La derivada

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DOCENTE: M. Sc. ANDREA LUISA PARI SOTO FACULTAD DE CIENCIAS - MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEMANA 9 
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN, 
FUNCIONES ESPECIALES 
 
 
 
 
 
M. Sc. ANDREA LUISA PARI SOTO 
DOCENTE DE LA FACULTAD DE CIENCIAS 
 
 
 UNIVERSIDAD NACIONAL 
SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO 
 
DOCENTE: M. Sc. ANDREA LUISA PARI SOTO FACULTAD DE CIENCIAS - MATEMÁTICA 
 
 
 
Objetivo 
Desarrollar la idea de recta tangente a una curva, definir la pendiente de una curva, definir una derivada y darle una 
interpretación geométrica. Calcular derivadas de funciones. 
 
 
 
 
Uno de los problemas principales de que se ocupa el cálculo es el de encontrar la pendiente de la recta tangente a un punto 
sobre una curva. Quizá en geometría usted vio que una recta tangente a un círculo, o tangente, es una recta que toca al círculo 
en un solo punto exacto 
 
 
En los ejemplos anteriores puede verse que es necesario abandonar la idea de que una tangente es simplemente una línea que 
interseca una curva en solo un punto. Para obtener una definición conveniente de recta tangente, se utiliza el concepto de 
límite y la noción geométrica de recta secante. Una recta secante es una línea que interseca una curva en dos o más puntos. 
 
 
 
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DEFINICIÓN 
La pendiente de una curva en un punto P es la pendiente, en caso de que exista, de la recta tangente en P. 
 
0 0
0
( ) ( )
TL h
f x h f
lim
x
m
h→
+ −
= . . . (1) 
 
 
Ejercicio 1. Use la definición de derivada para calcular la derivada de la función f (x) = x2 en 
el punto de abscisa x = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es posible generalizar la ecuación (1) de manera que sea aplicable a cualquier punto (x, f(x)) en una curva. 
 
 
 
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DERIVADA EN FORMA GENERAL 
Sea f una función de variable real. Se denomina derivada de f , denotado por '( )f x a la funcion 
0
( ) ( )
'( )
h
f
l
x h f x
f x
h
im
→
+ −
= siempre que este límite exista. 
 
 
Ejercicio 2. Use la definición de derivada para calcular )(' xf si: ( )f x x= 
 
 
 
 
Notación 
Además de la notación f ´ (x), otras formas para denotar a la derivada de y = f (x) en x son 
 
 
 
DEFINICIÓN 
La ecuación de la recta tangente estaría dada por: 0 0: ( )TT LL y y m x x− = − 
 
 
RECTA TANGENTE 
La recta tangente ( TL ) a la gráfica de f en el punto 0 0( , ( ))P x f x es la recta 
0 0 0: '( )( )TL y y f x x x− = − 0'( )TLm f x= 
 
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FORMULAS DE DERIVACION 
Sean f y g funciones diferenciables y k una constante, entonces: 
1. ( ) ' 0 constantek k= = 
2. ' 1x = 
3. 
1( ) 'n nx nx −=
 
4. 
( . ) ' . 'k f k f=
 
5. ( ) ' ' 'f g f g =  
6. ( ). ' '. . 'f g f g f g= + 
7. 
'
2
'. . 'f f g f g
g g
  −
= 
 
 
8. ( ) '
x xe e= 
9. ( )
1
'Ln x
x
=
 
 
 
Ejercicio 3. Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva en 
el punto de abscisa 1. 
 
 
 
 
Ejercicio 4. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) = x2 en el punto de abscisa 2. 
 
 
 
 
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Ejercicio 5. Calcule 
dx
dy
 en ( )
xy f x xe xLnx= = + 
 
 
 
Ejercicio 6 Halle la derivada de p con respecto a q 
 
 
 
 
DERIVADA DE UNA FUNCION COMPUESTA (REGLA DE LA CADENA) 
Sea y = f (u) y u = g(x). Si g es diferenciable en 0x y f diferenciable en 0( )g x entonces la función compuesta 
( )( ) ( ( ))f g x f g x= es diferenciable en 0x y 
 
0
' ' '
0 0( ( )) ( ( )). ( )x x
f g x f g x g x
=
= 
 
 
FÓRMULAS DE DERIVADAS PARA FUNCIONES COMPUESTAS 
Sea u = u (x) una funcion derivable en x, entonces: 
10. 
1( ) ' .( ) . 'n nu n u u−= 
11. ( ) ' . '
u ue e u= 
12. 
1
( ) ' . 'Lnu u
u
= 
 
Ejercicio 7 Calcule 
dx
dy
 para funcion, simplifique a la expresión más simple 
 
 
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Ejercicio 8. Calcule la derivada de la función si: 
 
 
 
 
Ejercicio 9. Calcule 
dx
dy
 en 23 )33(2
1
)33(3
10
xx
y
−
+
−
−= 
 
 
 
 
Ejercicio 10 Calcule 
dx
dy
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 11 Calcule 
dx
dy
 
 
 
 
 
 
 
 
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PRACTICA DIRIGIDA 
 
 
Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones: 
 
 
 
 
 
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Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) en el punto dado