Calculo_II__clase 5

Vista previa del material en texto

1/30
CÁLCULO II
(Semana No5)
Docente: Richard Javier Cubas Becerra
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Facultad de Ingenieŕıa de Sistemas e Informática
Escuela de Ingenieŕıa de Sistemas
Semestre 2022-II
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
2/30
Contenido Semanal: Ecuaciones diferenciales elementales
Velocidad y aceleración instantánea
Crecimiento de poblaciones
Desintegración radioactiva
Enfriamiento
Problemas f́ısicos.
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
3/30
Ecuaciones diferenciales elementales
Una ecuación que contiene una función y sus derivadas, o solo sus deriva-
das. se llama “Ecuación Diferencial” usaremos la técnica de antiderivada
para resolver una ecuación diferencial de la forma:
dy
dx = f (x) (1)
donde la variable dependiente “y” no aparece en el lado derecho. La solu-
ción de la ecuación diferencial (1) consiste simplemente en encontrar una
función y(x) que satisfaga la ecuación (1), luego la solución general de la
ecuación (1) es la integral indefinida.
y(x) =
∫
f (x)dx + c
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
4/30
Ejemplo 1. Encontrar la solución general de la ecuación diferencial
dy
dx = cos x + 2x
Solución. La solución general es
y =
∫
(cos x + 2x)dx = sen x + x2 + C .
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
5/30
Problema con condición inicial
Una ecuación diferencial de la forma de la ecuación (1) puede aparecer
junto con una condición inicial de la forma y (x0) = y0 y con estas con-
diciones conociendo la solución general, se obtiene la solución particular
de la ecuación (1), por lo tanto la combinación.
dy
dx = f (x), y (x0) = y0
de una ecuación diferencial con una condición inicial es llamado un ”Pro-
blema con condición inicial”.
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
6/30
Ejemplo 2. Encontrar la solución de la ecuación diferencial
dy
dx = cos x + 2x , y(0) = 4.
Solución. Como la solución general es y = sen x + x2 + C . Ahora usare-
mos la condición inicial y(0) = 4 para encontrar la solución particular.
Para ello remplazamos y = 4 y x = 0 en la solución general:
4 = sen 0 + 02 + C ⇒ C = 4.
Luego, la solución es y = sen x + x2 + 4.
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
7/30
Ejemplo 3. Resuelva la ecuación diferencial dydx = (x − 2)
3 donde y(2) =
1.
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
8/30
OBSERVACIÓN:
El método indicado para resolver una ecuación diferencial puede
escribirse como integrar ambos lados de una ecuación diferencial
con respecto a X . Por ejemplo, si dydx = 2x + 1, entonces∫ (dy
dx
)
dx =
∫
(2x + 1)dx ⇒ y(x) = x2 + x + c
También las ecuaciones diferenciales sencillas aparecen en la forma:
dy
dx =
g(x)
h(y)
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
9/30
Ecuaciones diferenciales en la forma
h(y)dy = g(x)dx
son llamadas “Ecuaciones Diferenciales Separables” y la solución general
se obtiene por integración directa.∫
h(y)dy =
∫
g(x)dx + c
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
10/30
Ejemplo 4. Hallar la solución general de la ecuación diferencial.
dy
dx =
x
√
x3 − 3
y2
Solución. La ecuación diferencial dydx =
x2
√
x3−3
y2 , se escribe con diferen-
ciales y2dy = x2
√
x3 − 3dx , quedando las variables separadas ahora
integrando ambos miembros para obtener la solución∫
y2dy =
∫
x2
√
x3 − 3dx + c ⇒ y
3
3 =
2
9
(
x3 − 3
) 3
2 + c
∴ 3y2 = 2
(
x3 − 3
) 3
2 + 9c que es la solución general.
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
11/30
Ejemplo 5. Hallar la solución general de la ecuación diferencial
x ·
√
1 + y2 + y ·
√
1 + x2 dydx = 0
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
12/30
Ejemplo 6. Hallar la solución general de la ecuación diferencial
xdy +
√
1 + y2dx = 0.
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
13/30
Aplicación 1: Movimiento rectiĺıneo
Las antiderivadas nos permite, en muchos casos importantes, analizar el
movimiento de una part́ıcula (o masa puntual) en términos de las fuerzas
que actúan sobre esta. Si la part́ıcula se mueve con movimiento rectiĺıneo,
a lo largo de una ĺınea recta (eje X). bajo la influencia de una fuerza dada,
entonces el movimiento de la part́ıcula queda descrito por su “función de
posición” x(t) que da su coordenada x en el tiempo t.
x(t)
x(0) = x0
0
x0
La función de posición x(t) de una part́ıcula que se mueve a lo largo del eje
x . La “velocidad” de la part́ıcula v(t) es la derivada, con respecto al tiempo
de su función de posición.
v(t) = dxdt
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
14/30
Su aceleración a(t) es la derivada de su velocidad con respecto del tiem-
po.
a(t) = dtdv =
d2x
dt2
En una situación t́ıpica, se tiene la siguiente información:
a(t) La aceleración de la part́ıcula
x(0) = x0 su posición inicial.
v(0) = v0 su velocidad inicial.
Para determinar la función de posición de la part́ıcula x(t), primeramente
resolveremos el problema con condición inicial.
dv
dt = a(t), v(0) = v0
correspondiente a la función velocidad v(t).
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
15/30
Ejemplo 7. Encuentre la función posición x(t) de una part́ıcula con
aceleración contante a.
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
16/30
Ejemplo 8. Si se aplica los frenos de un carro viajando a 60km/h y si
los frenos pueden dar al carro una aceleración negativa constante de
20 m / seg2. ¿Cuánto tardará el coche en detenerse? ¿Qué distancia
recorrerá antes de parar?
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
17/30
Aplicación 2: Movimiento vertical con aceleración
gravitacional constante
Si una part́ıcula está en movimiento vertical, si se desprecia la resistencia del
aire, podemos suponer que la aceleración debida a la gravedad es la única
influencia externa sobre la part́ıcula en movimiento, como aqúı trabajamos
con el movimiento vertical, es natural elegir el eje Y como el sistema de
coordenadas para la posición de la part́ıcula. Si elegimos la dirección hacia
arriba como la dirección positiva, entonces el efecto de la gravedad sobre la
part́ıcula consiste en disminuir su altura, y también disminuye su velocidad
v = dxdt , entonces la aceleración de la part́ıcula es: a =
dv
dt = −g = −9,8
metros/seg2
v(t) =
∫
adt + c =
∫
−gdt + c = −gt + c = −gt + v0
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
18/30
y(t) =
∫
v(t)dt + k =
∫
(−gt + v0) dt + k = −
g
2 t
2 + v0t + k.
Para t = 0, y(0) = y0 y0 = 0 + k ⇒ k = y0 por lo tanto
y(t) = −gt2 + v0t + y0
Aqúı y0 es la altura inicial de la part́ıcula en pies, v0 es la velocidad inicial
en pies/seg. y t el tiempo en segundos.
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
19/30
Ejemplo 9. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el
techo de un edificio de 60 metros de altura y la velocidad inicial es 48
m/s. ¿Cuánto tiempo tardará la pelota en llegar al suelo y con qué
velocidad llegará?
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
20/30
Aplicación 3: Crecimiento y descomposición
Existen en el mundo f́ısico, en bioloǵıa, medicina, demograf́ıa, econoḿıa,
etc. cantidades cuya rapidez de crecimiento o descomposición vaŕıa en forma
proporcional a la cantidad presente, es decir, dxdt = kx con x (t0) = x0, o
sea que
dx
dt − kx = 0
que es una E.D. en variables separables o lineal en x de primer orden y cuya
solución es x = Cekt . Como
x (t0) = x0 = Cekt0 ⇒ C = x0e−kt0 .
Por lo tanto la solución particular es x = x0e−kt0ekt = x0ek(t−t0). En parti-
cular cuando t0 = 0, entonces
x = x0ekt .
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
21/30
3.1 Desintegración radioactiva
Si Q(t) es la cantidad de material radioactivo presente en el instante t,
entonces la ecuación diferencial es dQdt = −kQ, donde k es la constante de
desintegración. Se llama tiempo de vida media de un material radioactivo
al tiempo necesario para que una cantidad Q0 se trasforme en Q02 .
Ejemplo 10. Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene 11000 de
la cantidad original de C14. Determinar la edad del fósil,sabiendo que
el tiempo de vida media del C14 es 5600 años. (Rpta.: t ≈ 55, 800 años)
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
22/30
3.2 Ley de enfriamiento de Newton
Si se tiene un cuerpo a una temperatura T , sumergido en un medio de
tamaño infinito de temperatura Tm (Tm no vaŕıa apreciablemente con el
tiempo), el enfriamiento de este cuerpo se comporta de acuerdo a la si-
guiente ecuación diferencial elemental:
dθ
dt = −kθ
donde θ = T − Tm.
Ejemplo 11. Un cuerpo se calienta a 110◦C y se expone al aire libre a
una temperatura de 10◦C . Si al cabo de una hora su temperatura es de
60◦C . ¿Cuánto tiempo adicional debe transcurrir para que se enfŕıe a
30◦C ? ( Rta.: t = ln 5ln 2
)
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
23/30
3.3. Crecimiento poblacional
La razón de crecimiento depende de la población presente en periodo de
procrear, considerando las tasas de natalidad y de muerte, el modelo que
representa dicha situación es:
dQ
dt = kQ
donde Q(t) : población en el instante t.
Ejemplo 12. Si en un análisis de una botella de leche se encuentran
500 organismos (bacterias), un d́ıa después de haber sido embotelladas
y al segundo d́ıa se encuentran 8000 organismos. ¿Cual es el número de
organismos en el momento de embotellar la leche?
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
24/30
Ejemplo 13. Cuando se produce cierto alimento, se estima en N el
número de organismos de una cierta clase presentes en el paquete. Al
cabo de 60 d́ıas el número N ha aumentado a 1000N. Sin embargo, el
número 200N es considerado como el ĺımite saludable. A los cuantos
d́ıas, después de elaborado, vence el alimento.(Rta.: 46,02 d́ıas)
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
25/30
Cuerpos en campo gravitacional variable
Por la ley de Gravitación Universal de Newton:
F = GMm(x + R)2
donde:
x : la distancia del cuerpo a la superficie de la tierra.
M : la masa de la tierra.
m : la masa del cuerpo.
R : el radio de la tierra.
G : la constante de gravitación universal.
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
26/30
m
+
M
Se define el peso de un cuerpo de masa m como w(x) = k1m(x+R)2 , donde
k1 = GM. Si x = 0, entonces el peso del cuerpo de masa m en la superficie
de la tierra es: w(0) = mg = k1mR2 , entonces k1 = gR
2, por lo tanto el peso
de un cuerpo a una distancia x de la superficie de la tierra es:
w(x) = mgR
2
(x + R)2 .
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
27/30
Ejemplo 14. Se lanza un cuerpo de masa m hacia arriba de la tierra con
velocidad inicial v0. Suponiendo que no hay resistencia del aire, pero
tomando en cuenta la variación del campo gravitacional con la altura,
demuestre que la menor velocidad inicial v0 que necesita el cuerpo para
que no regrese a la tierra es
v0 =
√
2gR
Esta velocidad inicial v0 se le llama velocidad de escape.
R
x(t)
w(x)
0
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
28/30
Otras aplicaciones sencillas
Ejemplo 15. Un esquiador acuático P localizado en el punto (a, 0) es
remolcado por un bote de motor Q localizado en el origen y viaja ha-
cia arriba a lo largo del eje Y . Hallar la trayectoria del esquiador si
este se dirige en todo momento hacia el bote.
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
29/30
Otras aplicaciones sencillas
Ejemplo 16. Hallar la ecuación de todas las curvas que tienen la pro-
piedad de que el punto de tangencia es punto medio del segmento tan-
gente entre los ejes coordenados.
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II
30/30
¡MUCHAS GRACIAS POR SU
ATENCIÓN!
Richard Cubas CÁLCULO II Semestre 2022-II