Introducción a la mecánica teórica Ejercicio 2 2 - Williams Bonifacio

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Factorizando v
2
0
g y obteniendo la raiz:
(x1 − x2)2 =
(
v20
g2
)
(v20 − 4gh)
d = v0
g
√
v20 − 4gh)
2. A particle is projected vertically upward in a constant gravitational fiel with
an initial speed v0. Show that if there is a retarding force proportional to the
square of the instantaneous speed, the speed of the particle when it returns
to the initial position is
v0vt√
v2o + v2t
where vt is the terminal speed.
La ecuación para el movimiento hacia arriba es
mẍ = −mkv2 −mg
Tenemos entonces:
d2x
dt2
= dv
dx
dx
dt
= v dv
dx
Reescribiendo la ecuación:
vdv
kv2 + g = −dx
Integrando ∫
vdv
kv2 + g =
∫
−dx 12k ln(kv
2 + g) = −x+ C
De las condiciones iniciales v = v0 y x = 0, podemos calcular C,
C = 12k ln(kv
2
0 + g)
Sustituyendo C:
x = 12k ln
(
kv20 + g
kv2 + g
)
Tomando v = 0
xh =
1
2k ln(
kv20 + g
g
2
Ejercicios 2. Introducción a la Mecánica Teórica
Williams B.
Para el movimiento hacia abajo se tiene la siguiente expresión:
mẍ = −mkv2 +mg
Por lo que
vdv
−kv + g = dx
Integrando y utilizando las condiciones iniciales v(0) y x(0) podemos hallar
C:
xh =
1
2k ln
(
g
g − kv2
)
Despejando para v
1
2k ln
(
g
g − kv2
)
= 12k ln
(
kv20 + g
g
)
g
g − kv2
= kv
2
0 + g
g
g − kv2
g
= g
kv20 + g
1− kv
2
g
= g
kv20 + g
−kv
2
g
= −kv
2
0
kv20 + g
−kv2 = −gkv
2
0
kv20 + g
v2 = gkv
2
0
k2(v20 +
g
k )
v =
√
g
kv
2
0
v20 +
g
k
La velocidad terminal está dada mediante mkv2t = mg
vt =
√
g
k
Sustituyendo
v =
√
v2t v
2
0
(v20 + v2t )
= vtv0√
(v20 + v2t )
3. A particle of mass m slides down an inclined plane under the influence of
gravity. If the motion is resisted by a force f = kmv2, show that the time
required to move a distance d after starting from rest is
t = cosh
−1(ekd)√
kgsinθ
3