Cálculo de integrales de línea

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En los siguientes ejercicios evalúa las integrales de línea dadas sobre las curvas indicadas:
𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠(𝑡) 𝑦 = 𝑎𝑠𝑖𝑛(𝑡) 𝑧 = 𝑡
𝑑𝑥 =− 𝑎𝑠𝑖𝑛(𝑡)𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 𝑎𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑑𝑡 𝑑𝑧 = 𝑑𝑡
0
2π
∫ 𝑥𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦 + 𝑧𝑑𝑧
0
2π
∫ (𝑎𝑐𝑜𝑠(𝑡) *− 𝑎𝑠𝑖𝑛(𝑡)𝑑𝑡) + (𝑎𝑠𝑖𝑛(𝑡) * 𝑎𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑑𝑡) + 𝑡𝑑𝑡
0
2π
∫ (− 𝑎2𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑠𝑖𝑛(𝑡)𝑑𝑡) + (𝑎2𝑠𝑖𝑛(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑑𝑡) + 𝑡𝑑𝑡
0
2π
∫ 𝑡𝑑𝑡
(2π)2
2
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
− 0[ ]
2π2
En los siguientes ejercicios evalúa las siguientes integrales de línea sobre las curvas cerradas
indicadas:
x = 2 dx = 0
𝑦 = 𝑥
3
4 𝑑𝑦 =
3𝑥2
4
0
2π
∫ (2 + 𝑥
3
4 )(0) + (2)(
𝑥3
4 )(
3𝑥2
4 )
0
2π
∫ (0) + (2)( 𝑥
3
4 )(
3𝑥2
4 )
= 3, 845. 556
𝑥 = 𝑦2 𝑑𝑥 = 𝑦
𝑦 = 𝑥2 𝑑𝑦 = 𝑥
0
2π
∫ (𝑒𝑦
2
− (𝑦2)2(𝑥2))𝑦 + 3(𝑦2)2(𝑥2)(𝑥)
= 𝑒
4π2−1
2 −
32π6𝑥2
3 +
96π5𝑥3
5
En los siguientes ejercicios, calcula el trabajo realizado por cada uno de los siguientes
campos vectoriales al moverse sobre la trayectoria dada, el arco se mide en metros y la
fuerza en Newtons.
𝑥 = 𝑡 𝑦 = 𝑡2 𝑧 = 𝑡3
𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 2𝑡𝑑𝑡 𝑑𝑧 = 3𝑡2𝑑𝑡
𝑊 =
0
2
∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧
𝑊 =
0
2
∫ 𝑒𝑡𝑑𝑡 + 𝑒𝑡
2
2𝑡𝑑𝑡 + 𝑒𝑡
3
3𝑡2𝑑𝑡
𝑊 =
0
2
∫ 𝑒𝑡𝑑𝑡 +
0
2
∫ 𝑒𝑡
2
2𝑡𝑑𝑡 +
0
2
∫ 𝑒𝑡
3
3𝑡2𝑑𝑡
𝑊 = 𝑒2 − 1[ ] + 𝑒4 − 1[ ] + 𝑒8 − 1[ ]
𝑊 = 3039. 94518 𝐽