Probabilidad: axiomas e propriedades

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Lectura 5: Probabilidad: axiomas y propiedades
Estadística
Octubre 22, 2014
1. Axiomas de la probabilidad
1.1. Probabilidad
Deseamos expresar qué tan posible es que un evento ocurra. Para hacerlo, se le asigna
una probabilidad a cada evento.
1. Para cualquier evento A, P (A) ≥ 0
2. P (S) = 1
3. Si A1, A2, . . . es un conjunto de eventos disjuntos, entonces
P (A1 ∪ A2 ∪ . . .) =
∞∑
i=1
P (Ai)
La probabilidad debe ser no negativa según el axioma 1. Y de 3 se observa que para dos
eventos A1 y A2, la probabilidad de que al menos uno de los dos ocurra es la suma de las
dos probabilidades. Ademas, se puede mostrar que P (∅) = 0 haciendo A1 = A2 = ∅.
Interpretación de probabilidad
Frecuentemente, la probabilidad se interpreta con la noción de distribución de frecuencias.
Por ejemplo, considere lanzar un dado muchas veces de manera idéntica e independiente. Y
1
sea A el evento de obtener el “6”. La frecuencia relativa de A la podemos calcular dividiendo
el número de veces que se obtuvo el “6” entre el número de veces que se lanzó el dado. A
mayor número de repeticiones, dicha frecuencia relativa de A se estabiliza y tiende a 0,1667.
Por lo tanto, se puede establecer que la probabilidad de A es 0,1667 y es el límite de la
frecuencia relativa de A cuando el número de repeticiones es grande. La interpretación es
que de un gran número de lanzamientos de dado, el 16.67% aproximadamente resultarán en
“6”.
A continuación se presenta dicho experimento pero simulado en R. La idea es que se
lanzará el dado n veces, y se construye el histograma de frecuencias del puntaje observado
del dado. El código se muestra a continuacion:
# Lanzamiento de un dado:
n <- 6000 # número de lanzamientos del dado
dado <- NULL
for (i in 1:n)
{
dado[i] <- sample(1:6,size = 1) # Genera un aleatorio entre 1 y 6
}
hist(dado,breaks = 0.5:6.5)
Cuando n es pequeño, se tiene un histograma (ver Fig. 1) donde no se refleja que existe
la misma frecuencia y probabilidad de obtener cualquier puntaje. Sin embargo, con valores
de n grandes, se puede observar que el histograma se hace más plano. La Fig. 2 muestra los
resultados del experimento simulado con n = 6000. Por lo tanto, la frecuencia correspondiente
a cada puntaje debe ser alrededor de 1000 para tener una probabilidad aproximadamente
1/6.
2
n = 10
dado
F
re
qu
en
cy
1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
Figura 1: Histograma para el lanzamiento del dado con n = 10
n = 6000
dado
F
re
qu
en
cy
1 2 3 4 5 6
0
20
0
60
0
10
00
Figura 2: Histograma para el lanzamiento del dado con n = 6000
3
1.2. Propiedades
Proposición. Para cualquier evento A, P (A) + P (A′) = 1, a partir de la cual P (A) =
1− P (A′).
Demostración. ?
Proposición. Para cualquier evento A, P (A) ≤ 1.
Demostración. ?
Proposición. Para dos eventos cualquiera A y B,
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
Demostración. ?
Si A y B son mutuamente exclusivos, entonces P (A ∩B) = 0, luego
P (A ∪B) = P (A) + P (B)
4
Cuando se tienen tres eventos A,B y C, se puede ampliar la expresión anterior para
llegar a:
P (A ∪B ∪ C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A ∩B)−P (A ∩ C)−P (B ∩ C)+P (A ∩B ∩ C)
Ejemplo 1. Muestre el resultado anterior para P (A ∪B ∪ C).
Determinación sistemática de probabilidades
Para espacios muestrales finitos1, donde los Ei’s son eventos simples (un solo resultado),
se tiene que
∑
i P (Ei) = 1. Entonces, la probabilidad de un evento compuesto A se calcula
sumando las probabilidades de los eventos Ei contenidos en A
P (A) =
∑
Ei∈A
P (Ei)
Cuando un experimento tiene N resultados donde cada uno de ellos tiene la misma
probabilidad de ocurrencia, se tiene entonces que P (E1) = P (E1) = . . . P (EN) = p, y por
tanto,
∑
i
P (Ei) =
∑
i
p = 1, entonces p =
1
N
1Espacio muestral finito o contablemente infinito implica que los resultados de un experimento pueden
listarse en una secuencia infinita
5
Este caso es muy común en situaciones donde el “azar” es un factor determinante. Por
ejemplo, al lanzar la moneda se tienen dos resultados con la misma probabilidad siempre y
cuando la moneda sea uniforme. Realizar un muestreo aleatorio simple implica que cualquier
muestra tiene la misma probabilidad de ser seleccionada.
Ejemplo 2. Al lanzar un dado, cual es la probabilidad de que el resultado sea impar?
Solución.
Ejemplo 3. Un dado está cargado de manera que obtener un número par tiene el doble de
probabilidad de ocurrir que un número impar.
(a) Encuentre la probabilidad de que ocurra un número menor que 4 en un único lanzamiento
del dado.
(b) Encuentre la probabilidad de que ocurra un número par divisible por 3.
(c) Encuentre la probabilidad de que ocurra un número par o que sea divisible por 3.
Solución.
6
Ejemplo 4. Asuma que un experimento consiste en escribir la fecha de cumpleaños de 4
personas. Calcule:
(a) La probabilidad de que todas las personas cumplen años el mismo día.
(b) La probabilidad de que ninguna persona comparta la fecha de cumpleaños.
(c) La probabilidad de al menos dos personas compartan la fecha de cumpleaños.
Repita dichos cálculos en el caso de 35 personas.
Solución.
Ejemplo 5. (Problema 2.55 de [2]). Los códigos de los productos de una tienda empiezan
con 3 diferentes letras seguidas de 4 digitos distintos diferentes de zero. Encuentre la proba-
bilidad de que al seleccionar aleatoriamente un producto el código empiece con una vocal y
termine con un numero par.
Solución.
7
Ejemplo 6. (Ejemplo 2.22 de [1]). Una lista de reproducción de iPod contiene 100 canciones,
de las cuales 10 son de “The Beatles”. Supongamos que la función de reproducción aleatoria
se utiliza para reproducir las canciones en orden aleatorio.
(a) Cuál es la probabilidad de que la primera canción de The Beatles sea la quinta canción
reproducida? R/ 0.06788.
(b) Cuál es la probabilidad de que una o más de las primeras cinco canciones que se repro-
ducen sea una canción de The Beatles? R/ 0.41625.
Solución.
Ejemplo 7. (Ejercicio 25 del capítulo 2 de [1]). Las tres opciones más populares en un tipo
de automóvil nuevo son GPS (A), sunroof (B), y transmisión automática (C). Si 40% de
todos los compradores solicitan A, 55% solicitan B, 70% solicitan C, 63% solicitan A o
B, 77% solicitan A o C, 80% solicitan B o C, y 85% solicitan A o B o C, calcule las
probabilidades de los siguientes eventos:
(a) El siguiente comprador solicitará por lo menos una de las tres opciones.
(b) El siguiente comprador no seleccionará ninguna de las tres opciones.
(c) El siguiente comprador solicitará sólo una transmisión automática y ninguna de las otras
dos opciones.
(d) El siguiente comprador seleccionará exactamente una de estas tres opciones.
8
Solución.
Referencias
[1] Jay L. Devore. Probabilidad y estadistica para ingenieria y ciencias, Octava edicion.
Cengage Learning, Julio 2011.
[2] Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, and Keying Ye. Probability &
statistics for engineers & scientists, 9th ed. Pearson, 2011.
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