se antepone a lo anterior. Finalmente todo se
multiplica quedándonos con un solo % para poder comparar con lo inicial.
Sea N la cantidad inicial
Se tendrá:
𝐴1 = 40%
140%(N)
𝐴2 = 30%
130% × =182%(N)
Luego: 182%N – N = 82%(N)
∴ 𝐴ú𝑛𝑖𝑐𝑜 = 82%
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También
Dos aumentos sucesivos del 𝐴1% y 𝐴2%
equivalen a un descuento único (Au)
según la siguiente relación
Au = 𝐴1 + 𝐴2 +
𝐴1. 𝐴2
100
%
APLICACION
Los precios de las mascarillas de tipo N95 se han
incrementado en forma sucesiva en 25%, 20% y
50% en estos últimos tres meses; por motivo de
la pandemia por el COVID 19. Si hoy en día tiene
un precio de 36 soles. ¿Cuál era su precio hace
tres meses?
Resolución
Piden el precio hace tres meses
Consideremos el Precio Inicial : N
Aumento: 25% 20%
125% 120%
50%
150% NPrecio final: × ×
Se recomienda dejar un 
% para poder comparar
5
4
×
6
5
× 150% N
225% N
Por dato 225% N = 36
N = 16
∴ 𝐸𝑙 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑒𝑟á 16 soles
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APLICACION
Ramiro invierte su capital en un
negocio. En el primer mes pierde el
20%, en el segundo mes pierde el
30% de lo que quedaba y en el
siguiente mes gana el 60% del nuevo
resto. Si al final de los 3 meses se
retiro del negocio con S/4032, ¿
Gano o perdió Ramiro en este
negocio y cuánto?
A) Gana 432
B) Pierde 432
C) Gana 468
D) Pierde 468
E) No gana ni pierde
Resolución
Piden si Ramiro ganó o perdió y cuanto
PierdePierdeGana
20%30%60%
Supongamos que invirtió : N (al inicio)
80% N70%160% × ×Al final tendrá:
89,6% N
Ya se puede observar que 
perdió ya que es menor 
al 100%
Por dato
89,6% N = 4032
= 4500N
Se observa que perdió: 4500 -4032=468
∴ 𝑅𝑎𝑚𝑖𝑟𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖ó 468 soles
APLICACIONES 
COMERCIALES 
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APLICACIONES COMERCIALES
Henrry Adquiere un lote de 50 
pantalones a 4000(80 soles c/u)
𝑷𝑪 = 𝟖𝟎
Precio de costo
𝑷𝒇 = 𝟏𝟖𝟎
Precio fijado
Tambien se le
llama precio de
lista( 𝑃𝐿) ; precio
marcado o precio
ofrecido.
Incremento=100
D=20%(180)
Se ofrece un 
descuento(rebaja) 
del 20 %
=36𝑷𝒗 = 𝟏𝟒𝟒
Precio de venta
Ganancia<> 𝑮𝒂𝒏𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒃𝒓𝒖𝒕𝒂
𝑮 = 𝑮𝑩 = 𝟔𝟒
𝐺 = 80%(𝑃𝑐)
Gastos=14 𝑮𝑵 = 𝟓𝟎
Ganancia Neta
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DE LO ANTERIOR SE TENDRÁ
Pc Pv Pf
G D
A
Gn Gastos
Donde
Pc: precio de costo 
Pv: precio de venta 
Pf: precio fijado o precio de lista
G: ganancia o ganancia bruta(𝐺𝐵)
D: descuento A: aumento o incremento
Se observa:
Pv = Pc + G= Pc + G bruta Pv = Pf – D 
G bruta= G neta + gastos 
En este caso se ha considerado 𝑷𝑽 > 𝑷𝑪
No es muy común, pero si 𝑷𝑽 < 𝑷𝑪, significa que hay pérdida(P)
Pv = Pc – P En ese caso tendremos:
APLICACION
Para fijar el precio de un PS4 que Heber trajo de Tacna; le aumenta a su costo S/800. Si al
vendérselo a Luís, le hace un descuento del 20% y aún así gana el 30% ¿Cuánto le costo a Heber
el PS4?
Resolución Piden: Precio de costo del PS4
20%
(𝐺) (𝐷)
𝑃𝑐 𝑃𝑓
Graficando:
𝑃𝑉
S/800(𝐴)
𝑃𝑓30% 𝑃𝑐
Se observa:
𝑃𝑉 =130% 𝑃𝑐 80% 𝑃𝑓=
13𝑃𝑐 8(𝑃𝑐 +800)=
5𝑃𝑐 6400=
𝑃𝑐 1280=
∴El precio de costo del PS4 es S/1280
100%𝑃𝑐 100%𝑃𝑓
𝑃𝑓 𝑃𝑐 S/800= +
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OBSERVACIÓN
• La ganancia o la pérdida, se entenderá que es un tanto por
ciento del precio de costo (si no se menciona con respecto
a quien se aplica)
• El descuento, se entenderá que es un tanto por ciento del
precio fijado (si no se menciona con respecto a quien se
aplica)
• El aumento, si no se menciona nada, se entenderá que es
un tanto por ciento del precio de costo
APLICACION
Un vendedor de electrodomésticos vende dos equipos de
sonido de diferente modelo al mismo precio cada uno. En
uno de ellos gana el 20% y en el otro pierde el 20% del
costo. Indique si gano o perdió, y que tanto por ciento.
A)No gana ni pierde
B)Pierde el 8%
C)Gana el 8%
D)Pierde el 4%
E)Gana el 4%
Resolución
Piden si se gana o pierde y que tanto por ciento
5
𝑃𝑐1 𝑃𝑉
6
𝐺 = 1
5
𝑃𝑐2 𝑃𝑉
4
𝑃 =1
Tener en cuenta que: 20% =
1
5
Los precios
de venta
son iguales
homogenizamos
Equipo 1
Equipo 2
Mcm(4;6)=12
X (2k)
X (2k)
X (2k)
X (3k)
X (3k) X (3k)
Costo total
25K
Venta total
24K
Pierde K
%𝑝é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 =
𝑘
25𝑘
×100% = 4%
∴ 𝑃𝑒𝑟𝑑𝑖ó 𝑒𝑙 4%
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Un libro se ofrece en venta recargándose el “r” por ciento del precio de
costo, pero a un estudiante al comprarlo le rebajaron el “p” por ciento. Si
el vendedor no gano ni perdió, ¿Cuánto le rebajaron al estudiante?
A)
100
(100+r)
B) 
r+100
100r
C) 
100+r
r
D) 
1
0,01+
1
r
E)
1
0,001−
1
r
EXAMEN UNI 2010-I
Resolución 
𝑷𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 𝑷𝑽𝒆𝒏𝒕𝒂 𝑷𝑭𝒊𝒋𝒂𝒅𝒐
𝑁
𝒓𝒆𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂𝒏𝒅𝒐𝒔𝒆 𝒆𝒍 𝒓% 𝒅𝒆𝒍 𝑷𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐
100 + 𝑟 % 𝑁
𝒅𝒆𝒔𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒆𝒍 𝒑% 𝒅𝒆𝒍 𝑷𝒇𝒊𝒋𝒂𝒅𝒐
𝟏𝟎𝟎 − 𝒑 %. 𝟏𝟎𝟎 + 𝒓 %𝑵
𝒏𝒐 𝒈𝒂𝒏𝒂 𝒏𝒊 𝒑𝒊𝒆𝒓𝒅𝒆
Piden cuanto le rebajaron al estudiante
Del enunciado tenemos:
𝑷𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 = 𝑷𝑽𝒆𝒏𝒕𝒂
𝑁 = 100 − 𝑝 % 100 + 𝑟 % 𝑁
100
(100 + 𝑟)
= 100 − 𝑝 %
100
(100+𝑟)
= 1 −
𝑝
100
𝑝
100
= 1 −
100
(100 + 𝑟)
𝑝
100
=
100 + 𝑟 − 100
(100 + 𝑟)
𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝟏𝟎𝟎𝒓
𝑝 =
1
1
𝑟
+ 0,01
𝑝 =
100𝑟
100 + 𝑟
Del gráfico se observa
Finalmente:
REGLA DE MEZCLA I
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
REGLA DE MEZCLA
C U R S O D E A R I T M É T I C A
Es un procedimiento aritmético, que nos
permite en particular encontrar el precio
de costo por unidad de mezcla (precio por
Kg, por litro; etc). Y calcular las cantidades
de ingredientes que componen la mezcla
al conocer sus respectivos precios
unitarios y el precio de costo de la mezcla
obtenida.
MEZCLA
Es la unión de 2 o mas sustancias que al
agregarse; conservan su propia naturaleza
(MEZCLA HOMOGENEA)
En nuestro curso básicamente estudiamos 
a la mezcla desde el punto de vista 
comercial.
POR EJEMPLO
Si mezclamos varios tipos de café el resultado será café
+ + =
PRECIO MEDIO(𝑷𝒎)
Llamado también precio promedio o precio de equilibrio, es aquel precio que se
obtiene al mezclar dos o más sustancias de diferentes precios, en el cual no se gana
ni se pierde.
Dados los ingredientes
PRECIOS UNITARIOS:
C3C1 C2
CANTIDAD:
El Precio Medio (𝑃𝑚) se calculará : 𝑃𝑚 =
𝑃1𝐶1 + 𝑃2𝐶2 + 𝑃3𝐶3
𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3
𝑃1 𝑃2 𝑃3
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
EJEMPLO EXPLICATIVO
Leonardo mezcla 20 kg de café superior cuyo
precio x Kg es s/ 16 con 30 kg de café de
exportación cuyo precio x kg es s/ 26 . Se pide
determinar:
a. El precio de costo por kg de la mezcla (precio
medio).
b. A cómo se debe vender el Kg para ganar el
25%.
c. Qué sucede en el precio medio.
Solución:
se tiene
Superior
Exportación
20 kg
30 kg
Costo x kg
s/ 16
s/ 26
50 kg
𝑃𝑚 =? ?
a. Para hallar el precio de costo x kg de la mezcla
Tendremos en cuenta :
𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
Luego:
20(16) + 30(26)
20 + 30
=
1100
50
=22
𝐏𝐦 =
b. Para hallar el precio de venta; tengamos en cuenta que el precio medio
es el precio de costo
De ahí:
PV = Pm + G
Se observa: 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐 < 𝐏𝐦 < 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐
Luego:
PV = 22 + 25%(22)
PV = 27,5
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
c. Veamos ahora que sucede en el precio
medio
20 kg 30 kg
s/ 16 s/ 26
50 kg
𝑃𝑚 = 22
Gana s/ 6 Pierdes/4
Ganancia
20(6)
Pérdida
30(4)
120 120
=
aparente aparente
=
En el 𝑃𝑚 no se gana ni se pierde 
Para “n” ingredientes
En general:
𝑃𝑚 =
𝑐1. 𝑝1 + 𝑐2. 𝑝2 +⋯+ 𝑐𝑛. 𝑝𝑛
𝑐1 + 𝑐2 +⋯+ 𝑐𝑛
Se observa:
I. Si 𝑐1 = 𝑐2 = 𝑐3 = ⋯ = 𝑐𝑛
𝑃𝑚 = 𝑚𝑎(𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜𝑠)
II. Si 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝐈𝐏 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜𝑠
𝑃𝑚 = 𝑚ℎ(𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜𝑠)
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APLICACION
Arturo mezcla cantidades enteras de 3
tipos de vino cuyos precios por litro son
S/12, S/9 y S/18 respectivamente,
obteniendo 117 litros de mezcla. Si vende
cada litro a S/15 ganando el 25%
¿Cuántos litros de vino de S/18 utilizó si
se sabe que la tercera parte de la mezcla
esta conformada por vino de S/12?
A) 15
B) 18
C) 24
D) 26
E) 32
Resolución
Piden la cantidad de vino de s/ 18 
Tengamos en cuenta que: 1
3
117 = 39 litros Es la cantidad de vino de s/12 el litro
𝑃𝑉 𝑃𝑚 𝐺= +
S/15 𝑃𝑚 25%𝑃𝑚= +
S/15 125%𝑃𝑚=
S/12 𝑃𝑚=
Primero hallemos el 𝑃𝑚:
39Lts M N
S/9 S/18S/12
𝑃𝑚 =S/12
+3 -6+0
117Lts
CANTIDADES
𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑃é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎
𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
=
S/3.M S/6.N=
M 2N=
=??
Luego: 39+M+N =117
3N =78
N =26
∴Se utilizó 26 Litros de vino de S/18
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e