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Matemáticas II
Clase 5: Integral Impropia
Jorge Rivera
6 de agosto de 2022
Apunte de Curso: Págs. 49 a 53
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Agenda
Objetivos de la clase
Integral Impropia
Cálculo de una integral impropia
Cultura general: variables aleatorias continuas
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Objetivos de la clase
Objetivos de la clase
• Conocer el concepto de integral impropia.
• Calcular integrales impropias sencillas.
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Integral Impropia
Concepto
• Una integral impropia (de primera especie) es una integral definida
donde uno (o ambos) ĺımites de integración son infinito. Corresponde
entonces al cálculo de integrales donde la función tiene alguna aśıntota
horizontal.
• Existen las integrales impropias de segunda y de tercera especie.
• La de segunda especie corresponden a integrales donde la función tiene
aśıntotas verticales.
• La de tercera especie es una combinación de primera y segunda especie.
• En este curso nos concentramos en integrales impropias de primera
especie, que son de la forma:∫ ∞
a
f (x)dx
∫ b
−∞
f (x)dx
• Una integral impropia de la forma
∫∞
−∞ f (x)dx es una combinación de
las anteriores.
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Definición e interpretación
• Para las que integrales impropias que nos interesan, por definición se
tiene que: ∫ ∞
a
f (x)dx = ĺım
n→∞
∫ n
a
f (x)dx ,
∫ b
−∞
f (x)dx = ĺım
n→∞
∫ b
−n
f (x)dx .
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Figura 1: Integral impropia
∫∞
a
f (x)dx .
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Cálculo de una integral impropia
• Corresponde al cálculo de una integral definida estándar más el cálculo
de un ĺımite:
∫ ∞
a
f (x)dx = ĺım
n→∞
∫ n
a
f (x)dx ,
• Aśı:
• Primero, se calcula
∫ n
a
f (x)dx , una expresión que depende de n.
• Segundo, al resultado anterior se toma ĺımite haciendo tender n a
infinito.
• Tener presente la regla de L’Hopital si el ĺımite es “complicado”.
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Ejemplo ∫ ∞
0
e−xdx =?
• Primero (primitiva) ∫
e−xdx = −e−x︸ ︷︷ ︸
F (x)
.
• Segundo (integral definida):∫ n
0
e−xdx = F (n)− F (0) = −e−n − (−e0) = −e−n + 1.
• Tercero (tomar ĺımite)∫ ∞
0
e−xdx = ĺım
n→∞
(
−e−n + 1
)
= ĺım
n→∞
(
−e−n
)
︸ ︷︷ ︸
0
+1 = 1.
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Figura 2: Integral impropia:
∫∞
0
e−xdx .
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Ejemplo
Dado r > 0, calcular ∫ ∞
0
te−rtdt
• Primero (primitiva): por partes escogiendo u = t y dv = e−rtdt (de
modo que v = −1r e
−rt) se tiene que∫
te−rtdt = t · −1
r
e−rt −
(∫
−1
r
e−rtdt
)
,
es decir: ∫
te−rtdt = −t · 1
r
e−rt − 1
r2
e−rt︸ ︷︷ ︸
F (t)
.
NOTA: derivando el lado derecho, verifiquemos que el resultado anterior
es correcto:(
−t · 1
r
e−rt − 1
r2
e−rt
)′
= −1
r
e−rt − t−r
r
e−rt − −r
r2
e−rt = te−rt .
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Continuación:
• Segundo (integral definida):∫ n
0
t e−rtdt = F (n)−F (0) =
(
−n · 1
r
e−r n − 1
r 2
e−r n
)
−
(
−0 · 1
r
e−r 0 − 1
r 2
e−r 0
)
es decir: ∫ n
0
t e−rtdt =
(
−n · 1
r
e−r n − 1
r2
e−r n
)
+
1
r2
.
• Tercero (tomar ĺımite)∫ ∞
0
te−r tdt = ĺım
n→∞
(
−n · 1
r
e−r n − 1
r2
e−r n
)
+
1
r2
.
• Por L’Hopital, el ĺımite azul es cero, mientras que el ĺımite rojo también
es cero (directo).
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ĺım
n→∞
−n · 1
r
e−r n = ĺım
n→∞
−n
r er n
L′Hopital
= ĺım
n→∞
−1
r2ern
= 0.
• De esta manera:
∫ ∞
0
te−r tdx =
1
r2
.
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Ejemplo
Dado µ > 0, expliquemos por qué se tiene lo siguiente∫ ∞
0
t
(1 + µ)t
dt =
1
(ln(1 + µ))2
.
Este resultado es consecuencia del ejercicio anterior:∫ ∞
0
t e−rtdt =
1
r2
.
• Notamos que:
t
(1 + µ)t
= t (1 + µ)−t = te−r t ⇒ (1 + µ)−t = e−r t ln(·)=⇒
−t ln(1 + µ) = −tr ⇒ r = ln(1 + µ).
Ejercicio
Calcular ∫ ∞
1
t
2t
dt.
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Cultura general: variables
aleatorias continuas
• Variable aleatoria definida en R+ (o en R)
X −→ densidad : f (t)
• Densidad: f (t) ≥ 0 y
∞∫
0
f (t)dt = 1
 ∞∫
−∞
f (t)dt = 1

• Probabilidad de que la variable aleatoria tome valores entre “a” y “b”:
P(a ≤ X ≤ b) =
∫ b
a
f (t)dt.
• Esperanza de la variable aleatoria (valor promedio, valor medio)
E(X ) =
∫ ∞
0
t f (t)dt ∈ R.
• Varianza de la variable aleatoria (valor promedio, valor medio)
V(X ) =
∫ ∞
0
(t − E(X ))2 f (t)dt ∈ R.
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	Objetivos de la clase
	Integral Impropia
	Cálculo de una integral impropia
	Cultura general: variables aleatorias continuas