Tema 25 FUNCIONES LOGARITMICAS Y PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

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MATEMÁTICAS BÁSICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN
FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
(Tomado de: Stewart, James. “Precálculo”. Quinta edición, secciones 4.1, 4.2 y 4.3)
Funciones Logaŕıtmicas
Sea a > 0, a 6= 1. Por la prueba de la recta horizontal,
la función exponencial f(x) = ax es una función uno a uno
y por lo tanto existe su inversa f−1, que se llama función
logaŕıtmica con base a y se denota loga.
Definición
Sea a > 0, a 6= 1. La función logaŕıtmica con base a,
denotada loga, está definida por
loga x = y ⇐⇒ ay = x.
Aśı, loga x es el exponente (y) al que se debe elevar la base a
para obtener x.
Ejemplo
• log10 100 = 2, porque 102 = 100.
• log2 8 = 3, porque 23 = 8.
• log3
1
9
= −2, porque 3−2 = 1
32
=
1
9
.
• log36 6 =
1
2
, porque (36)1/2 =
√
36 = 6.
Propiedades de los Logaritmos
Sea a > 0, a 6= 1.
1. loga 1 = 0 , porque a
0 = 1.
2. loga a = 1 , porque a
1 = a.
3. loga a
x = x, x ∈ R , porque ax = ax.
4. aloga x = x, x > 0 , porque loga x es el exponente al
cual se debe elevar a para obtener x.
Las propiedades 3. y 4. resultan también de aplicar las
propiedades de una función f y su inversa f−1.
En efecto, si f(x) = ax y f−1(x) = loga x, a > 0, a 6= 1
(f−1 ◦ f)(x) = f−1(f(x)) = f−1(ax) = loga ax = x, x ∈ R
(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) = f(loga x) = aloga x = x, x > 0.
Ejemplo
• log3 1 = 0, porque 30 = 1.
• log2 2 = 1, porque 21 = 2.
• log7 7−2 = −2 porque 7−2 = 7−2.
• 5log5
√
3 =
√
3 porque log5
√
3 es el exponente al que
debemos elevar a 5 para obtener
√
3.
Gráfica de la Función Logaŕıtmica
Como la función logaŕıtmica con base a es la inversa de
f(x) = ax, a > 0, a 6= 1, entonces
Dloga = Rf = (0,∞)
Rloga = Df = R.
Además, su gráfica se obtiene reflejando la gráfica de f(x) =
ax con respecto a la recta y = x.
En la siguiente figura se muestra la gráfica de y = f−1(x) =
loga x para a > 0 :
Tarea
Trace las gráficas de y = log3 x, y = log4 x y compárelas con
las gráficas de y = log2 x. ¿Cómo se comportan entre ellas?
Logaritmos Especiales
• El logaritmo con base a = 10, se llama logaritmo
común y se denota log.
log x = log10 x.
• El logaritmo con base a = e, se llama logaritmo na-
tural y se denota ln.
lnx = loge x.
1
Si en las propiedades de los logaritmos hacemos a = e, obte-
nemos:
ln 1 = 0, ln e = 1; ln ex = x, x ∈ R; eln x = x, x > 0.
Ejemplo
• log 100 = 2, porque 102 = 100.
• log 0.1 = −1, porque 10−1 = 0.1.
• ln e2 = 2, porque e2 = e2.
• eln 15 = 15, porque ln 15 es el exponente al que debemos
elevar a e para obtener 15.
Leyes de los Logaritmos
Las siguientes propiedades de los logaritmos, llamadas leyes
de los logaritmos, se deducen fácilmente de las leyes de los
exponentes.
Sean a > 0, a 6= 1, x > 0 y y > 0.
1. loga (xy) = loga x + loga y.
2. loga
(
x
y
)
= loga x− loga y.
3. loga (x
r) = r loga x.
Importante: Al trabajar con logaritmos debe tenerse en
cuenta que:
loga(x + y) 6= loga x + loga y.
loga x
loga y
6= loga
(
x
y
)
.
(loga x)
r 6= r loga x.
Cambio de Base
Dado y = logb x, queremos expresar y en términos de loga x :
Como y = logb x⇐⇒ by = x,
loga b
y = loga x⇐⇒ y loga b = loga x⇐⇒ y =
loga x
loga b
.
Y aśı,
logb x =
loga x
loga b
.
Ejemplo
1. Calcule el valor exacto de las siguientes expresiones:
(a) log4 2 + log4 32
(b) log2 80− log2 5
(c) log5 10 + log5 20− 3 log5 2.
2. Escriba los siguientes logaritmos como un cociente de
logaritmos naturales:
(a) log5 8
(b) log3 10.
3. Resuelva las siguientes ecuaciones:
(a) e3−5x = 16
(b) 5x = 4x+1
(c) e2x − ex − 6 = 0
(d) log2 3 + log2 x = log2 5 + log2(x− 2).
Solución
1. (a) log4 2 + log4 32 = log4(2 · 32) = log4 64 = 3.
(b) log2 80− log2 5 = log2
(
80
5
)
= log2 16 = 4.
(c) log5 10 + log5 20− 3 log5 2
= log5 (10 · 20)− log5 23
= log5
(
10 · 20
23
)
= log5
(
200
8
)
= log5 25 = 2.
2. Usando cambio de base obtenemos:
(a) log5 8 =
loge 8
loge 5
=
ln 8
ln 5
.
(b) log310 =
loge 10
loge 3
=
ln 10
ln 3
.
3. (a) e3−5x = 16
⇐⇒ ln e3−5x = ln 16
⇐⇒ 3− 5x = ln 16
⇐⇒ x = 3− ln 16
5
.
(b) 5x = 4x+1
⇐⇒ ln 5x = ln 4x+1
⇐⇒ x ln 5 = (x + 1) ln 4
⇐⇒ x = ln 4
ln 5− ln 4
=
ln 4
ln
(
5
4
) .
(c) e2x − ex − 6 = 0
⇐⇒ (ex − 3) (ex + 2) = 0
⇐⇒ ex − 3 = 0 ∨ ex + 2 = 0
⇐⇒ ex = 3 ∨ ���
�XXXXe
x = −2
⇐⇒ x = ln 3.
(d) log2 3 + log2 x = log2 5 + log2(x− 2)
⇐⇒ log2 (3x) = log2 [5(x− 2)]
⇐⇒ 2log2(3x) = 2log2[5(x−2)]
⇐⇒ 3x = 5x− 10
⇐⇒ x = 5.
Ejercicio
Escriba la siguiente expresión como un solo logaritmo
1
3
ln (2x + 1) +
1
2
[
ln (x− 4)− ln
(
x2 + 5
)]
.
2