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Ejercicios resueltos 461
Comof es continua, las funcionesF y G son derivables enI y sus derivadas están
dadas por:
F 0.x/D
xw
a
f .t/dt C xf .x/� xf .x/D
xw
a
f .s/ds DG 0.x/:
Como, ademásF.a/ D G.a/ D 0, concluimos queF y G coinciden en todo punto de
I . ©
Ejercicio resuelto 201 Seaf WRCo ! R una función de claseC 1, estrictamente creciente
y tal quef .0/D 0. Seag D f �1 la función inversa def y seaa > 0.
a) Prueba que:
f .a/w
0
g.y/dy D
aw
0
xf 0.x/dx D af .a/ �
aw
0
f .x/dx :
b) SeaJ D f .RCo / el intervalo imagen def . Prueba que la funciónh W J ! R dada
para todot 2J por:
h.t/D at �
tw
0
g.y/dy ;
alcanza un máximo absoluto enJ y deduce que para todob 2 J se verifica:
ab 6
aw
0
f .x/dx C
bw
0
g.y/dy
¿Cuándo se da la igualdad?
Solución.a) Haciendo primero un cambio de variable y después integrando por partes:
f .a/w
0
g.y/dy D
�
y D f .x/; dy D f 0.x/dx
0D f .0/; f .a/D f .a/
�
D
aw
0
g.f .x//f 0.x/dx D
aw
0
xf 0.x/dxD
D
�
uD x; du D dx
dv D f 0.x/dx ; v D f .x/
�
D xf .x/
ˇ̌xDa
xD0 �
aw
0
f .x/dx D af .a/ �
aw
0
f .x/dx
b) Tenemos queh 0.t/Da�g.t/. La funcióng es estrictamente creciente enJDf .RCo /.
SeacDf .a/ > 0. Entoncesc2J y g.c/Da. Deducimos queh 0.x/ > 0 para0 6 x < c
y h 0.x/ < 0 parac < x. Por tantoh es estrictamente creciente enŒ0; c� y estrictamente
decreciente enŒc;C1Œ, luegoh.t/ < h.c/ para todot 2J n fcg, y h alcanza encDf .a/
un máximo absoluto enJ . Deducimos que para todob2J esh.b/ 6 h.f .a//, es decir:
ab�
bw
0
g.y/dy 6af .a/�
f .a/w
0
g.y/dy D
aw
0
f .x/dx÷ab 6
aw
0
f .x/dx C
bw
0
g.y/dy :
La igualdad se da si, y sólo si,b D f .a/. ©
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 462
Ejercicio resuelto 202 Estudia para qué valores de˛2R es convergente la integral
I.˛/D
1w
0
x˛ arc tgx dx :
Calcula su valor parą D�3=2.
Solución.Pongamosf .x/D x˛ arc tgx. La funciónf es continua y positiva en�0; 1�.
Como arc tgx � x parax ! 0, se sigue quef .x/ � x˛C1 parax ! 0. Como la
integral
r 1
0 x
s dx converge si, y sólo si,s > �1, deducimos, por el criterio límite de
comparación, que la integral
r 1
0 f .x/dx converge si, y sólo si,̨C1>�1, o sea,̨ >�2.
Para calcularI.�3=2/ integramos por partes para eliminar la función arc tgx y después
hacemos un cambio de variable.
I.�3=2/D
1w
0
x�
3
2 arc tgx dx D
2
4
uD arc tgx ! du dx
1Cx2
dv D x� 32 ! v D� 2p
x
3
5D
D�2 arc tgxp
x
ˇ̌
ˇ̌
xD1
x!0
C
1w
0
2 dxp
x.1C x2/D
D��
2
C
1w
0
2 dxp
x.1C x2/ D
�
x D t2; t > 0
�
D��
2
C 4
1w
0
1
1C t4 dt :
Para calcular la integralID
r 1
0
1
1Ct4 dt lo primero es calcular las raíces del denominador
que, evidentemente, son todas complejas e iguales a las raíces complejas cuartas de la
unidad. Como�1D ei� , dichas raíces son los números:
xk D ei
�
4 ei
2k�
4 Dei �4 ei k�2 k D 0; 1; 2; 3:
Sabemos que dichas raíces vienen en pares de complejos conjugados. Luego deben ser
x0;x0 y x1;x1, donde:
x0 D ei
�
4 D 1p
2
C i 1p
2
; x1 D x0 ei
�
2 Dix0 D�
1p
2
C i 1p
2
:
Luego:
x4 C 1D .x � x0/.x � x0/.x � x1/.x � x1/D jx � x0j2 jx � x1j2D
D
�
.x � 1=
p
2/2 C 1=2
��
.x C 1=
p
2/2 C 1=2
�
D.x2 �
p
2x C 1/.x2 C
p
2x C 1/:
Si no sabes calcular las raíces complejas cuartas de�1 (lo que sería bastante lamentable),
puedes obtener la anterior descomposición utilizando el hecho de que corresponde a dos
factores cuadráticos irreducibles y, por tanto, debe ser dela forma (los coeficientes dex2
deben ser, claramente, iguales a1):
x4 C 1D .x2 C ax C b/.x2 C cx C d/
Desarrollando esta igualdad e identificando coeficientes sevuelve a obtener la descom-
posición anterior.
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Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Aplicaciones de la integral 463
La descomposición en fracciones simples es de la forma:
1
1C x4 D
Ax CB
x2 �
p
2x C 1
C Cx CD
x2 C
p
2x C 1
”
1D .Ax CB/.x2 C
p
2x C 1/C .Cx CD/.x2 �
p
2x C 1/ ”
1DB CD C .AC
p
2B C C �
p
2D/x C .
p
2ACB �
p
2C CD/x2C .AC C /x3
Identificando coeficientes resulta el sistema de ecuaciones:
B CD D 1; AC
p
2B C C �
p
2D D 0;
p
2ACB �
p
2C CD D 0; AC C D 0
que se resuelve con mucha facilidad resultandoAD�C D 1
2
p
2
, BDC D 1
2
. Ahora sola-
mente queda calcular las correspondientes primitivas. Esto lo dejo para que lo completes
tú. Es algo que ya debes saber hacer y que se hizo en general al estudiar la integración
de funciones racionales. El resultado final es:
1w
0
x�
3
2 arc tgx dx D��
2
C � C log.3C 2
p
2/p
2
8.7. Aplicaciones de la integral
Con una integral puedes calcular magnitudes tan diversas como áreas, volúmenes, longitu-
des de curvas, el trabajo realizado por una fuerza, la masa deun sólido, momentos de inercia,
el campo eléctrico, el flujo de un fluido a través de una superficie y muchas más. Es nota-
ble, sin embargo, que la forma de proceder sea casi siempre lamisma, y consiste en expresar
el valor exacto de la magnitud que se quiere calcular como un límite de sumas de Riemann,
para deducir, a partir de ellas, la integral cuyo cálculo proporciona la solución del problema.
Podrás comprobar en lo que sigue que esta técnica es bastantesencilla e intuitiva. Con un po-
co de práctica tú mismo podrás aplicarla con éxito en situaciones distintas de las que aquí se
consideran.
8.7.1. Cálculo de áreas planas
Te recuerdo que sif W Œa; b�! R es una función continua, representamos porG.f; a; b/
la región del plano comprendida entre la curvay D f .x/, el eje de abscisas y las rectasx D a,
x D b. Como sabes, el área de dicha región viene dada por
�.G.f; a; b//D
bw
a
jf .x/jdx
Es interesante interpretar la integral que proporciona el área de la siguiente forma. Observa
quejf .x/j es lalongitud del segmento intersección deG.f; a; b/ con la recta vertical que pa-
sa por.x; 0/, es decir,jf .x/j es la longitud de lasección verticalde G.f; a; b/ por el punto
.x; 0/, y el área de la regiónG.f; a; b/ es igual a la integral de las longitudes de sus secciones.
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Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
	Integral de Riemann
	Aplicaciones de la integral
	Cálculo de áreas planas