Clase_12

Vista previa del material en texto

Matemáticas II
Clase 12: Suma y ponderación de matrices
Jorge Rivera
19 de agosto de 2022
Apunte de Curso: Págs. 133 - 136
1
Agenda
Objetivos de la clase
Suma de matrices y ponderación de matriz por escalar
Suma - ponderación y traspuestas
2
Objetivos de la clase
Objetivos de la clase
• Conocer el concepto suma de matrices.
• Conocer la ponderación de matrices por escalar (número real).
• El conjunto Rm×n como espacio vectorial.
• Conocer propiedades de suma y ponderación relacionadas con
traspuesta de matrices.
3
Suma de matrices y ponderación
de matriz por escalar
Concepto
Definición
Dadas las matrices A,B ∈ Rm×n, y dado α ∈ R, se definen los siguientes
operaciones matriciales:
(a) Suma de A con B: A + B := [aij + bij ]
(b) Ponderación por escalar de una matriz: αA := [αaij ].
• La suma de dos matrices aplica solo cuando ambas tienen las mismas
dimensiones (mismo número de filas y mismo nuḿero de columnas).
4
Ejemplo
Dadas
A =
[
1 3 7 8
4 5 8 1
]
∈ R2×4 y B =
[
9 8 1 9
−3 1 1 2
]
∈ R2×4
se tiene que:
A+B =
[
10 11 8 17
1 6 9 3
]
∈ R2×4, A+A =
[
2 6 14 16
8 10 16 2
]
∈ R2×4.
Ejemplo
A =
1 3 74 5 8
1 3 −1
 ∈ R3×3 ⇒ A + At =
2 7 87 10 11
8 11 −2
 ∈ R3×3.
5
Ejemplo
• Se entiende que
−A = (−1)A.
• Aśı, para
A =
[
1 3 7
4 5 8
]
∈ R2×3 y B =
[
9 8 1
−3 1 1
]
∈ R2×3
se tiene que
A− 2B =
[
−17 −13 5
10 3 6
]
∈ R2×3.
A + γ B =
[
1 + 9γ 3 + 8γ 7 + γ
4− 3γ 5 + γ 8 + γ
]
∈ R2×3.
6
Ejemplo
Dada
A =
a11 a12a21 a22
a31 a32
 ∈ R3×2
notamos que
A + [0]3×2 =
a11 a12a21 a22
a31 a32
+
0 00 0
0 0
 = A.
Por otro lado:
A + (−1)A︸ ︷︷ ︸
A−A
=
a11 a12a21 a22
a31 a32
+
−a11 −a12−a21 −a22
−a31 −a32
 =
0 00 0
0 0
 = [0]3×2.
7
Rm×n es un ev con suma y ponderación
• Es directo probar que:
Dados m, n ∈ N, el conjunto de matrices Rm×n con la suma
de matrices y ponderación por escalar, es un espacio vectorial. El
neutro aditivo de Rm×n es la matriz [0]m×n, y el inverso aditivo de
una matriz es aquella cuyos elementos genéricos son los originales
con los signos opuestos.
• En particular, se tiene que: para toda A,B,C ∈ Rm×n y para todo
α, β ∈ R se tiene que
(a) A + B = B + A,
(b) A + (B + C ) = (A + B) + C ,
(c) α(A + B) = αA + αB,
(d) (α + β)A = αA + βA,
(e) 0A = [0]m×n y 1A = A.
8
Suma - ponderación y
traspuestas
Propiedades
Proposición
Dada matrices A,B ∈ Rm×n y dado α ∈ R, se cumple que:
(a) (A + B)t = At + Bt.
(b) (αA)t = αAt.
• Nota: recuerde que (At)t = A.
Ejemplo
Dada A ∈ Rm×m, veamos que
B =
1
2
(A + At)
es una matriz simétrica. En efecto:
Bt =
(
1
2
(A + At)
)t
(b)
=
1
2
(A + At)t
(a)
=
1
2
(At + (At)t) =
1
2
(At + A) = B.
9
Ejemplo
Si
A =
2 3 44 5 8
1 2 −1
 ∈ R3×3
entonces
At =
2 4 13 5 2
4 8 −1
 ∈ R3×3
por lo que
A + At =
4 7 57 10 10
5 10 −2
 ⇒ 1
2
(A + At) =
 2 7/2 5/27/2 5 5
5/2 5 −1
 .
• Note que A + At y que 12 (A + A
t) son simétricas.
10
Ejemplo
• Si A,B ∈ Rm×m son triangular superior, entonces para todo β ∈ R se
tiene que A + βB es triangular superior. Además, [0]m×m es triangular
superior.
• Si A ∈ Rm×m es triangular superior, entonces At es triangular inferior.
• Si A,B ∈ Rm×m son diagonal, entonces para todo β ∈ R se tiene que
A + βB es diagonal. Además, [0]m×m es triangular superior.
• Note que si A ∈ Rm×m es diagonal, entonces
(1) A es triangular superior.
(2) A es triangular inferior.
(3) A es simétrica.
• Note que si A,B ∈ Rm×m son simétricas, entonces para todo β ∈ R se
tiene que A + β B es simétrica.
11
	Objetivos de la clase
	Suma de matrices y ponderación de matriz por escalar
	Suma - ponderación y traspuestas