Calculo diferencial Universidad-131

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Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
390
Distancia entre dos puntos 𝑑𝑑 = �(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1)2 + (𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1)2 
Coordenada de un punto que divide un 
segmento de recta en una razón dada 
𝑥𝑥 =
𝑥𝑥1 + 𝑟𝑟𝑥𝑥2
1 + 𝑟𝑟
 ; 𝑦𝑦 =
𝑦𝑦1 + 𝑟𝑟𝑦𝑦2
1 + 𝑟𝑟
 
Pendiente de una recta m =
𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1
 
Ángulo entre dos rectas ∝1 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛 �
𝑚𝑚2 −𝑚𝑚1
1 + 𝑚𝑚1𝑚𝑚2
� 
 
Ecuación de la recta dado un punto y la 
pendiente 
𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1) 
Condición de paralelismo entre dos 
rectas 
𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2 
Condición de perpendicularidad entre 
dos rectas 
𝑚𝑚1𝑚𝑚2 = −1 
La distancia del punto P(x1, y1) a la recta 
𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑦𝑦 + 𝐵𝐵 = 0, 𝐵𝐵 > 0 
𝑑𝑑 =
|𝐴𝐴𝑥𝑥1 + 𝐵𝐵𝑦𝑦1 + 𝐵𝐵|
√𝐴𝐴2 + 𝐵𝐵2
 
 
Ecuación de la recta dados dos puntos 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 =
𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1
(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1) 
Ecuación ordinaria de la circunferencia 𝑟𝑟2 = (𝑥𝑥 − ℎ)2 + (𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2 
Ecuación general de la circunferencia 
𝐴𝐴𝑥𝑥2 + 𝐵𝐵𝑦𝑦2 + 𝐵𝐵𝑥𝑥 + 𝐷𝐷𝑦𝑦 + 𝐹𝐹 = 0 
𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 
Ecuación ordinaria de la parábola 
(𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2 = 4𝑝𝑝(𝑥𝑥 − ℎ) horizontal 
(𝑥𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝𝑝(𝑦𝑦 − 𝑘𝑘) vertical 
 
Ecuación general de la parábola 𝐴𝐴𝑥𝑥2 + 𝐵𝐵𝑥𝑥 + 𝐷𝐷𝑦𝑦 + 𝐹𝐹 = 0 
 
Ecuación ordinaria de la elipse 
(𝑥𝑥−ℎ)2
𝑎𝑎2
+ (𝑦𝑦−𝑘𝑘)
2
𝑏𝑏2
= 1 horizontal 
 
(𝑦𝑦−ℎ)2
𝑎𝑎2
+ (𝑥𝑥−𝑘𝑘)
2
𝑏𝑏2
= 1 vertical 
 
CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
391
Distancia entre dos puntos 𝑑𝑑 = �(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1)2 + (𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1)2 
Coordenada de un punto que divide un 
segmento de recta en una razón dada 
𝑥𝑥 =
𝑥𝑥1 + 𝑟𝑟𝑥𝑥2
1 + 𝑟𝑟
 ; 𝑦𝑦 =
𝑦𝑦1 + 𝑟𝑟𝑦𝑦2
1 + 𝑟𝑟
 
Pendiente de una recta m =
𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1
 
Ángulo entre dos rectas ∝1 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛 �
𝑚𝑚2 −𝑚𝑚1
1 + 𝑚𝑚1𝑚𝑚2
� 
 
Ecuación de la recta dado un punto y la 
pendiente 
𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1) 
Condición de paralelismo entre dos 
rectas 
𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2 
Condición de perpendicularidad entre 
dos rectas 
𝑚𝑚1𝑚𝑚2 = −1 
La distancia del punto P(x1, y1) a la recta 
𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑦𝑦 + 𝐵𝐵 = 0, 𝐵𝐵 > 0 
𝑑𝑑 =
|𝐴𝐴𝑥𝑥1 + 𝐵𝐵𝑦𝑦1 + 𝐵𝐵|
√𝐴𝐴2 + 𝐵𝐵2
 
 
Ecuación de la recta dados dos puntos 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 =
𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1
(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1) 
Ecuación ordinaria de la circunferencia 𝑟𝑟2 = (𝑥𝑥 − ℎ)2 + (𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2 
Ecuación general de la circunferencia 
𝐴𝐴𝑥𝑥2 + 𝐵𝐵𝑦𝑦2 + 𝐵𝐵𝑥𝑥 + 𝐷𝐷𝑦𝑦 + 𝐹𝐹 = 0 
𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 
Ecuación ordinaria de la parábola 
(𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2 = 4𝑝𝑝(𝑥𝑥 − ℎ) horizontal 
(𝑥𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝𝑝(𝑦𝑦 − 𝑘𝑘) vertical 
 
Ecuación general de la parábola 𝐴𝐴𝑥𝑥2 + 𝐵𝐵𝑥𝑥 + 𝐷𝐷𝑦𝑦 + 𝐹𝐹 = 0 
 
Ecuación ordinaria de la elipse 
(𝑥𝑥−ℎ)2
𝑎𝑎2
+ (𝑦𝑦−𝑘𝑘)
2
𝑏𝑏2
= 1 horizontal 
 
(𝑦𝑦−ℎ)2
𝑎𝑎2
+ (𝑥𝑥−𝑘𝑘)
2
𝑏𝑏2
= 1 vertical 
 
Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
392
 
Ecuación general de la elipse 
𝐴𝐴𝑥𝑥2 + 𝐵𝐵𝑦𝑦2 + 𝐵𝐵𝑥𝑥 + 𝐷𝐷𝑦𝑦 + 𝐹𝐹 = 0 
𝐴𝐴 𝑦𝑦 𝐵𝐵 tienen el mismo signo y diferentes 
valores 
 
Ecuación ordinaria de la hipérbola con 
eje transverso paralelo al eje 𝑥𝑥 
 
(𝑥𝑥 − ℎ)2
𝑎𝑎2
−
(𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2
𝑏𝑏2
= 1 
 
 
Ecuación ordinaria de la hipérbola con 
eje transverso paralelo al eje 𝑦𝑦 
 
(𝑦𝑦 − ℎ)2
𝑎𝑎2
−
(𝑥𝑥 − 𝑘𝑘)2
𝑏𝑏2
= 1 
 
 
Ecuación general de la hipérbola 
𝐴𝐴𝑥𝑥2 + 𝐵𝐵𝑦𝑦2 + 𝐵𝐵𝑥𝑥 + 𝐷𝐷𝑦𝑦 + 𝐹𝐹 = 0 
𝐴𝐴 𝑦𝑦 𝐵𝐵 tienen diferente signo 
 
 
TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES 
 
DESPLAZAMIENTO VERTICAL 
Sea 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑎𝑎 > 0 
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 𝑎𝑎, desplace 𝑎𝑎 unidades hacia arriba la gráfica de 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑎𝑎, desplace 𝑎𝑎 unidades hacia abajo la gráfica de 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 
 
 
DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL 
Sea 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑎𝑎 > 0 
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎), desplace 𝑎𝑎 unidades hacia la izquierda la gráfica de 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎), desplace 𝑎𝑎 unidades hacia la derecha la gráfica de 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 
 
 
ALARGAMIENTO VERTICAL 
Sea 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑎𝑎 > 1 
𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑓𝑓(𝑥𝑥), alargada en un factor de 𝑎𝑎 en la dirección vertical la gráfica de 𝑦𝑦 =
𝑓𝑓(𝑥𝑥)