Distribuição Exponencial e Uniforme em Estatística

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Lectura 11: Distribución exponencial y uniforme
Estadística
Diciembre 3, 2014
1. Distribución Exponencial
(Parte de este material ha sido adoptado de [2].) Una de las aplicaciones más útiles de
la distribución exponencial es el modelado de tiempos para falla de un componente. Con la
distribución de Poisson podíamos determinar la cantidad de fallas en un dispositivo durante
un periodo t. En dicha lectura, encontramos tambien que la probabilidad de que no se
presentaran fallas era P (X = 0) = e−λt, que luego se definió como la confiabilidad R(t) en
función de t. En ese caso, la variable aleatoria es el número de fallas X en el periodo (0, t);
sin embargo, ahora en la distribucion exponencial haremos que la variable T sea aleatoria.
Por lo tanto, si definimos que T es el tiempo necesario para observar la primera falla,
entonces podemos decir que el evento {T > t} = {X = 0} con X ∼ Poi(λt). Observen la
Fig. 1 para mayor claridad. Si durante t dias no han ocurrido eventos (fallas), esto quiere
decir que el tiempo para el primer evento (falla) T ocurrirá después de los t días.
P (T > t) = e−λt
Entonces, la probabilidad de que el primer evento ocurra antes de t días es:
P (T ≤ t) = FT (t) = 1− e−λt, t ≥ 0
1
Primera falla 
T t 
) ( 
0 
Figura 1: Eventos
que representa la cdf de la variable aleatoria T . Dado que FT es derivable, podemos entonces
determinar la pdf fT de T como:
fT (t) = λe
−λt, t ≥ 0.
Definición. Una variable aleatoria continua tiene una distribución exponencial con paráme-
tro λ si su función de densidad es fX(x) = 0 si x < 0 y
fX (x) = λe
−λx, x ≥ 0.
Se escribe que X ∼ Exp(λ).
La función acumulada de probabilidad es entonces
FX(x) = 1− e−λx, x ≥ 0
La Fig. 2 muestra la pdf y cdf de una variable exponencialmente distribuida para dos
valores diferentes del parámetro λ en eventos por unidad de tiempo.
Si λ representa una tasa de fallas (número de fallas en un año), entonces X representa el
tiempo en ocurrir una falla. Observen entonces en la Fig. 2 que a medida que λ es mayor, las
probabilidades de que una falla ocurra más pronto son también mayores, lo cual es intuitivo.
Esta distribución también cumple con la propiedad de no memoria. Es decir, siempre la
probabilidad de falla en un periodo en particular sera la misma a pesar de que no se hayan
presentado fallas antes del inicio de dicho periodo. Es como si a la distribución exponencial
2
0 2 4 6 8
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
x
P
df
lambda = 1
lambda = 5
0 2 4 6 8
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
x
C
df
lambda = 1
lambda = 5
Figura 2: Distiribución exponencial
se le olvidara la historia del elemento, sólo recuerda lo que ocurre en el periodo bajo estudio.
Ejemplo 1. Pruebe la propiedad de no memoria de la distribución exponencial, i.e., es decir
pruebe que P (X > s+ t|X > s) = P (X > t).
Ejemplo 2. De acuerdo a las estadísticas de movilidad de la ciudad mostradas en el sitio web
http://medellincomovamos.org, se registraron 23,426 accidentes de tránsito en 2012. Suponga
que el tiempo transcurrido para observar un accidente esta distribuido exponencialmente.
(a) Determine la probabilidad de que pase más de media hora sin ocurrir un accidente. R/
0.263
(b) Determine el tiempo que tiene que transcurrir para el cual la probabilidad de que ocurra
un accidente es de .99.
3
1.1. Valor esperado y Varianza
El valor esperado determina, en promedio, el tiempo necesario para observar un evento
cuando λ está dada en eventos por unidad de tiempo.
E [X] =
1
λ
.
Y la varianza está dada por
Var(X) =
1
λ2
.
Observen que la desviación estándar SD(X) y E [X] son iguales.
Para el ejemplo anterior, tenemos entonces que X ∼ Exp(2,67) donde X está medida en
horas; por lo tanto, E [X] es un poco más de 22 minutos por accidente en promedio.
2. Distribución uniforme
La distribución uniforme permite asignar la misma densidad a cada valor de la variable
aleatoria. Esta puede ser empleada cuando hay certeza de que todos los posibles valores de
la varaiable bajo estudio tienen la misma probabilidad de ocurrencia.
Definición. Una variable aleatoria continua tiene una distribución uniforme con parámetros
a y b si su función de densidad es fX(x) = 0 si x < a o x > b y
fX (x) =
1
b− a
, a ≤ x ≤ b.
Se escribe que X ∼ Unif(a, b).
En la Fig. 3 se ilustra la cdf de una distribución uniforme cuando a = −1 y b = 1. La
función acumulada de probabilidad es entonces
4
−2 −1 0 1 2
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
x
fX
(x
)
Figura 3: pdf de X ∼ Unif(−1, 1)
FX(x) =

x−a
b−a , a ≤ x ≤ b,
1, x > b,
0, en caso contrario.
En la Fig. 4 se ilustra la cdf de una distribución uniforme cuando a = −1 y b = 1.
Ejemplo 3. (Problema 7 Cap. 4 de [1].) Se cree que el tiempo X (en minutos) para que
un ayudante de laboratorio prepare el equipo para cierto experimento tiene una distribución
uniforme con a = 25 y b = 35.
1. Cuál es la probabilidad de que el tiempo de reparación exceda de 33 minutos?
2. Calcule p95 e interprete su resultado.
5
−2 −1 0 1 2
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
x
F
X
(x
)
Figura 4: cdf de X ∼ Unif(−1, 1)
Referencias
[1] Jay L. Devore. Probabilidad y estadistica para ingenieria y ciencias, Octava edicion.
Cengage Learning, Julio 2011.
[2] James McCalley. Reliability evaluation of power systems (class notes).
http://www.ee.iastate.edu/∼jdm/ee653/ee653schedule.htm, 2005.
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