PracticasyExamenes_2016_II (1)

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PracticasyExamenes_2016_II/Final_O2_2016_II_enunciado.pdf
1 
 
 
 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 
SEMESTRE 2016-II 
FINAL 
SÁBADO, 3 DE DICIEMBRE DE 2016 
Nombre:___________________________________________________________________________ 
Sección:___________________ 
No se puede consultar ningún tipo de documentación. Sólo se puede utilizar el formulario que se adjunta. 
Debes entregar esta hoja con las respuestas de la pregunta 2 
 
1. La variable aleatoria de Laplace, también conocida como doble exponencial, es una variable aleatoria continua y 
SIMETRICA, definida en 𝑥 ∈ (−∞; +∞). Su función de densidad 𝑓(𝑥) y de distribución 𝐹(𝑥) se muestran a continuación: 
 
𝑓(𝑥) =
1
2
𝑒𝑥𝑝(−|𝑥 − 5|) 
𝐹(𝑥) = {
1
2
𝑒𝑥𝑝(𝑥 − 5) 𝑥 < 5
1 −
1
2
𝑒𝑥𝑝(5 − 𝑥) 𝑥 ≥ 5
 
 
 
 
 
Usando los números aleatorios 513523713805361278046337921470699, y usando dos decimales de precisión, genera 3 
valores aleatorios utilizando los siguientes métodos: 
a) Método de la inversa, de forma gráfica a partir del gráfico de 𝐹(𝑥). (1p) 
b) Método de la inversa de forma analítica, a partir de la función inversa de 𝐹(𝑥). (3p) 
c) Método de aceptación-rechazo. (2p) 
 
En cada método, empieza por el primer valor de la relación de números aleatorios. Justifica brevemente tu respuesta. 
 
 
 
SIGUE 
 
 
 
Sig
ue
SIG
UE 
2 
 
 
2. Una oficina de atención al público tiene una sala con dos ventanillas. Los clientes son asignados a las ventanillas por 
orden de llegada y según disponibilidad. El tiempo de atención en cada ventanilla puede modelizarse como una 
exponencial de media 10 minutos. Los clientes llegan según un proceso de Poisson a un ritmo medio de 15 clientes a 
la hora. Cuando un cliente llega y ve que hay 5 clientes haciendo cola, decide no entrar. Asimismo, cuando hay más 
de dos clientes haciendo cola, los clientes tienden a abandonar el servicio a un ritmo medio de un cliente cada 20 
minutos. 
Contesta a las siguientes preguntas, escribiendo el resultado numérico en la tabla adjunta y el desarrollo en el 
cuadernillo. 
 
 
 
Esta hoja debe entregarse junto con el cuadernillo. 
 
 
 
2.1. Probabilidad de que los dos operarios de las ventanillas estén ociosos. (2p) 
2.2. Probabilidad de que un cliente que llegue no tenga que esperar para que lo atiendan (1p) 
2.3. Probabilidad de que no haya clientes haciendo cola (1p) 
2.4. ¿Qué proporción del tiempo estará sólo una ventanilla ocupada? (1p) 
2.5. Tasa media (por minuto) de entrada al sistema (2p) 
2.6. Proporción de clientes que deciden no entrar al sistema por exceso de clientes (1p) 
2.7. Tasa media (por minuto) de salida del sistema tras haber sido atendidos en ventanilla (2p) 
2.8. ¿Qué proporción de los clientes que llegan al sistema son finalmente atendidos? (1p) 
2.9. Nº medio de clientes en la cola (2p) 
2.10. 
¿Cuánto tiempo (minutos) debe esperar un cliente, por término medio, hasta que le atiendan 
en alguna ventanilla? (1p) 
 
 
Esta hoja debe entregarse junto con el cuadernillo. 
 
 
PracticasyExamenes_2016_II/Final_O2_2016_II_solucion.pdf
1 
 
 
 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 
SEMESTRE 2016-II 
FINAL 
SÁBADO, 3 DE DICIEMBRE DE 2016 
Nombre:___________________________________________________________________________ 
Sección:___________________ 
No se puede consultar ningún tipo de documentación. Sólo se puede utilizar el formulario que se adjunta. 
Debes entregar esta hoja con las respuestas de la pregunta 2 
 
1. La variable aleatoria de Laplace, también conocida como doble exponencial, es una variable aleatoria continua y 
SIMETRICA, definida en 𝑥 ∈ (−∞; +∞). Su función de densidad 𝑓(𝑥) y de distribución 𝐹(𝑥) se muestran a continuación: 
 
𝑓(𝑥) =
1
2
𝑒𝑥𝑝(−|𝑥 − 5|) 
𝐹(𝑥) = {
1
2
𝑒𝑥𝑝(𝑥 − 5) 𝑥 < 5
1 −
1
2
𝑒𝑥𝑝(5 − 𝑥) 𝑥 ≥ 5
 
 
 
 
 
Usando los números aleatorios 513523713805361278046337921470699, y usando dos decimales de precisión, genera 3 
valores aleatorios utilizando los siguientes métodos: 
a) Método de la inversa, de forma gráfica a partir del gráfico de 𝐹(𝑥). (1p) 
b) Método de la inversa de forma analítica, a partir de la función inversa de 𝐹(𝑥). (3p) 
c) Método de aceptación-rechazo. (2p) 
 
En cada método, empieza por el primer valor de la relación de números aleatorios. Justifica brevemente tu respuesta. 
 
 
 
SIGUE 
 
 
 
Sig
ue
SIG
UE 
2 
 
SOLUCIÓN 
a) Con método de la inversa gráfico generamos un número de la distribución 𝑈(0,1) y entramos con él por el eje Y de 
la función de distribución (figura de la derecha). El valor simulado de X será la abscisa correspondiente. 
U X1 
0,51 5 
0,35 4,6 
0,23 4,2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Dado que 𝐹(𝑥) tiene dos tramos, su inversa tendrá también dos tramos. Cuando 𝑥 = 5 se pasa de un tramo de 
𝐹(𝑥) al otro. Como 𝐹(5) = 0.5 los tramos de 𝐹(𝑥)−1 serán para 𝑢 ≤ 0.5 y 𝑢 > 0.5 
Para 𝑢 ≤ 0.5: 
𝐹(𝑥) =
1
2
𝑒𝑥𝑝(𝑥 − 5) = 𝑢 ⇒ 𝑥 − 5 = ln 2𝑢 ⇒ 𝑥 = 5 + ln 2𝑢 
Para 𝑢 > 0.5 
𝐹(𝑥) = 1 −
1
2
𝑒𝑥𝑝(5 − 𝑥) = 𝑢 ⇒ 1 − 𝑢 =
1
2
𝑒𝑥𝑝(5 − 𝑥) ⇒ 5 − 𝑥 = ln(2(1 − 𝑢)) 
⇒ 𝑥 = 5 − ln(2(1 − 𝑢)). 
Los valores simulados que resultan serán, necesariamente, similares a os obtenidos gráficamente 
U X2 
0,51 5,02 
0,35 4,64 
0,23 4,22 
c) En el método de aceptación-rechazo generamos valores aleatorios de una variable aleatoria 𝑋 a partir de 
su función de densidad 𝑓(𝑥) . Con ese fin, generamos pares de valores (𝑥∗, 𝑦∗) distribuidos 
uniformemente en un rectángulo cuya base será el rango de la variable aleatoria de interés, y su altura el 
máximo de su densidad (moda). Los valores de X que buscamos serán las abscisas 𝑥∗ tales que 𝑦∗ ≤
𝑓(𝑥∗). Para el caso de la distribución de Laplace seguiremos los siguientes pasos: 
 
1. Generamos un valor 𝑢1 de una 𝑈(0,1) y lo transformamos en un valor 𝑥
∗ que siga una 𝑈(𝑎, 𝑏), 
donde 𝑎 y 𝑏 son el mínimo y el máximo, respectivamente, de 𝑋. Vemos en el gráfico de la función de 
densidad que valores menores que 0 y mayores que 1 son muy improbables, por los que podemos truncar 
la distribución en esos valores. Necesitamos entonces simular un valor de que siga una 𝑈(0,10). Para 
ello, hacemos la transformación 
3 
 
𝑥∗ = 10𝑢1 
 
2. Generamos otro valor 𝑢2 de una 𝑈(0,1) y lo transformamos en un valor 𝑦
∗ que siga una 𝑈(0, 𝑀), 
donde 𝑀 es una cota superior de 𝑓(𝑥). Para nuestra función usaremos 𝑀 = 0.5: 
𝑦∗ = 0.5𝑢2. 
 
3. Si 𝑦∗ ≤ 𝑓(𝑥∗) entonces 𝑥∗ pertenece a la distribución buscada. En caso contrario, se rechaza. 
Se repiten los Pasos 1-3 hasta que se tiene el tamaño muestral deseado. La siguiente tabla resume los 
cálculos para obtener 3 valores aleatorios 
Iteración U1 U2 X* Y* f(x*) 
Valor Si 
Y*<=f(x*) 
1 0,5100 0,3500 5,1000 0,1750 4,524E-01 5,1000 
2 0,2300 0,7100 2,3000 0,3550 3,360E-02 
 3 0,3800 0,0500 3,8000 0,0250 1,506E-01 3,8000 
4 0,3600 0,1200 3,6000 0,0600 1,233E-01 3,6000 
 
4 
 
 
2. Una oficina de atención al público tiene una sala con dos ventanillas. Los clientes son asignados a las ventanillas por 
orden de llegada y según disponibilidad. El tiempo de atención en cada ventanilla puede modelizarse como una 
exponencial de media 10 minutos. Los clientes llegan según un proceso de Poisson a un ritmo medio de 15 clientes a 
la hora. Cuando un cliente llega y ve que hay 5 clientes haciendo cola, decide no entrar. Asimismo, cuando hay más 
de dos clientes haciendo cola, los clientes tienden a abandonar el servicio a un ritmo medio de un cliente cada 20 
minutos. 
Contesta a las siguientes preguntas, escribiendo el resultado numérico en la tabla adjunta y el desarrollo en el 
cuadernillo. 
Esta hoja debe entregarse junto con el cuadernillo. 
 
2.1.
Probabilidad de que los dos operarios de las ventanillas estén ociosos. (2p) 𝑃0 = 0.033 
2.2. Probabilidad de que un cliente que llegue no tenga que esperar para que lo atiendan (1p) 0.116 
2.3. Probabilidad de que no haya clientes haciendo cola (1p) 0.22 
2.4. ¿Qué proporción del tiempo estará sólo una ventanilla ocupada? (1p) 8% 
2.5. Tasa media (por minuto) de entrada al sistema (2p) 𝜆̅ = 0.2094 
2.6. Proporción de clientes que deciden no entrar al sistema por exceso de clientes (1p) 16.2% 
2.7. Tasa media (por minuto) de salida del sistema tras haber sido atendidos en ventanilla (2p) 0.185 
2.8. ¿Qué proporción de los clientes que llegan al sistema son finalmente atendidos? (1p) 74% 
2.9. Nº medio de clientes en la cola (2p) 𝐿𝑞 = 2.4 
2.10. 
¿Cuánto tiempo (minutos) debe esperar un cliente, por término medio, hasta que le atiendan 
en alguna ventanilla? (1p) 
𝑊𝑞 = 11.46 
 
Esta hoja debe entregarse junto con el cuadernillo. 
 
 
5 
 
SOLUCIÓN 
 
Del enunciado se tiene que: 
 Tasa de llegada 𝜆 =
15
60
= 0.25 clientes/minuto 
 Tasa de servicio de cada ventanilla 𝜇 =
1
10
= 0.1 clientes/minuto (si se atiende de forma consecutiva sin 
interrupción)) 
 Nº de servidores 𝑠 = 2 
Los clientes rehúsan entrar si hay 5 clientes en cola. En ese caso habría 7 clientes en el sistema. Por tanto, la probabilidad de 
rechazar al sistema es 𝑟(𝑛) = 0 si 𝑛 < 6 y 𝑟(𝑛) = 1 si 𝑛 ≥ 7. De esta forma el número de estados del sistema va de 𝑛 = 0 a 
𝑛 = 7. La tasa de entrada depende del estado y es 𝜆𝑛 = 𝜆(1 − 𝑟(𝑛)). 
La tasa de salida de los puestos de servicio (ventanillas) 𝜇𝑛 depende del número de clientes del sistema. Si no hay clientes 
será 𝜇0 = 0. Si hay 𝑛 < 𝑠 clientes será 𝜇𝑛 = 𝑛𝜇, y si hay más de 𝑠 clientes será 𝜇𝑛 = 𝑠𝜇. 
Los clientes que están en el sistema lo abandonan el sistema si hay más de dos clientes haciendo cola, es decir, si 𝑛 > 4, por 
lo que resulta que 𝑎(𝑛) = 0 si 𝑛 ≤ 4 y 𝑎(𝑛) = 1 20⁄ = 0.05 si 𝑛 ≥ 5. 
La salida del sistema se puede hacer abandonando, con tasa 𝑎(𝑛) , o tras la prestación del servicio, con tasa 𝜇𝑛. La tasa total 
de salida del sistema será 
𝜇𝑛 = {
𝑛𝜇𝑛 + 𝑎(𝑛), 𝑠𝑖 𝑛 < 𝑠
𝑠𝜇 + 𝑎(𝑛), 𝑠𝑖 𝑛 ≥ 𝑠
 
Una vez que tenemos 𝜆𝑛 y 𝜇𝑛 podemos calcular los coeficientes 𝑐𝑛 y, con ellos, las probabilidades de estar en cada estado 𝑃𝑛. 
Se tiene que 
𝑐𝑛 =
∏ 𝜆𝑖
𝑛−1
𝑖=0
∏ 𝜇𝑖 
𝑛
𝑖=1
, 
con 𝑐𝑛 = 0, si 𝑛 > 7. Finalmente: 
𝑃0 =
1
1 + ∑ 𝑐𝑛
7
𝑛=1
; 𝑃𝑛 = 𝑐𝑛𝑃0 
La siguiente tabla resume los parámetros de este sistema 
n 0 1 2 3 4 5 6 7 
Cola 0 0 0 1 2 3 4 5 
𝑟(𝑛) 0 0 0 0 0 0 0 1 
𝜆𝑛 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0 
𝑎(𝑛) 0 0 0 0,0 0,0 0,05 0,05 0,05 
𝜇𝑛 0 0,10 0,20 0,20 0,20 0,25 0,25 0,25 
𝑐𝑛 1 2,50 3,13 3,91 4,88 4,88 4,88 4,88 
𝑃𝑛 0,0333 0,08 0,10 0,13 0,162 0,162 0,162 0,162 
 
Con ella se puede responder a las preguntas que se plantean. 
2.1. Los dos operarios estarán ociosos sólo si no hay ningún cliente en el sistema, lo que sucede con probabilidad 𝑃0 = 0.033. 
 
2.2. Un cliente que llegue no tendrá que esperar para que lo atiendan si están las dos ventanillas libres, o una libre, lo que 
sucederá con probabilidades 𝑃0 y 𝑃1 respectivamente. Por tanto, 
P(no tenga que esperar para que lo atiendan)=𝑃0 + 𝑃1 = 0.033 + 0.08 = 0.116 
6 
 
 
2.3. No habrá clientes haciendo cola si en el sistema hay n=0,1,ó 2 clientes. Por tanto 
Probabilidad de que no haya clientes haciendo cola=𝑃0 + 𝑃1 + 𝑃2 = 0.22 
 
 
2.4. ¿Qué proporción del tiempo estará sólo una ventanilla ocupada? Cuando 𝑛 = 1, que s 𝑃1 = 0.08 
 
2.5. La tasa de entrada promedio es la media de las tasas medias de cada estado, 𝜆𝑛. Se obtiene promediando las tasas 𝜆𝑛 con 
su probabilidad 𝑃𝑛, es decir, 
 
𝜆̅ = ∑ 𝜆𝑛𝑃𝑛
7
𝑛=0
= 0.2094 
 
2.6. La proporción de clientes que deciden no entrar al sistema por exceso de clientes se puede obtener de varias formas. 
𝜆 − 𝜆̅
𝜆
= 0.162 
∑ 𝑟(𝑛)𝑃𝑛
7
𝑛=0
= 𝑃7 = 0.162 
 
2.7. La tasa media de salida del sistema tras haber sido atendidos en ventanilla es el promedio de las tasas de servicio de cada 
estado, es decir: 
Tasa media atendidos=0×𝑃0 + 𝜇×𝑃1 + 2𝜇(1 − 𝑃0 − 𝑃1) 
= 0.1×0.08 + 0.2×0.884 = 0.185 clientes/minuto. 
 
Otra forma de obtenerlos es restando a los que entran, los que abandonan, es decir 
∑(𝜆𝑛 − 𝑎(𝑛))𝑃𝑛
7
𝑛=0
= 𝜆̅ − �̅� 
donde �̅� es el promedio de las tasas medias de abandono, que es igual a 
∑ 𝑎(𝑛)𝑃𝑛
7
𝑛=0
= 0.0244. 
Por tanto �̅� − �̅� = 0.2094 − 0.0244 = 0.185 
 
 
2.8. ¿Qué proporción de los clientes que llegan al sistema son finalmente atendidos? Los clientes que salen atendidos son 
0.185 por minuto. En proporción a los que llegan son 
0.185
0.25
= 0.74 (74%) 
 
2.9. El número medio de clientes en la cola, 𝐿𝑞 , se obtiene promediando el número de clientes que hay en la cola paa cada 
valor de n con la probabilidad de cada estado, es decir 
𝐿𝑞 = ∑(𝑛 − 2)𝑃𝑛
7
𝑛=3
= 2.4 04clientes 
2.10. El tiempo medio hasta que le atiendan es 
𝑊𝑞 =
𝐿𝑞
𝜆̅
=
2.404
0.2094
= 11.48 minutos 
PracticasyExamenes_2016_II/Parcial_O2_2016_II_enunciado.pdf
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 
SEMESTRE 2016-II 
PARCIAL 
MIÉRCOLES, 5 DE OCTUBRE DE 2016 
No se puede consultar ningún tipo de documentación. 
 
1. Cuatro vehículos participan en una competición en un rally por el que deben atravesar cierta región del 
centro de Europa con autos del siglo XIX. Los competidores salen de un mismo punto, pero pueden llegar 
al punto de meta por la ruta que deseen. La región cuenta con una extensa red de caminos, por los que 
en poco tiempo los corredores se encuentran siguiendo rutas diferentes, con la esperanza de que su ruta 
sea la más rápida. En un instante dado, la competición se encuentra tal y como muestra la figura siguiente. 
En ella, los nodos de la red representan localizaciones geográficas y los números de las flechas representan 
la distancia entre los puntos que unen, siempre en la dirección de la flecha. Al inicio de la red se 
encuentran los competidores. Analizando la carrera con la técnica de programación dinámica, ¿qué auto 
crees que debe ganar la carrera, qué ruta debería seguir, y cuánto tiempo tardará? 
 
 
 
 
 
2. Una empresa de material de oficina ha conseguido un contrato con una 
importante universidad para proveer de mesas para su aula de proyectos 
de arquitectura. El contrato establece que debe entregar durante los 
próximos tres meses 50, 80 y 60 mesas, respectivamente. Las mesas hay 
que entregarlas al principio de cada mes. Por cada mesa fabricada se incurre 
en un costo de 100 dólares. Además, cada mes en el que se van a fabricar 
mesas se incurre en un coste fijo de preparación de 90 dólares. Las mesas 
fabricadas en el mes pueden ser utilizadas para cumplir con la demanda de ese mes o de los siguientes. 
Cada mes, las mesas que no se vendan pasan a engrosar el inventario. El costo de inventario por cada 
mesa que esté en existencias a fin de mes es de 5 dólares, con un límite de capacidad de 30 mesas. La 
producción debe ser en lotes de 10 mesas y hay una capacidad máxima de producción de 70 mesas/mes. 
Inicialmente se cuenta con un inventario de 30 mesas. Determina un plan de producción óptimo utilizando 
programación dinámica. 
SIGUE 
2 
 
 
3. Las hamburguesas de cierto fabricante están compuestas básicamente de carne, cereales y especias. La 
carne es el elemento fundamental. Los cereales simplemente ayudan a dar consistencia a la hamburguesa, 
y las especias a proporcionarle el sabor deseado. Ambos, cereales y especias, no contribuyen de forma 
significativa a sus propiedades nutricionales ni su costo. Con el fin de elaborar una hamburguesa más 
saludable, este fabricante está analizando
la elaboración de una nueva hamburguesa cuya carne se base 
en una mezcla de carne de pollo y de pavo. En la siguiente tabla se muestran los costos por cada kilogramo 
de cada uno de los ingredientes, así como sus contenidos porcentuales de grasa y proteínas. Para decidir 
la proporción de pollo y pavo que debe tener la mezcla de carne de esta hamburguesa se han impuesto 
las siguientes metas, citadas en orden de importancia: 
Meta 1: Las hamburguesas deben tener un mínimo de 22% de proteínas. 
Meta 2: Las hamburguesas deben tener un máximo de 10% de grasas 
Meta 3: El costo por kg no debe ser mayor de 8.3 soles. 
Meta 4: Minimizar el contenido de grasa. 
 Pollo Pavo 
Grasa (%) 8% 12% 
Proteínas (%) 20% 24% 
Costo (soles/kg) 7 9 
En cualquier caso, y por cuestiones de marketing, la mezcla final debe tener siempre un mínimo del 10% 
de cada tipo de carne. Plantee un modelo de programación de metas para este caso y resuélvalo por el 
método gráfico. 
 
 
PracticasyExamenes_2016_II/Parcial_O2_2016_II_soluci?n.pdf
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 
SEMESTRE 2016-II 
PARCIAL 
MIÉRCOLES, 5 DE OCTUBRE DE 2016 
No se puede consultar ningún tipo de documentación. 
 
1. Cuatro vehículos participan en una competición en un rally por el que deben atravesar cierta región del centro de 
Europa con autos del siglo XIX. Los competidores salen de un mismo punto, pero pueden llegar al punto de meta por 
la ruta que deseen. La región cuenta con una extensa red de caminos, por los que en poco tiempo los corredores se 
encuentran siguiendo rutas diferentes, con la esperanza de que su ruta sea la más rápida. En un instante dado, la 
competición se encuentra tal y como muestra la figura siguiente. En ella, los nodos de la red representan 
localizaciones geográficas y los números de las flechas representan la distancia, en tiempo, entre los puntos que 
unen, siempre en la dirección de la flecha. Al inicio de la red se encuentran los competidores. Analizando la carrera 
con la técnica de programación dinámica, ¿qué auto crees que debe ganar la carrera, qué ruta debería seguir, y 
cuánto tiempo tardará? 
 
 
 
SOLUCIÓN: 
 
Vemos que no todas las trayectorias posibles pasan por el mismo número de nodos. Por ejemplo, la ruta 1-A-G-I se 
hace en tres etapas, pero 1-A-D-E-H-I lo hace en cinco. Por tanto, si asociamos cada nodo a una etapa, va a ser 
complicado resolverlo con programación dinámica. Una forma de resolverlo es modificando el gráfico, añadiendo 
nodos virtuales, basados en duplicar un nodo con un coste/distancia cero, de tal forma que todas las trayectorias 
tengan el mismo número de etapas. Añadiendo nodo duplicados en los trayectos más cortos conseguiremos que 
todos los trayectos tengan el mismo número de nodos. 
 
La siguiente figura muestra el gráfico modificado. Los nodos que se han añadido aparecen en amarillo. En este nuevo 
gráfico, es fácil ver que todas las trayectorias posibles tienen 5 etapas, y es así inmediato aplicar programación 
dinámica. 
2 
 
 
 
Las tablas de cada etapa quedan de la siguiente manera: 
 
ETAPA 1 𝑥1 
𝑓1(𝑠1, 𝑥1)
= 𝑑11 
 𝑠1 I 𝑓1
∗ 𝑥1
∗ 
 D'' 11 11 I 
 F' 15 15 I 
 G' 8 8 I 
 H 2 2 I 
 
ETAPA 2 𝑥2 𝑓2(𝑠2, 𝑥2) = 𝑑22 + 𝑓1
∗(𝑠1);𝑠1 = 𝑥2 
 𝑠2 D'' F' G' H 𝑓2
∗ 𝑥2
∗ 
 D' 0+11=11 11 D'' 
 E 5+2=7 7 H 
 F 0+15=15 9+2=11 11 H 
 G 0+8=8 8 G' 
 
ETAPA 3 𝑥3 𝑓3(𝑠3, 𝑥3) = 𝑑33 + 𝑓2
∗(𝑠2); 𝑠2 = 𝑥3 
 𝑠3 D' E F G 𝑓3
∗ 𝑥3
∗ 
 A' 9+8=17 17 G 
 C' 13+7=20 12+11=23 20 E 
 D 0+11=11 2+7=9 5+8=13 9 E 
 
3 
 
ETAPA 4 𝑥4 𝑓4(𝑠4, 𝑥4) = 𝑑44 + 𝑓3
∗(𝑠3); 𝑠3 = 𝑥4 
 𝑠4 A' C' D 𝑓4
∗ 𝑥4
∗ 
 A 0+17=17 11+9=20 17 A' 
 B 4+9=13 13 D 
 C 0+20=20 20 C' 
 
ETAPA 5 𝑥5 𝑓5(𝑠5, 𝑥5) = 𝑑55 + 𝑓4
∗(𝑠4); 𝑠4 = 𝑥5 
 𝑠5 A B C 𝑓5
∗ 𝑥5
∗ 
 1 6+17=23 23 A 
 2 7+17=24 8+13=21 21 B 
 3 6+13=19 8+20=28 19 B 
 4 10+23=23 4+20=24 23 B 
El menor tiempo lo tiene el auto en la posición 3. Llegaría a la meta en 19 unidades de tiempo, y la ruta sería: 
3-B-D-E-H-I 
A continuación, se muestra la gráfica de la ruta óptima que debe hacer cada auto. 
 
 
4 
 
 
 
2. Una empresa de material de oficina ha conseguido un contrato con una importante 
universidad para proveer de mesas para su aula de proyectos de arquitectura. El 
contrato establece que debe entregar durante los próximos tres meses 50, 80 y 60 
mesas, respectivamente. Las mesas hay que entregarlas al principio de cada mes. 
Por cada mesa fabricada se incurre en un costo de 100 dólares. Además, cada mes 
en el que se van a fabricar mesas se incurre en un coste fijo de preparación de 90 
dólares. Las mesas fabricadas en el mes pueden ser utilizadas para cumplir con la 
demanda de ese mes o de los siguientes. Cada mes, las mesas que no se vendan 
pasan a engrosar el inventario. El costo de inventario por cada mesa que esté en existencias a fin de mes es de 5 
dólares, con un límite de capacidad de 30 mesas. La producción debe ser en lotes de 10 mesas y hay una capacidad 
máxima de producción de 70 mesas/mes. Inicialmente se cuenta con un inventario de 30 mesas. Determina un plan 
de producción óptimo utilizando programación dinámica. 
 
SOLUCIÓN: 
 La variable de decisión es 𝑥𝑛 =número de mesas a fabricar para entregar al inicio del mes de la etapa n. Se 
tiene que 𝑥𝑛 ≤ 70 y que, como se dispone de 30 mesas iniciales, 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 160. 
 
 Las etapas son los meses. Hay entonces 3 etapas. Etapa 1: mes 3; etapa 2: mes 2; etapa 3: mes 1. 
 
 La variable de estado es 𝑠𝑛 = número de puertas de inventario al inicio de la etapa n. Si llamamos 𝐷𝑛 a la 
demanda del mes n se tiene que 𝑠𝑛−1 = 𝑠𝑛 + 𝑥𝑛 − 𝐷𝑛. Además, se tiene que 𝑠𝑛 ≤ 30. Al finalizar el mes 3 
no dejaremos inventario, sería un coste innecesario tanto la producción de excedentes como su posterior 
almacenamiento. 
 
 Como hay que cubrir la demanda de cada mes, se tiene la restricción de que 𝐷𝑛 − 𝑠𝑛 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 70. 
 
La siguiente figura representa gráficamente el problema. 
 
 
La función objetivo es el coste, que hay que minimizar. Hay un coste de producción y un coste de inventario. El coste 
de producción tiene una parte fija y otra variable. El coste de producción asociado a la decisión de producir 𝑥𝑛 puede 
escribirse como: 
5 
 
𝑃𝑛 = 90 𝐼(𝑥𝑛 > 0) + 100𝑥𝑛 , 
donde 𝐼(⋅) es la función indicatriz. El coste de inventario es por el nivel de inventario que haya a fin de mes, es decir, 
𝑠𝑛−1. Este coste puede escribirse como 
𝐴𝑛 = 5𝑠𝑛−1 = 5(𝑠𝑛 + 𝑥𝑛 − 𝐷𝑛) 
El coste total es 
𝐶𝑛 = 90 𝐼(𝑥𝑛 > 0) + 100𝑥𝑛 + 5(𝑠𝑛 + 𝑥𝑛 − 𝐷𝑛). 
Las tablas de este problema quedan de la siguiente manera: 
ETAPA 1-Mes 3 x1 𝑓1(𝑠1, 𝑥1) = 𝐶1 
Demanda=60 s1 40 50 60 f1* x1* 
 0 6090 6090 60 
 10 5090 5090 50 
 20 4090 4090 40 
 
ETAPA 2-Mes 2 x2 
Demanda=80 s2 50 60 70 f2* x2* s1* 
 10 13180 13180 70 0 
 20 12180 12230 12180 60 0 
 30 11180 11230 11280 11180 50 0 
 
ETAPA 2-Mes 1 X3 
Demanda=50 S3 30 40 50 f3* X3* S2* 
 30 16320 16370 16420 16320 30 10 
 
El óptimo es: 
 Producir 30 el primer mes, y almacenar 10 para el mes siguiente 
 Producir 70 el mes 2, y no dejar nada en inventario 
 Producir 60 el tercer mes 
A la vista de los estados posibles que se muestran en el gráfico, vemos que este problema se puede simplificar. Vemos 
que todos los meses hay que producir, por lo que el coste fijo de 100 dólares se va a asignar a todos los meses, 
independientemente del valor de 𝑥𝑛, pues siempre es positivo. Por tanto, lo podríamos ignorar. Asimismo, el coste 
variable es de 100 dólares independientemente del mes. Como finalmente vamos a producir 160 unidades, el coste 
de producción no va a determinar el
óptimo. Sólo interviene, en este caso, el coste de almacenamiento. Por esa razón 
el óptimo es el plan que necesita almacenar lo mínimo posible. Se podrían haber construido las tablas sólo con el coste 
de inventario. 
 
 
6 
 
 
3. Las hamburguesas de cierto fabricante están compuestas básicamente de carne, cereales y especias. La carne es el 
elemento fundamental. Los cereales simplemente ayudan a dar consistencia a la hamburguesa, y las especias a 
proporcionarle el sabor deseado. Ambos, cereales y especias, no contribuyen de forma significativa a sus 
propiedades nutricionales. Con el fin de elaborar una hamburguesa más saludable, este fabricante está analizando 
la elaboración de una nueva hamburguesa cuya carne se base en una mezcla de carne de pollo y de pavo. En la 
siguiente tabla se muestran los costos por cada kilogramo de cada uno de los ingredientes, así como sus contenidos 
porcentuales de grasa y proteínas. Para decidir la proporción de pollo y pavo que debe tener la mezcla de carne de 
esta hamburguesa se han impuesto las siguientes metas, citadas en orden de importancia: 
Meta 1: Las hamburguesas deben tener un mínimo de 22% de proteínas. 
Meta 2: Las hamburguesas deben tener un máximo de 10% de grasas 
Meta 3: El costo por kg no debe ser mayor de 8.3 soles. 
Meta 4: Minimizar el contenido de grasa. 
 Pollo Pavo 
Grasa (%) 8% 12% 
Proteínas (%) 20% 24% 
Costo (soles/kg) 7 9 
En cualquier caso, y por cuestiones de marketing, la mezcla final debe tener siempre un mínimo del 10% de cada 
tipo de carne. Plantee un modelo de programación de metas para este caso y resuélvalo por el método gráfico. 
 
SOLUCIÓN: 
 
Las variables de decisión son 
 𝑥1 = porcentaje de carne de pollo que tendrá la mezcla de carne de la hamburguesa. 
 𝑥2 = porcentaje de carne de pavo que tendrá la mezcla de carne de la hamburguesa. 
Vamos a ver qué restricciones (fuertes) tiene este problema. Como se trata de proporciones de una mezcla de ambos 
tipos de carne se debe cumplir que 
𝑥1 + 𝑥2 = 1. 
Como, además, queremos que haya un mínimo del 10% de cada componente, se verificará que 
𝑥1 ≥ 0.1; 𝑥2 ≥ 0.1; 𝑥1 ≤ 0.9; 𝑥2 ≤ 0.9 
Las metas implican las siguientes restricciones adicionales: 
M1: 20𝑥1 + 24𝑥2 ≥ 22 ⇒ 20𝑥1 + 24𝑥2 + 𝑑1 ≥ 22 
M2: 8𝑥1 + 12𝑥2 ≤ 10 ⇒ 8𝑥1 + 12𝑥2 − 𝑒2 ≤ 10 
M3: 7𝑥1 + 9𝑥2 ≤ 8.3 ⇒ 7𝑥1 + 9𝑥2 − 𝑒3 ≤ 8.3 
M4: 8𝑥1 + 12𝑥2 ≤ 0 ⇒ 8𝑥1 + 12𝑥2 − 𝑒4 ≤ 0 
El problema de programación multiobjetivo queda entonces de la siguiente forma: 
min 𝑍 = 𝑃1𝑑1 + 𝑃2𝑒2 + 𝑃3𝑒3 + 𝑃4𝑒4 
s.a 
𝑥1 + 𝑥2 = 1 
𝑥1 ≥ 0.1; 𝑥2 ≥ 0.1; 𝑥1 ≤ 0.9; 𝑥2 ≤ 0.9 
20𝑥1 + 24𝑥2 + 𝑑1 ≥ 22 
8𝑥1 + 12𝑥2 − 𝑒2 ≤ 10 
7𝑥1 + 9𝑥2 − 𝑒3 ≤ 8.3 
8𝑥1 + 12𝑥2 − 𝑒4 ≤ 0 
 
 
7 
 
La siguiente figura muestra la región factible que tenemos a partir sólo de las restricciones fuertes. La región factible 
sólo con las restricciones fuerte es el segmento azul 
 
El problema lo resolvemos en varias etapas. En cada etapa añadimos una meta, y la anterior pasa a ser restricción 
fuerte tomando el valor óptimo que corresponde a su problema. 
Etapa 1 
min 𝑍 = 𝑑1 
s.a 
𝑥1 + 𝑥2 = 1 
𝑥1 ≥ 0.1; 𝑥2 ≥ 0.1; 𝑥1 ≤ 0.9; 𝑥2 ≤ 0.9 
20𝑥1 + 24𝑥2 + 𝑑1 ≥ 22 
 
La siguiente figura muestra la región factible para 𝑑1 = 0. Vemos, por tanto, que la meta se cumple. Las hamburguesas 
tendrán un contenido mínimo de proteínas del 22%. El conjunto de soluciones factible es sólo el segmento AB, siendo 
A=(0.1,0.9) y B(0.5,0.5). 
 
 
Para la siguiente etapa usaremos que 𝑑1 = 0. 
Etapa 2 
min 𝑍 = 𝑒2 
s.a 
𝑥1 + 𝑥2 = 1 
𝑥1 ≥ 0.1; 𝑥2 ≥ 0.1; 𝑥1 ≤ 0.9; 𝑥2 ≤ 0.9 
20𝑥1 + 24𝑥2 ≥ 22 
8𝑥1 + 12𝑥2 − 𝑒2 ≤ 10 
8 
 
La siguiente figura muestra la región factible de este problema cuando 𝑒2 = 0. Vemos que hay sólo un punto 
factible, el B=(0.5,0.5), luego la meta se cumple. Las hamburguesas tendrán como máximo un 10% de grasa. 
 
 
Para la siguiente etapa usaremos que 𝑒2 = 0. 
Etapa 3 
min 𝑍 = 𝑒3 
s.a 
𝑥1 + 𝑥2 = 1 
𝑥1 ≥ 0.1; 𝑥2 ≥ 0.1; 𝑥1 ≤ 0.9; 𝑥2 ≤ 0.9 
20𝑥1 + 24𝑥2 ≥ 22 
8𝑥1 + 12𝑥2 ≤ 10 
7𝑥1 + 9𝑥2 − 𝑒3 ≤ 8.3 
 
Es fácil comprobar que el punto factible que tenemos de la etapa anterior, el B=(0.5,0.5) cumple esta restricción, luego 
la meta se cumple. La figura siguiente muestra el resultado. 
 
 
Para la etapa siguiente usamos que 𝑒3 = 0. 
 
9 
 
Etapa 4 
min 𝑍 = 𝑒4 
s.a 
𝑥1 + 𝑥2 = 1 
𝑥1 ≥ 0.1; 𝑥2 ≥ 0.1; 𝑥1 ≤ 0.9; 𝑥2 ≤ 0.9 
20𝑥1 + 24𝑥2 ≥ 22 
8𝑥1 + 12𝑥2 ≤ 10 
7𝑥1 + 9𝑥2 ≤ 8.3 
8𝑥1 + 12𝑥2 − 𝑒4 ≤ 0 
 
Como se pretende evaluar si el contenido en grasa es menor o igual que cero, no se puede cumplir. El valor de 𝑒4 será 
el porcentaje mínimo de grasa que se puede conseguir. En este caso, al ser la región factible un único punto, 
sustituimos en la restricción y tenemos: 
8(0.5) + 12(0.5) = 𝑒4 ⇒ 𝑒4 = 10, 
que es lo que se consiguió ya en la Meta 2. 
 
La solución óptima consiste en mezclar pollo y pavo al 50%. Con ello tendremos un contenido en proteínas del 22%, 
de grasa del 10%, y un coste por kg de 8 soles, inferior a los 8.3 que nos habíamos puesto como techo. 
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 
SEMESTRE 2016-II 
PRÁCTICA 1 
VIERNES, 26 DE AGOSTO DE 2016 
Nombre:___________________________________________________________________________ 
Sección:___________________ 
No se puede consultar ningún tipo de documentación. 
 
1. Una cadena de centros comerciales está organizando su programa de eventos para atraer clientes potenciales. 
Para ello, ha clasificado a su clientela potencial en tres grupos: adolescentes, mediana edad y adultos mayores. Los 
eventos que desea planificar son conciertos y exposiciones artísticas. Los costos de cada uno de estos eventos son 
$1500 y $3000 respectivamente. Se dispone de un presupuesto máximo de $150 000 para todo el conjunto de 
centros comerciales, que no se puede sobrepasar. La estimación del número de asistentes a cada tipo de evento se 
resume en la siguiente tabla: 
 
Número estimado de asistentes 
Evento Adolescentes Mediana edad Adultos mayores 
Concierto 200 100 0 
Exposición artística 0 400 250 
Se desea decidir cómo invertir el presupuesto en cada tipo de evento si se fijan las siguientes metas: 
 M1: número de asistentes de mediana edad de al menos 12000 personas. 
 M2: número de asistentes adolescentes de al menos 10000 personas. 
 M3: número de adultos mayores de al menos 7500 personas. 
 
a) Resuelve este problema usando el método gráfico si el orden de prioridad de las metas es M1-M2-M3. 
b) Resuelve este problema usando el método gráfico si el orden de prioridad es ahora M1-M3-M2. 
c) ¿Qué presupuesto mínimo sería necesario para poder cumplir con las tres metas? 
 
 
2. Una empresa fabrica dos tipos de piezas A y B. Cada una de ellas requiere para su fabricación las cantidades de 
materia prima P1 y P2 que se indican en la siguiente tabla: 
 
Pieza 
 
Materia prima A B Disponibilidad 
P1 2 1 200 
P2 2 3 450 
Beneficio 5 3 
 
 
La empresa desea saber cuál es el número óptimo de piezas que debe fabricar de cada tipo si se fijan las 
siguientes metas con prioridades jerarquizadas como se indica: 
 M1: Obtener un beneficio no inferior a 450 u.m. 
 M2: Fabricar al menos 110 piezas de A 
 M3: Fabricar el mayor número de piezas posible de B 
Calcular la solución del problema anterior mediante el método gráfico. 
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 
SEMESTRE 2016-II 
PRÁCTICA 1 
VIERNES, 26 DE AGOSTO DE 2016 
Nombre:___________________________________________________________________________ 
Sección:___________________ 
No se puede consultar ningún tipo
de documentación. 
 
1. Una cadena de centros comerciales está organizando su programa de eventos para atraer clientes potenciales. 
Para ello, ha clasificado a su clientela potencial en tres grupos: adolescentes, mediana edad y adultos mayores. Los 
eventos que desea planificar son conciertos y exposiciones artísticas. Los costos de cada uno de estos eventos son 
$1500 y $3000 respectivamente. Se dispone de un presupuesto máximo de $150 000 para todo el conjunto de 
centros comerciales, que no se puede sobrepasar. La estimación del número de asistentes a cada tipo de evento se 
resume en la siguiente tabla: (14p) 
 
Número estimado de asistentes 
Evento Adolescentes Mediana edad Adultos mayores 
Concierto 200 100 0 
Exposición artística 0 400 250 
Se desea decidir cómo invertir el presupuesto en cada tipo de evento si se fijan las siguientes metas: 
 M1: número de asistentes de mediana edad de al menos 12000 personas. 
 M2: número de asistentes adolescentes de al menos 10000 personas. 
 M3: número de adultos mayores de al menos 7500 personas. 
 
a) Resuelve este problema usando el método gráfico si el orden de prioridad de las metas es M1-M2-M3.(8p) 
b) Resuelve este problema usando el método gráfico si el orden de prioridad es ahora M1-M3-M2. (4p) 
c) ¿Qué presupuesto mínimo sería necesario para poder cumplir con las tres metas? (2p) 
 
SOLUCIÓN: 
a) Las variables de decisión son: 
𝑥1 =número de conciertos 
𝑥2 =número de exposiciones 
 
El problema puede escribirse como (2p) 
min 𝑍 = 𝑃1𝑑1 + 𝑃2𝑑2 + 𝑃3𝑑3 
s.a: 
1500𝑥1 + 3000𝑥2 ≤ 150000 (Presupuesto) 
100𝑥1 + 400𝑥2 + 𝑑1 ≥ 12000 (M1-Mediana edad) 
200𝑥1 + 𝑑2 ≥ 10000 (M2-Adolescentes) 
250𝑥2 + 𝑑3 ≥ 7500 (M3-Adultos mayores) 
𝑑1, 𝑑2, 𝑑3, 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
 
El problema se resuelve en varias etapas, involucrando una meta en cada etapa. 
 
Etapa 1 
min 𝑍 = 𝑑1 
s.a: 
1500𝑥1 + 3000𝑥2 ≤ 150000 (Presupuesto) 
100𝑥1 + 400𝑥2 + 𝑑1 ≥ 12000 (M1-Mediana edad) 
𝑑1, 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
2 
 
 
 
Gráficamente, lo resolvemos imponiendo que 𝑑1 = 0 y comprobando si hay soluciones factibles para (𝑥1, 𝑥2). 
Gráficamente vemos que sí las hay (triángulo azul en Figura 1), por lo que la meta se cumple y 𝑑1 = 0. (2p) 
 
Figura 1: Resultado de la etapa 1 
Etapa 2 
min 𝑍 = 𝑑2 
s.a: 
1500𝑥1 + 3000𝑥2 ≤ 150000 (Presupuesto) 
100𝑥1 + 400𝑥2 ≥ 12000 (M1-Mediana edad) 
200𝑥1 + 𝑑2 ≥ 10000 (M2-Adolescentes) 
𝑑2, 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
Aplicando el mismo procedimiento tenemos que el nuevo gráfico es: 
 
Figura 2: Resultado de la etapa 2 
 
 
Por tanto, hay soluciones factibles para (𝑥1, 𝑥2). La meta 2 se cumple y por tanto 𝑑2 = 0. (2p) 
 
3 
 
Pasamos entonces a la etapa 3 
 
 
Etapa 3 
min 𝑍 = 𝑑3 
s.a: 
1500𝑥1 + 3000𝑥2 ≤ 150000 (Presupuesto) 
100𝑥1 + 400𝑥2 ≥ 12000 (M1-Mediana edad) 
200𝑥1 ≥ 10000 (M2-Adolescentes) 
250𝑥2 + 𝑑3 ≥ 7500 (M3-Adultos mayores) 
𝑑3, 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
 
El gráfico en el que se asume 𝑑3 = 0 se muestra a continuación. En él puede verse que la meta no se cumple, y que 
el punto A es el punto de la región factible que se encuentra más cerca de la meta. 
 
Figura 3: Resultado de la etapa 3 
 
El punto A es el punto (50,25), el valor de 𝑑3 es: 
250 × 25 + 𝑑3 = 7500 ⇒ 𝑑3 = 1250 
Por tanto, el óptimo es: (2p) 
 𝑥1 = 50 conciertos 
 𝑥2 = 25 exposiciones 
 El coste son 150.000 
 Se prevé que asistan 100 × 50 + 400 × 25 = 15000 clientes de mediana edad. 
 Se prevé que asistan 200 × 50 = 10000 adolescentes. 
 Se prevé que asistan 250 × 25 = 6250 adultos mayores. 
 
4 
 
 
b) Si ahora el orden es M1-M3-M2, puede verse, a partir del gráfico que ya tenemos de la sección anterior, que la 
solución es el punto B que se muestra en la siguiente figura (2p): 
 
Figura 4: Nuevo óptimo (punto B) con las preferencias M1-M3-M2 
 
El punto B es el punto (40,30). Con él se cumplen las metas M1 y M3, pero no la M2. La desviación es 
200 × 40 + 𝑑2 = 10000 ⇒ 𝑑2 = 2000 
La solución óptima sería (2p): 
 40 conciertos y 30 exposiciones. 
 Se gasta todo el presupuesto. 
 Se estima que asistan 100 × 40 + 400 × 30 = 16000 clientes de mediana edad. 
 Se prevé que asistan 200 × 40 = 8000 adolescentes. 
 Se prevé que asistan 250 × 30 = 7500 adultos mayores. 
 
c) (2p) Para que se puedan cumplir todas las metas, la recta que representa el presupuesto deberá pasar por el punto 
C (50,30), como se ilustra en la siguiente figura. 
 
 
En ese punto, el presupuesto es 1500 × 50 + 3000 × 30 = 165000. Los asistentes que se consiguen son: 
 Se estima que asistan 100 × 50 + 400 × 30 = 17000 clientes de mediana edad. 
 Se prevé que asistan 200 × 50 = 10000 adolescentes. 
 Se prevé que asistan 250 × 30 = 7500 adultos mayores. 
 
5 
 
 
 
2. Una empresa fabrica dos tipos de piezas A y B. Cada una de ellas requiere para su fabricación las cantidades de 
materia prima P1 y P2 que se indican en la siguiente tabla: (6p) 
 
Pieza 
 
Materia prima A B Disponibilidad 
P1 2 1 200 
P2 2 3 450 
Beneficio 5 3 
 
 
La empresa desea saber cuál es el número óptimo de piezas que debe fabricar de cada tipo si se fijan las 
siguientes metas con prioridades jerarquizadas como se indica: 
 M1: Obtener un beneficio no inferior a 450 u.m. 
 M2: Fabricar al menos 110 piezas de A 
 M3: Fabricar el mayor número de piezas posible de B 
Calcular la solución del problema anterior mediante el método gráfico. 
 
SOLUCIÓN: 
Las variables de decisión son: 
 𝑥1 = nº de piezas de tipo A 
 𝑥2 = nº de piezas de tipo B 
 
La meta 3 no es realmente una meta, al no tener ‘parte derecha’. Vamos a resolver primero las dos primeras 
metas, y luego resolveremos un problema de maximización. 
El problema multiobjetivo es (2p): 
 
min 𝑍 = 𝑃1𝑑1 + 𝑃2𝑑2 
s.a 
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 200 (disponibilidad P1) 
2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 450 (disponibilidad P2) 
5𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑑1 ≥ 450 (M1- beneficio) 
𝑥1 + 𝑑2 ≥ 110 (M2- piezas A) 
𝑑1, 𝑑2, 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
 
 
Etapa 1: 
min 𝑍 = 𝑑1 
s.a 
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 200 (disponibilidad P1) 
2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 450 (disponibilidad P2) 
5𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑑1 ≥ 450 (M1- beneficio) 
𝑑1, 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
 
La solución gráfica, en la que asumimos 𝑑1 = 0 es: 
6 
 
 
A la vista del gráfico, existe solución factible, por lo que la meta se cumple, y 𝑑1 = 0. (2p) 
 
min 𝑍 = 𝑑2 
s.a 
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 200 (disponibilidad P1) 
2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 450 (disponibilidad P2) 
5𝑥1 + 3𝑥2 ≥ 450 (M1- beneficio) 
𝑥1 + 𝑑2 ≥ 110 (M2- piezas A) 
𝑑2, 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
 
 
Con 𝑑2 = 0 vemos gráficamente que no hay solución factible, por lo que la meta M2 no se cumple. El óptimo es 
𝑥1 = 100 y 𝑥2 = 0; es decir, sólo fabricaremos 100 piezas de tipo A y ninguna de tipo B. Como la solución 
óptima es sólo un punto, no se puede modificar para acercarnos a la meta M3, por lo que tampoco se cumplirá. 
El mayor número posible de B es 0, de lo contrario, deterioramos el logro de metas anteriores. (2p) 
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 
SEMESTRE 2016-II 
PRÁCTICA 2 
VIERNES, 9 DE SEPTIEMBRE DE 2016 
Nombre:___________________________________________________________________________ 
Sección:___________________ 
No se puede consultar ningún tipo de documentación. 
 
1. La siguiente red muestra una serie de nodos que representan localizaciones geográficas, y donde los 
números de las flechas representan la distancia entre los puntos que unen. En A1 y A2 están situados 
unos vehículos
de emergencias que atienden a las diferentes localizaciones B—H. Cuando una 
localización necesita ayuda, acude el vehículo de A1 o A2 que esté más cerca. Utilizando programación 
dinámica, averigua qué vehículo deberá acudir, y qué camino deberá seguir, si G declara una 
emergencia. Justifica la respuesta. 
 
 
2. Un sistema de generación de energía eléctrica está formado por tres centrales 
eléctricas: una central hidráulica, una central térmica de carbón, y una central 
térmica de gas. Este sistema debe proveer de electricidad a una ciudad, que 
tiene un consumo de 1000 MWh. Con este fin, la empresa Luz del Sur, 
(www.luzdelsur.com.pe), responsable de distribuir la energía generada en este 
sistema, debe decidir cuánta energía comprar a cada central, con el fin de 
conseguir los 1000 MWh al menor precio. Por simplicidad, vamos a suponer que 
la electricidad es adquirida en bloques de 100 MWh. El contrato de suministro 
que se tiene con la central de carbón obliga a comprarle un mínimo de 200 MWh, y su capacidad máxima es de 600 
MWh. Asimismo, el contrato con la central de gas obliga a comprar un mínimo de 100 MWh, y su capacidad máxima 
es también de 600 MWh. Con la central hidráulica no existe ningún compromiso de compra mínima, pero su 
capacidad máxima es de 400 MWh. El coste de la energía es diferente en cada central. La siguiente tabla muestra el 
coste (miles de $) de suministrar diferentes niveles de energía con cada central. Utilizando programación dinámica, 
establece un sistema óptimo de compra de la energía eléctrica para Luz del Sur. En la resolución, comience a resolver 
(primera tabla) la central hidráulica, luego la de carbón, y finalmente la de gas. 
 
Coste de suministro 
Energía Gas Carbón Hidráulica 
0 -- -- 0 
100 10 -- 8 
200 20 22 12 
300 30 26 25 
400 40 30 30 
500 45 44 -- 
600 52 56 -- 
 
http://www.luzdelsur.com.pe/
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 
SEMESTRE 2016-II 
PRÁCTICA 2 
VIERNES, 9 DE SEPTIEMBRE DE 2016 
Nombre:___________________________________________________________________________ 
Sección:___________________ 
No se puede consultar ningún tipo de documentación. 
 
1. La siguiente red muestra una serie de nodos que representan localizaciones geográficas, y donde los 
números de las flechas representan la distancia entre los puntos que unen. En A1 y A2 están situados 
unos vehículos de emergencias que atienden a las diferentes localizaciones B—G. Cuando una 
localización necesita ayuda, acude el vehículo de A1 o A2 que esté más cerca. Utilizando programación 
dinámica, averigua qué vehículo deberá acudir, y qué camino deberá seguir, si G declara una 
emergencia. Justifica la respuesta. (10p) 
 
SOLUCIÓN: 
 
Evaluamos la distancia mínima de G a A1 y A2. Las tablas de cada etapa que nos llevan a la solución son las 
siguientes: 
ETAPA 1 
𝑥1 
𝑓1(𝑠1, 𝑥1)
= 𝑑11 
 𝑠1 G 𝑓1
∗ 𝑥1
∗ 
E 4 4 G 
F 7 7 G 
(2p) 
ETAPA 2 𝑥2 𝑓2(𝑠2, 𝑥2) = 𝑑22 + 𝑓1
∗(𝑠1) 
 
𝑠2 E F 𝑓2
∗ 𝑥2
∗ 
 
B 10 8 8 F 
 
C 14 14 F 
 
D 9 10 9 E 
(3p) 
ETAPA 3 𝑥3 𝑓3(𝑠3, 𝑥3) = 𝑑33 + 𝑓2
∗(𝑠2) 
 
𝑠3 B C D 𝑓3
∗ 𝑥3
∗ 
 
A1 10 17 14 10 B 
 
A2 18 11 11 D 
(2p) 
Deberá acudir el vehículo de emergencias que está en A1, pues está a una distancia de 10, mientras que A2 está a 
una distancia de 11. El camino que debe seguir es A1-B-F-G. (3p) 
 
2 
 
2. Un sistema de generación de energía eléctrica está formado por tres 
centrales eléctricas: una central hidráulica, una central térmica de carbón, y 
una central térmica de gas. Este sistema debe proveer de electricidad a una 
ciudad, que tiene un consumo de 1000 MWh. 
 
Con este fin, la empresa Luz del Sur, (www.luzdelsur.com.pe), responsable 
de distribuir la energía generada en este sistema, debe decidir cuánta 
energía comprar a cada central, con el fin de conseguir los 1000 MWh al 
menor precio. Por simplicidad, vamos a suponer que la electricidad es 
adquirida en bloques de 100 MWh. 
 
El contrato de suministro que se tiene con la central de carbón obliga a comprarle un mínimo de 200 MWh, y su 
capacidad máxima es de 600 MWh. Asimismo, el contrato de suministro con la central de gas obliga a comprarle un 
mínimo de 100 MWh, y su capacidad máxima es también de 600 MWh. Con la central hidráulica no existe ningún 
compromiso de compra mínima de energía, pero su capacidad máxima es de 400 MWh. 
 
El coste de la energía es diferente en cada central. El coste no es lineal, debido a los diferentes costos fijos en los que 
se incurre, entre otros factores. La siguiente tabla muestra el coste (miles de $) de suministrar diferentes niveles de 
energía con cada central. Utilizando programación dinámica, establece un sistema óptimo de compra de la energía 
eléctrica para Luz del Sur. 
 
En la resolución, comience a resolver (primera tabla) la central hidráulica, luego la de carbón, y finalmente la de gas. 
 
 
 
Coste de suministro 
Energía Gas Carbón Hidráulica 
0 -- -- 0 
100 10 -- 8 
200 20 22 12 
300 30 26 25 
400 40 30 30 
500 45 44 -- 
600 52 56 -- 
 
 
http://www.luzdelsur.com.pe/
3 
 
SOLUCIÓN: 
En este problema, la variable de decisión es 𝑥𝑖 = MWh comprados a la central 𝑖 (hidráulica, carbón, gas). Las etapas 
son las centrales. La variable de estado son los MWh que quedan aún por asignar (comprar) al inicio de la etapa. 
Dadas las restricciones de las centrales y el requisito de adquirir exactamente 1000 MWh, la representación gráfica 
de este problema que visualice las etapas, estados y variables de decisión es la siguiente: 
 
 
Las tablas de cada etapa son las siguientes: 
ETAPA 1 x1 
 (Hidráulica) s1 0 100 200 300 400 f1* x1* 
(2p) 0 0 0 0 
 
100 8 8 100 
 
200 12 12 200 
 
300 25 25 300 
 
400 30 30 400 
 
ETAPA 2 x2 
 (Carbón) s2 200 300 400 500 600 f2* x2* 
(3p) 400 34 34 30 30 400 
 
500 47 38 38 44 38 300 
 
600 52 51 42 52 56 42 400 
 
700 56 55 56 64 55 400 
 
800 60 69 68 60 400 
 
900 74 81 74 500 
 
ETAPA 2 x3 
 (Gas) s3 100 200 300 400 500 600 f3* x3* 
(3p) 1000 84 80 85 82 83 82 80 200 
La solución óptima tiene un coste de $80000 y consiste en comprar la siguientes cantidades de MWh (2p): 200 MWh 
a la central de gas, 400 MWh a la de carbón y 400 MWh a la hidráulica. 
PracticasyExamenes_2016_II/Practica3_O2_2016_II_enunciado.pdf
1 
 
 
 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 
SEMESTRE 2016-II 
PRÁCTICA 3 
VIERNES, 14 DE OCTUBRE DE 2016 
Nombre:___________________________________________________________________________ 
Sección:___________________ 
No se puede consultar ningún tipo de documentación. 
 
1. El supermercado PlazaVista ha podido determinar que sus ventas diarias de carne de pollo pueden modelizarse 
como una distribución normal de media 200 kilos y desviación típica 20 kilos. La figura siguiente muestra la función 
de distribución de este modelo. 
 
PlazaVista compra la carne de pollo cada mañana a su proveedor mayorista. El precio al que el supermercado compra 
el kilo de pollo es también una variable aleatoria, y puede modelizarse como una distribución uniforme en el intervalo 
[3,6] (soles por kilo de pollo). Aunque el precio de venta del pollo en el supermercado sea decisión del propio 
supermercado, este precio de venta se fija en función de los precios al que se vende el pollo en establecimientos de la 
competencia. De esta forma, el precio de venta al que se etiqueta el pollo en el supermercado varia de un día a otro 
de acuerdo con la distribución discreta que se muestra en la siguiente tabla. La tabla muestra los precios y su función 
de probabilidad. 
𝑥 
(soles/kg) 
𝑃(𝑋 = 𝑥)
7 0.30 
8 0.30 
9 0.20 
Mediante simulación estadística (usa sólo 4 replicaciones), simula el beneficio que se obtiene cada día con la venta de 
pollo. Escribe una tabla donde se vea claramente cada paso del ejercicio de simulación. Cada fila será un día simulado, 
y las columnas mostrarán las variables que se van simulando o calculando. Muestra también el número aleatorio que 
utilizas en cada caso. Usa la tabla de números aleatorios que se proporciona más adelante. Realiza las simulaciones día 
a día. A partir de las simulaciones calcula el beneficio medio diario que espera obtenerse. 
 
2 
 
 
2. Para la elaboración de un artículo en un proceso productivo es 
necesario pasar por dos etapas. En la primera etapa se produce el 
ensamblaje de los componentes, y en la segunda se realizan 
operaciones de mecanizado y acabado superficial. Las duraciones de 
cada etapa pueden diferir para cada artículo debido a múltiples 
factores relacionados tanto con el estado de los componentes a 
ensamblar como del estado de las herramientas de mecanizado y 
corte. El tiempo, en segundos, invertido en cada etapa, se denotan 
por 𝑋1 y 𝑋2 y se consideran variables aleatorias independientes, 
distribuidas según un modelo exponencial de parámetros λ1=0.01 y λ2 = 0.005, respectivamente. Es decir, 𝑋1 ∼
𝐸𝑥𝑝(𝜆1 = 0.01), 𝑋2 ∼ 𝐸𝑥𝑝(𝜆2 = 0.005). La duración total del proceso puede entonces escribirse como la 
variable aleatoria 𝑇 = 𝑋1 + 𝑋2. Para una variable exponencial se tiene que su función de distribución es 𝐹(𝑥) =
1 − 𝑒−𝜆𝑥, y 𝐸(𝑋) = 1/𝜆. 
 
Mediante simulación estadística (usa sólo 5 replicaciones), simula el tiempo total que se necesita para completar 
cada artículo. Escribe una tabla donde se vea claramente cada paso del ejercicio de simulación. Cada fila será un 
artículo, y las columnas mostrarán las variables que se van simulando o calculando. Muestra también el número 
aleatorio que utilizas en cada caso. Usa la tabla de números aleatorios que se proporciona más adelante. Realiza 
las simulaciones artículo a artículo. A partir de las simulaciones calcula el tiempo medio que demora este 
proceso. 
 
TABLA DE NÚMEROS ALEATORIOS 
56023 37107 03845 36967 84633 79214 70696 
75427 07779 27303 52331 76008 85795 85994 
44969 83365 05257 22491 35475 42669 51879 
03532 25471 07773 13429 79776 46616 50293 
87841 69421 82887 48575 39527 81770 08657 
27774 95553 68234 57855 33019 38426 61937 
Comienza por el primer número y sigue en horizontal. 
Usa una precisión de dos decimales. Ejem. 05->0.05;>0.51,... 
PracticasyExamenes_2016_II/Practica3_O2_2016_II_soluci?n.pdf
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 
SEMESTRE 2016-II 
PRÁCTICA 3 
VIERNES, 14 DE OCTUBRE DE 2016 
Nombre:___________________________________________________________________________ 
Sección:___________________ 
No se puede consultar ningún tipo de documentación. 
 
1. El supermercado PlazaVista ha podido determinar que sus ventas diarias de carne de pollo pueden modelizarse 
como una distribución normal de media 200 kilos y desviación típica 20 kilos. La figura siguiente muestra la función 
de distribución de este modelo. 
 
PlazaVista compra la carne de pollo cada mañana a su proveedor mayorista. El precio al que el supermercado 
compra el kilo de pollo es también una variable aleatoria, y puede modelizarse como una distribución uniforme en el 
intervalo [3;6] (soles por kilo de pollo). Aunque el precio de venta del pollo en el supermercado sea decisión del 
propio supermercado, este precio de venta se fija en función de los precios al que se vende el pollo en 
establecimientos de la competencia. De esta forma, el precio de venta al que se etiqueta el pollo en el 
supermercado varia de un día a otro de acuerdo con la distribución discreta que se muestra en la siguiente tabla. La 
tabla muestra los precios y su función de probabilidad. 
𝑥 
(soles/kg) 
𝑃(𝑋 = 𝑥) 
7 0.30 
8 0.50 
9 0.20 
Mediante simulación estadística (usa sólo 4 replicaciones), simula el beneficio que se obtiene cada día con la venta 
de pollo. Escribe una tabla donde se vea claramente cada paso del ejercicio de simulación. Cada fila será un día 
simulado, y las columnas mostrarán las variables que se van simulando o calculando. Muestra también el número 
aleatorio que utilizas en cada caso. Usa la tabla de números aleatorios que se proporciona más adelante. Realiza las 
simulaciones día a día. A partir de las simulaciones calcula el beneficio medio diario que espera obtenerse. 
 
SOLUCIÓN: 
 
Los valores de la distribución normal los podemos obtener utilizando el gráfico de la función de distribución que se 
proporciona. Por ejemplo, para u=0.56 obtenemos (aproximadamente) el valor 203 kg. Con ellos simulamos el nº de 
kilos de pollo vendidos cada día. 
2 
 
 
 
 
Para simular el precio al que se compra el kg de pollo convertimos la 𝑈(0,1) en una 𝑈(3,6) mediante la función 
inversa de la función de distribución de la uniforme, que resulta (ver diapositivas): 
𝑥 = 3 + (6 − 3)𝑢 = 3 + 3𝑢, 
donde 𝑢 ∼ 𝑈(0,1). Por ejemplo, para 𝑢 = 0.02 resulta 𝑥 = 3.06 soles el kilo de pollo. Si hemos vendido 203 kilos de 
pollo, tenemos que esa carne nos ha costado 203×3.06 ≈ 621 soles. 
 
Para simular el precio al que el supermercado vende el pollo utilizamos la función inversa de la función de 
distribución del precio. De la tabla que se proporciona describiendo la función de probabilidad podemos obtener la 
función de distribución 𝐹(𝑥): 
𝑋 
precio venta 
(soles/kg) 
𝑃(𝑋 = 𝑥) 𝐹(𝑥) 
7 0,30 0,30 
8 0,50 0,80 
9 0,20 1,00 
 
Para aplicar la función inversa de un valor 𝑢 de la 𝑈(0,1), buscamos el menor valor de 𝐹(𝑥) que es mayor o igual 
que 𝑢. El valor de 𝑥 correspondiente es el valor que buscamos. Por ejemplo, para 𝑢 = 0.33 enemos que el menor 
valor de 𝐹(𝑥) que es mayor o igual es 0.80. Por tanto, el precio simulado es 𝑥 = 8 soles por kg. Si hemos vendido 
203 kg habremos ingresado 203×8 = 1624 soles. Haciendo balance, ese día habremos tenido un beneficio de 
1624 − 621 = 1003 soles. La tabla que recoge todas las simulaciones es la siguiente 
 
 
 
 
Venta (unidades) Coste Venta 
Beneficios 
rep U1 Nº de pollos U2 Coste Unit Coste tot U3 Precio unit Ingresos 
1 0,56 203 0,02 3,060 621,18 0,33 8 1624 1002,82 
2 0,71 211 0,07 3,210 677,31 0,03 7 1477 799,69 
3 0,84 220 0,53 4,590 1009,80 0,69 8 1760 750,20 
4 0,67 209 0,84 5,520 1153,68 0,63 8 1672 518,32 
 
Media 767,76 
 
 
3 
 
 
 
2. Para la elaboración de un artículo en un proceso productivo es necesario 
pasar por dos etapas. En la primera etapa se produce el ensamblaje de los 
componentes, y en la segunda se realizan operaciones de mecanizado y 
acabado superficial. Las duraciones de cada etapa pueden diferir para cada 
artículo debido a múltiples factores relacionados tanto con el estado de los 
componentes a ensamblar como del estado de las herramientas de 
mecanizado y corte. El tiempo, en segundos, invertido en cada etapa, se 
denotan por 𝑋1 y 𝑋2 y se consideran variables aleatorias independientes, 
distribuidas según un modelo exponencial de parámetros λ1=0.01 y λ2 = 0.005, respectivamente. Es decir, 𝑋1 ∼
𝐸𝑥𝑝(𝜆1 = 0.01), 𝑋2 ∼ 𝐸𝑥𝑝(𝜆2 = 0.005). La duración total del proceso puede entonces escribirse como la 
variable aleatoria 𝑇 = 𝑋1 + 𝑋2. Para una variable exponencial se tiene que su función de distribución es 𝐹(𝑥) =
1 − 𝑒−𝜆𝑥, y 𝐸(𝑋) = 1/𝜆. 
 
Mediante simulación estadística (usa sólo 5 replicaciones), simula el tiempo total que se necesita para completar 
cada artículo. Escribe una tabla donde se vea claramente cada paso del ejercicio de simulación. Cada fila será un 
artículo, y las columnas mostrarán las variables que se van simulando o calculando. Muestra también el número 
aleatorio
que utilizas en cada caso. Usa la tabla de números aleatorios que se proporciona más adelante. Realiza 
las simulaciones artículo a artículo. A partir de las simulaciones calcula el tiempo medio que demora este 
proceso. 
 
SOLUCIÓN: 
 
Para simular números aleatorios de una exponencial de parámetro 𝜆 utilizamos el método de la inversa. Para 
aplicar este método necesitamos calcular la función inversa de la función de distribución. 
𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒−𝜆𝑥 = 𝑢 ⇒ 𝑥 = −
ln(1 − 𝑢)
𝜆
. 
Con esta fórmula se obtienen los valores simulados de 𝑋1 y de 𝑋2. La siguiente tabla recoge los resultados de la 
simulación. 
 
Etapa 1 Etapa 2 Tiempo 
Rep. nº U1 X1 nº U2 X2 T 
1 56 0,56 82,10 2 0,02 4,04 86,14 
2 33 0,33 40,05 71 0,71 247,57 287,62 
3 7 0,07 7,26 3 0,03 6,09 13,35 
4 84 0,84 183,26 53 0,53 151,00 334,26 
5 69 0,69 117,12 67 0,67 221,73 338,85 
 
 
media 212,04 
 
 
TABLA DE NÚMEROS ALEATORIOS 
56023 37107 03845 36967 84633 79214 70696 
75427 07779 27303 52331 76008 85795 85994 
44969 83365 05257 22491 35475 42669 51879 
03532 25471 07773 13429 79776 46616 50293 
87841 69421 82887 48575 39527 81770 08657 
27774 95553 68234 57855 33019 38426 61937 
Comienza por el primer número y sigue en horizontal. 
Usa una precisión de dos decimales. Ejem. 05->0.05;>0.51,... 
PracticasyExamenes_2016_II/Practica4_O2_2016_II_enunciado.pdf
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 
SEMESTRE 2016-II 
PRÁCTICA 4 
VIERNES, 28 DE OCTUBRE DE 2016 
Nombre:___________________________________________________________________________ 
Sección:___________________ 
No se puede consultar ningún tipo de documentación. 
 
1. Para la realización de un proyecto hay que ejecutar las tareas A a G, 
como se muestra en la figura. Las duraciones de cada tarea son 
variables aleatorias independientes, con las características 
siguientes (todas las duraciones en minutos): 
a. La duración de la tarea A sigue una distribución uniforme 
continua en el intervalo [0 10]. Tras finalizar la tarea A se 
pasa a las tareas B y C, que se ejecutan en paralelo. 
b. Las tareas B y C siguen ambas una distribución exponencial de media 20. Ambas duraciones son independientes. 
Para una variable exponencial se tiene que su función de distribución es 𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒−𝜆𝑥, y 𝐸(𝑋) = 1/𝜆. 
c. Cuando finalizan ambas tareas, B y C, se pasa a la tarea D, que es una tarea donde se inspecciona el resultado de las 
tareas ejecutadas. El 20% de las veces se comprueba que todo es correcto, para lo que se invierte 1 minuto. El resto 
de las veces, se concluye que es necesario realizar alguna modificación. En ese caso, además del minuto invertido en 
la evaluación, es necesario invertir un tiempo adicional. El 25% de las veces ese tiempo adicional es de 5 minutos, el 
50% de las veces es de 7 minutos, y el 25% restante de las veces, ese tiempo adicional es de 10 minutos. 
d. Tras la tarea D se pasa a las tareas E y F, que también se ejecutan en paralelo. La duración de ambas tareas son 
variables aleatorias independientes que siguen una distribución normal de media 5 y desviación típica 1. El gráfico 
de su función de distribución se muestra más abajo. 
e. La tarea G comienza en cuanto termina alguna de las tareas E o F. Es decir, no es necesario que terminen las dos, 
basta con que termine una. La duración de esta tarea es una exponencial de media 4. 
 
Simula 5 replicaciones de este proceso, calculando para cada una la 
duración total del proceso. Ten en cuenta que para que el proyecto 
termine deben haber terminado todas las tareas. Calcula la 
duración media del proyecto y la mediana. Organiza las 
simulaciones construyendo una tabla donde se vea claramente 
cada paso del ejercicio de simulación. Para cada tarea, se usarán 
los siguientes números aleatorios. Con ellos, obtén valores 𝑈(0,1) 
con dos decimales. 
 
TAREA A: 5 0 3 2 5 9 1 3 4 6 4 2 8 2 2 5 7 9 2 8 6 8 
TAREA B: 8 5 6 2 0 1 3 2 7 4 7 0 3 3 9 3 8 5 7 2 2 2 
TAREA C: 4 6 1 8 2 6 9 6 0 6 4 4 3 4 1 0 8 9 7 8 4 1 
TAREA D: 2 6 3 7 8 4 2 8 5 8 3 1 0 3 0 7 0 1 9 8 7 0 
TAREA E: 9 6 0 5 5 6 2 8 3 9 1 8 6 2 1 8 1 2 0 9 3 7 
TAREA F 1 0 9 1 6 3 4 1 2 2 4 4 1 5 1 2 5 2 0 8 2 2 
TAREA G 1 3 1 9 1 7 3 1 6 4 7 6 1 4 1 6 7 0 2 5 5 9 
 
 
 
 
 
 
 
SIGUE ⇒ 
2 
 
2. Se desea generar valores aleatorios siguiendo el método de aceptación rechazo. Se pide: 
 
a) Explica brevemente en qué consiste el método de aceptación-rechazo para la generación de 
valores aleatorios de una variable aleatoria continua. 
 
b) Usando los números aleatorios 
955533710038453696784633792147069 
 
y usando dos decimales de precisión, genera 3 valores aleatorios de la siguiente distribución, 
denominada distribución triangular, usando el método de aceptación-rechazo. 
 
 
𝑓(𝑥) = {
𝑥 − 1
2
, 1 ≤ 𝑥 < 2
5 − 𝑥
6
, 2 ≤ 𝑥 ≤ 5
 
 
c) Utilizando el método de Aceptación-rechazo y los números aleatorios 
459533710038453696784633792147069 
, 
con dos decimales de precisión, genera 2 valores aleatorios de la variable con función de densidad 
𝑓(𝑥) = 4𝑥𝑒−2𝑥; 𝑥 ≥ 0. 
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 
SEMESTRE 2016-II 
PRÁCTICA 4 
VIERNES, 28 DE OCTUBRE DE 2016 
Nombre:___________________________________________________________________________ 
Sección:___________________ 
No se puede consultar ningún tipo de documentación. 
 
1. (10p) Para la realización de un proyecto hay que ejecutar las tareas 
A a G, como se muestra en la figura. Las duraciones de cada tarea 
son variables aleatorias independientes, con las características 
siguientes (todas las duraciones en minutos): 
a. La duración de la tarea A sigue una distribución uniforme 
continua en el intervalo [0 10]. Tras finalizar la tarea A se 
pasa a las tareas B y C, que se ejecutan en paralelo. 
b. Las tareas B y C siguen ambas una distribución exponencial de media 20. Ambas duraciones son independientes. 
Para una variable exponencial se tiene que su función de distribución es 𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒−𝜆𝑥, y 𝐸(𝑋) = 1/𝜆. 
c. Cuando finalizan ambas tareas, B y C, se pasa a la tarea D, que es una tarea donde se inspecciona el resultado de las 
tareas ejecutadas. El 20% de las veces se comprueba que todo es correcto, para lo que se invierte 1 minuto. El resto 
de las veces, se concluye que es necesario realizar alguna modificación. En ese caso, además del minuto invertido en 
la evaluación, es necesario invertir un tiempo adicional. El 25% de las veces ese tiempo adicional es de 5 minutos, el 
50% de las veces es de 7 minutos, y el 25% restante de las veces, ese tiempo adicional es de 10 minutos. 
d. Tras la tarea D se pasa a las tareas E y F, que también se ejecutan en paralelo. La duración de ambas tareas son 
variables aleatorias independientes que siguen una distribución normal de media 5 y desviación típica 1. El gráfico 
de su función de distribución se muestra más abajo. 
e. La tarea G comienza en cuanto termina alguna de las tareas E o F. Es decir, no es necesario que terminen las dos, 
basta con que termine una. La duración de esta tarea es una exponencial de media 4. 
 
Simula 5 replicaciones de este proceso, calculando para cada una la 
duración total del proceso. Ten en cuenta que para que el proyecto 
termine deben haber terminado todas las tareas. Calcula la 
duración media del proyecto y la mediana. Organiza las 
simulaciones construyendo una tabla donde se vea claramente 
cada paso del ejercicio de simulación. Para cada tarea, se usarán 
los siguientes números aleatorios. Con ellos, obtén valores 𝑈(0,1) 
con dos decimales. 
 
TAREA A: 5 0 3 2 5 9 1 3 4 6 4 2 8 2 2 5 7 9 2 8 6 8 
TAREA B: 8 5 6 2 0 1 3 2 7 4 7 0 3 3 9 3 8 5 7 2 2 2 
TAREA C: 4 6 1 8 2 6 9 6 0 6 4 4 3 4
1 0 8 9 7 8 4 1 
TAREA D: 2 6 3 7 8 4 2 8 5 8 3 1 0 3 0 7 0 1 9 8 7 0 
TAREA E: 9 6 0 5 5 6 2 8 3 9 1 8 6 2 1 8 1 2 0 9 3 7 
TAREA F 1 0 9 1 6 3 4 1 2 2 4 4 1 5 1 2 5 2 0 8 2 2 
TAREA G 1 3 1 9 1 7 3 1 6 4 7 6 1 4 1 6 7 0 2 5 5 9 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
SOLUCIÓN: 
Simulaciones de cada tarea=1 p por tarea (total 7p). 
Modelizar que en el conjunto B-C la duración que se necesita es: max(B,C) , 0.5p 
Modelizar que se pase a G en cuanto acabe E o F: 1p. 
Modelizar que para que acabe el proyecto deben acabar todas las tareas: 1p 
Calcular media y mediana: 0.5p 
 
Para obtener los valores de la tarea A aplicamos la función inversa de la uniforme, resultando 
𝑋𝐴 = 0 + (10 − 0)𝑢 = 10𝑢, 𝑢 ∼ 𝑈(0,1). 
Para las tareas B y C hay que aplicar el mismo procedimiento, pero con número aleatorios diferentes. Aplicando el método 
de la inversa se tiene que, usando que 𝜆 = 1/20 
𝑋𝐵 = −
ln(1 − 𝑢)
𝜆
= −
ln(1 − 𝑢)
0.05
. 
Como no se puede iniciar la tarea D hasta que hayan terminado B y C, el tiempo de esta parte del proceso será 
𝑋𝐵𝐶 = max(𝑋𝐵, 𝑋𝐶). 
Las siguiente tabla resume las simulaciones obtenidas hasta este momento serían: 
A B C Max Duración 
UA XA UB XB UB XB B-C parcial 
0,50 5,00 0,85 37,94 0,46 12,32 37,94 42,94 
0,32 3,20 0,62 19,35 0,18 3,97 19,35 22,55 
0,59 5,90 0,01 0,20 0,26 6,02 6,02 11,92 
0,13 1,30 0,32 7,71 0,96 64,38 64,38 65,68 
0,46 4,60 0,74 26,94 0,06 1,24 26,94 31,54 
El tiempo invertido en la tarea D es una variable aleatoria discreta que toma valores 1,6,8,y 11. Se puede simular de dos 
formas equivalentes. La primera forma es calculando las probabilidades de cada uno de estos valores aplicando: 
𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥|incorrecto)𝑃(incorrecto) 
de esta forma se tiene la siguiente tabla, de la que es inmediato obtener valores aleatorios por el método de la inversa: 
𝑋𝐷 𝑝(𝑥) 𝐹(𝑥) 
1 0.2 0.2 
6 0.25×0.8 = 0.2 0.4 
8 0.75×0.8 = 0.4 0.8 
11 0.25×0.8 = 0.2 1 
La tabla de valores simulados sería 
D1 
UD1 XD 
0,26 6 
0,37 6 
0,84 11 
0,28 6 
0,58 8 
 
3 
 
Un segundo procedimiento sería simulando primero si la evaluación es positiva o no. Si no lo es, se simula la duración de la 
modificación. Se usarían entonces dos tablas. 
 
𝑋𝐷1 𝑝(𝑥) 𝐹(𝑥) 
𝑋𝐷2 𝑝(𝑥) 𝐹(𝑥) 
0 0.2 0.2 
 
5 0.25 0.25 
1 0.8 1 
 
7 0.5 0.75 
 
10 0.25 1 
y la duración sería 
𝑋𝐷 = 1 + 𝑋𝐷2𝐼(𝑋𝐷1 = 1), 
donde 𝐼(𝑋𝐷1 = 1) es una variable indicadora, que vale 1 si su argumento es verdadero y cero en caso contrario. 
La tabla de esta variable con esta segunda opción sería: 
D2 
UD1 XD1 UD2 XD2 XD 
0,26 1 0,37 7 7 
0,84 1 0,28 7 7 
0,58 1 0,31 7 7 
0,03 0 0,07 6 1 
0,01 0 0,98 8 1 
Para simular las duraciones de E y F aplicamos el método de la inversa gráficamente. El valor de 𝑢 simulado entraría por el 
eje Y del gráfico de la función de distribución, y así leeríamos el valor que le corresponde en el eje X. 
 
Finalmente, la duración de la tarea G es una exponencial de parámetro 𝜆 =1/4=0.25. Por tanto, por el método de la 
inversa: 
𝑋𝐺 = −
ln(1 − 𝑢)
0.25
. 
El proyecto habrá terminado cuando terminen todas las tareas. A la duración del proyecto al finalizar la tarea D habrá que 
sumar 
max(min(𝑋𝐸 , 𝑋𝐹) + 𝑋𝐺 ; max(𝑋𝐸 , 𝑋𝐹)) 
La tabla siguiente resume los resultados desde la tarea D en adelante, donde se ha optado por la primera opción para el 
cálculo de la duración de la tarea D. 
 
4 
 
 
 
 
EFG 
 D1 E F Min Max G 
(Min EF)+G 
MAX(Max 
EF;Min EF+G) 
DURACIÓN 
UD1 XD UE XE UF XF E-F E-F UG XG 
0,26 6 0,96 6,8 0,1 3,7 3,7 6,8 0,13 0,56 4,26 6,8 55,74 
0,37 6 0,05 3,4 0,91 6,3 3,4 6,3 0,19 0,84 4,24 6,3 34,85 
0,84 11 0,56 5,2 0,63 5,3 5,2 5,3 0,17 0,75 5,95 5,9 28,87 
0,28 6 0,28 4,4 0,41 4,8 4,4 4,8 0,31 1,48 5,88 5,9 77,56 
0,58 8 0,39 4,7 0,22 4,2 4,2 4,7 0,64 4,09 8,29 8,3 47,83 
 
 
media 48,97 
 
 
mediana 47,83 
 
Si se hubiese optado por la segunda opción para simular D, la tabla sería 
 
 
 
 
EFG 
 D2 E F Min Max G 
(Min 
EF)+G 
MAX(Max 
EF;Min 
EF+G) 
DURACIÓN 
UD1 XD1 UD2 XD2 XD UE XE UF XF E-F E-F UG XG 
0,26 1 0,37 7 7 0,96 6,8 0,1 3,7 3,7 6,8 0,13 0,56 4,26 6,8 56,74 
0,84 1 0,28 7 7 0,05 3,4 0,91 6,3 3,4 6,3 0,19 0,84 4,24 6,3 35,85 
0,58 1 0,31 7 7 0,56 5,2 0,63 5,3 5,2 5,3 0,17 0,75 5,95 5,9 24,87 
0,03 0 0,07 6 1 0,28 4,4 0,41 4,8 4,4 4,8 0,31 1,48 5,88 5,9 72,56 
0,01 0 0,98 8 1 0,39 4,7 0,22 4,2 4,2 4,7 0,64 4,09 8,29 8,3 40,83 
 
 
 
 
media 46,17 
 
 
 
 
mediana 40,83 
 
La mediana es el valor que, ordenada la muestra de menor a mayor, está en la 3ª posición. 
 
 
5 
 
 
2. Se desea generar valores aleatorios siguiendo el método de aceptación rechazo. Se pide: 
 
a) Explica brevemente en qué consiste el método de aceptación-rechazo para la generación de 
valores aleatorios de una variable aleatoria continua. (2p) 
 
b) Usando los números aleatorios 
955533710038453696784633792147069 
 
y usando dos decimales de precisión, genera 3 valores aleatorios de la siguiente distribución, 
denominada distribución triangular, usando el método de aceptación-rechazo. (4p) 
 
 
𝑓(𝑥) = {
𝑥 − 1
2
, 1 ≤ 𝑥 < 2
5 − 𝑥
6
, 2 ≤ 𝑥 ≤ 5
 
 
c) Utilizando el método de Aceptación-rechazo y los números aleatorios 
459533710038453696784633792147069 
, 
con dos decimales de precisión, genera 2 valores aleatorios de la variable con función de densidad 
𝑓(𝑥) = 4𝑥𝑒−2𝑥; 𝑥 ≥ 0.(4p) 
 
 
SOLUCIÓN: 
 
a) El método de aceptación-rechazo es un método para generar valores aleatorios de una variable 
aleatoria 𝑋 a partir de su función de densidad 𝑓(𝑥) . Con ese fin, generamos pares de valores (𝑥∗, 𝑦∗) 
distribuidos uniformemente en el rectángulo de base el rango de la variable aleatoria de interés, y altura 
el máximo de su densidad (moda). Los valores de X que buscamos serán las abscisas 𝑥∗ tales que 𝑦∗ ≤
𝑓(𝑥∗). El método consta de los siguientes pasos: 
 
1. Generamos un valor 𝑢1 de una 𝑈(0,1) y lo transformamos en un valor 𝑥
∗ que siga una 𝑈(𝑎, 𝑏), 
donde 𝑎 y 𝑏 son el mínimo y el máximo, respectivamente, de 𝑋 . Para ello, hacemos la 
transformación 
𝑥∗ = 𝑎 + (𝑏 − 𝑎)𝑢1. 
 
2. Generamos otro valor 𝑢2 de una 𝑈(0,1) y lo transformamos en un valor 𝑦
∗ que siga una 
𝑈(0, 𝑀), donde 𝑀 es una cota superior de 𝑓(𝑥). Es decir, 
𝑦∗ = 𝑀𝑢2. 
 
3. Si 𝑦∗ ≤ 𝑓(𝑥∗) entonces 𝑥∗ pertenece a la distribución buscada. En caso contrario, se rechaza. 
Se repiten los Pasos 1-3 hasta que se tiene el tamaño muestral deseado. 
 
6 
 
b) En este problema tenemos que 𝑎 = 1, 𝑏 = 5, 𝑀 = 0.5. Generamos primero un valor 𝑥∗ ∼ 𝑈(1,5) 
mediante 𝑥∗ = 1 + 4𝑢1. Posteriormente, generamos 𝑦
∗ ∼ 𝑈(0,0.5) mediante 𝑦∗ = 0.5𝑢2. Finalmente 
calculamos 𝑓(𝑥∗) y comprobamos si es menor que 𝑦∗. En ese caso, asumimos 𝑥∗ como valor de nuestra 
distribución. La siguiente tabla contiene los datos de la simulación. 
Iteración U1 U2 X* Y* f(x*) 
Valor Si 
Y*<=f(x*) 
1 0,95 0,55 4,80 0,2750 0,03 
2 0,33 0,71 2,32 0,3550 0,45 2,3200 
3 0,00 0,38 1,00 0,1900 0,00 
4 0,45 0,36 2,80 0,1800 0,37 2,8000 
5 0,96 0,78 4,84 0,3900 0,03 
6 0,46 0,33 2,84 0,1650 0,36 2,8400 
 
 
c) En este caso tenemos que 𝑎 = 0. Para obtener un valor de 𝑏 
tenemos que truncar en un valor tal que 𝑓(𝑏) sea muy bajo. 
No lo elegiremos demasiado bajo, pues tenemos que obtener 
resultados factibles en pocas replicaciones, pues los cálculos 
los haremos con calculadora. Vemos que en esta función si 
𝑥 → ∞ entonces 𝑓(𝑥) → 0 . Para calcular el máximo 
tomamos la primera derivada: 
𝑓′(𝑥) = (4 − 8𝑥)𝑒−2𝑥 
que se anula para 𝑥 = 0.5. En ese punto se tiene que 𝑓(0.5) =0.7358, que será nuestro valor de M. Si
calculamos para varios valores de 𝑏 tenemos que, por ejemplo, 𝑓(3.5) = 0.01 que es ya un número 
muy pequeño. Por tanto, tomaremos 𝑏 = 3.5. Se tiene entonces que 
𝑥∗ = 3.5𝑢1; 𝑦
∗ = 0.74𝑢2 
 
La tabla con las simulaciones queda de la siguiente manera: 
 
Iteración U1 U2 X* Y* 𝒇(𝒙∗) 
Valor Si 
𝒀∗ ≤ 𝒇(𝒙∗) 
1 0,45 0,95 1,58 0,7030 0,27 
2 0,33 0,71 1,16 0,5254 0,46 
3 0,00 0,38 0,00 0,2812 0,00 
4 0,45 0,36 1,58 0,2664 0,27 1,5750 
5 0,96 0,78 3,36 0,5772 0,02 
6 0,46 0,33 1,61 0,2442 0,26 1,6100 
 
 
PracticasyExamenes_2016_II/Practica5_O2_2016_II_enunciado.pdf
1 
 
 
 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 
SEMESTRE 2016-II 
PRÁCTICA 5 
VIERNES, 11 DE NOVIEMBRE DE 2016 
Nombre:___________________________________________________________________________ 
Sección:___________________ 
No se puede consultar ningún tipo de documentación. Sólo se puede utilizar el formulario que se adjunta. 
 
1. Un fabricante de piezas de automóvil tiene una cabina de pintado industrial. Las piezas que se van a someter a dicho 
proceso llegan según un proceso de Poisson a una tasa media de 10 artículos por hora. El tiempo que se tarda en pintar 
las piezas es una variable aleatoria, debido principalmente a que las piezas son de diferentes formas y tamaños. El 
tiempo que se tarda en pintar una pieza se puede modelizar con una distribución exponencial de media 4 minutos. Sólo 
puede pintarse una pieza cada vez, por lo que cuando se está pintando una pieza, las piezas que llegan se colocan en 
una ‘zona de espera’ con estantes esperando su turno. El espacio que hay en la zona de espera es suficientemente 
grande, por lo que no hay problema de espacio en esta zona de espera. Contesta de forma razonada a las siguientes 
cuestiones: 
 
a. Calcula la probabilidad de que no lleguen piezas a este proceso durante 5 minutos. (1p) 
 
b. Calcula la probabilidad de que el pintado de una pieza demore más de 5 minutos. (1p) 
 
c. ¿Qué porcentaje del tiempo estará esta cabina de pintado ociosa? (2p) 
 
d. ¿Qué proporción de piezas tiene que esperar para que las pinten? (2p) 
 
e. ¿Cuánto tiempo (minutos), por término medio, estará una pieza esperando para que la pinten? (1p) 
 
f. ¿Cuántas piezas habrá en las estanterías, por término medio, esperando a ser pintadas? (1p) 
 
g. ¿Cómo debería ser la duración media del proceso de pintado para reducir a la mitad el número de piezas 
que hace cola? (2p) 
 
2. Seguimos con el mismo proceso que en la pregunta anterior. Contesta de forma razonada a las siguientes cuestiones: 
 
a. Demuestra que la tasa media a la que salen las piezas pintadas es la misma que la tasa media a la que 
llegan a este proceso. (2p) 
 
b. Calcula la probabilidad de que cuando llegue una nueva pieza haya 3 piezas en los estantes de la zona de 
espera. (2p) 
 
c. Al enviar una pieza para ser pintada se comprueba que hay ya 5 piezas en la zona de espera. ¿Cuánto 
tiempo demorará, por término medio, esta pieza que acaba de llegar en salir pintada? (2p) 
 
d. Aunque se está considerando que los estantes de la zona de espera tienen una capacidad ilimitada, en la 
realidad no la tendrá. Si en algún momento estos estantes se llenasen del todo, las piezas que lleguen 
tendrían que colocarse en el suelo, lo que generará muchos problemas. Para evitar esto, se quiere 
dimensionar adecuadamente esta zona. ¿Cuántas piezas deberían caber en estos estantes para que la 
probabilidad de que haya que colocar las piezas en el suelo sea inferior a 0.001? (2p) 
 
e. Con el fin de aumentar el grado de utilización de este proceso de pintado, se está planeando enviar 
también piezas procedentes de otros procesos de esta misma factoría. ¿Cuánto más podría aumentar el 
flujo de llegada de piezas? (2p) 
2 
 
 
 
 
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 
FORMULARIO DE TEORÍA DE COLAS 
 Proceso de Poisson 
𝑋 ∼ 𝑃𝑜𝑖(𝜆) ⇒ 𝑃(𝑋 = 𝑟) =
𝜆𝑟
𝑟!
𝑒−𝜆; 𝑟 = 0,1,2, … 
𝑇 ∼ Exp(𝜆) ⇒ 𝑓(𝑡) = 𝜆𝑒−𝜆𝑡; 𝑃(𝑇 > 𝑡0) = 𝑒
−𝜆𝑡0 
 
 Postulados del proceso básico de entrada-salida 
o Postulado 1: Si el sistema se encuentra en el estado 𝐸𝑛 en el instante 𝑡, la probabilidad de que 
ocurra una entrada en el intervalo (𝑡, 𝑡 + Δ𝑡) es 𝜆𝑛Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡) 
o Postulado 2: Si el sistema se encuentra en el estado 𝐸𝑛 en el instante 𝑡, la probabilidad de que 
ocurra una salida en el intervalo (𝑡, 𝑡 + Δ𝑡) es 𝜇𝑛Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡) 
o Postulado 3: Las llegadas y las salidas son independientes entre si 
 
 Ecuaciones diferenciales del proceso básico de entrada-salida 
𝑃𝑛
′(𝑡) = 𝜆𝑛−1𝑃𝑛−1(𝑡) + 𝜇𝑛+1𝑃𝑛+1(𝑡) − (𝜆𝑛 + 𝜇𝑛) 
𝑃0
′(𝑡) = 𝜇1𝑃1(𝑡) − 𝜆0𝑃0(𝑡) 
 
 
 
Fórmulas solución sistema básico de entrada-salida estable 
𝑐𝑛 =
∏ 𝜆𝑖
𝑛−1
𝑖=0
∏ 𝜇𝑖 
𝑛
𝑖=1
 𝑃0 =
1
1 + ∑ 𝑐𝑛
∞
𝑛=1
 𝑃𝑛 = 𝑐𝑛𝑃0; 
𝑃𝑛 =
∏ 𝜆𝑖
𝑛−1
𝑖=0
∏ 𝜇𝑖 
𝑛
𝑖=1
𝑃0 𝐿 = ∑ 𝑛𝑃𝑛
∞
𝑛=0
 𝐿𝑞 = ∑ (𝑛 − 𝑠)𝑃𝑛
∞
𝑛=𝑠+1
 
 
 
 
 
1: M / M / 1 / DG /  /  
𝑐𝑛 = (
𝜆
𝜇
)
𝑛
= 𝜌𝑛 = 𝜌𝑐𝑛−1 
𝑃0 = 1 − 𝜌 𝑃𝑛 = 𝜌
𝑛𝑃0 
𝑃(𝑛 > 𝑘) = 𝜌𝑘+1 𝐿 =
𝜌
1 − 𝜌
=
𝜆
𝜇 − 𝜆
 𝐿𝑞 = 𝐿 − 𝜌 =
𝜌2
1 − 𝜌
 
𝑊 =
𝐿
𝜆
=
𝐿 + 1
𝜇
 𝑊𝑞 =
𝐿𝑞
𝜆
 𝑊𝑠 =
𝐿𝑠
𝜆
 
 
 
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2 
SEMESTRE 2016-II 
PRÁCTICA 5 
VIERNES, 11 DE NOVIEMBRE DE 2016 
Nombre:___________________________________________________________________________ 
Sección:___________________ 
No se puede consultar ningún tipo de documentación. Sólo se puede utilizar el formulario que se adjunta. 
 
1. Un fabricante de piezas de automóvil tiene una cabina de pintado industrial. Las piezas que se van a someter a dicho 
proceso llegan según un proceso de Poisson a una tasa media de 10 artículos por hora. El tiempo que se tarda en pintar 
las piezas es una variable aleatoria, debido principalmente a que las piezas son de diferentes formas y tamaños. El 
tiempo que se tarda en pintar una pieza se puede modelizar con una distribución exponencial de media 4 minutos. Sólo 
puede pintarse una pieza cada vez, por lo que cuando se está pintando una pieza, las piezas que llegan se colocan en 
una ‘zona de espera’ con estantes esperando su turno. El espacio que hay en la zona de espera es suficientemente 
grande, por lo que no hay problema de espacio en esta zona de espera. Contesta de forma razonada a las siguientes 
cuestiones: 
a. Calcula la probabilidad de que no lleguen piezas a este proceso durante 5 minutos. (1p) 
b. Calcula la probabilidad de que el pintado de una pieza demore más de 5 minutos. (1p) 
c. ¿Qué porcentaje del tiempo estará la cabina de pintado ociosa? (2p) 
d. ¿Qué proporción de piezas tiene que esperar para que las pinten? (2p) 
e. ¿Cuánto tiempo (minutos), por término medio, estará una pieza esperando para que la pinten? (1p) 
f. ¿Cuántas piezas habrá en las estanterías, por término medio, esperando a ser pintadas? (2p) 
g. ¿Cómo debería ser la duración media del proceso de pintado para reducir a la mitad el número de piezas 
que hace cola? (1p) 
SOLUCIÓN: 
a. Sea 𝑋 = número de piezas que llegan en un minuto a la cabina de pintado. Entonces, de acuerdo al enunciado: 
𝑋 ∼ 𝑃𝑜𝑖 (𝜆 =
10
60
= 0.167
piezas
minuto
) 
 
Si pasamos a una unidad de medida de 5 minutos tendremos que 𝑋∗ = número de piezas que llegan a la cabina 
de pintado cada 5 minutos, tendremos 𝑋∗ ∼ 𝑃𝑜𝑖 (𝜆∗ = 0.833
piezas
5 min 
). Por tanto, la probabilidad de que no 
lleguen piezas en 5 minutos será, utilizando la función de probabilidad de la Poisson (ver formulario): 
𝑃(𝑋∗ = 0) =
𝜆∗0
0!
𝑒−𝜆
∗
= 𝑒−0.833 = 0.435. 
 
Otra forma equivalente de resolver esta probabilidad es con la variable aleatoria 𝑇 =tiempo