Deposito Algebra lineal (9)

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25 Matriz y determinante 
Caso 1: Si � ≠ 0, ! ≠ −1 y ! ≠ � − 1 ⇒ ST(�) = 3 
 
Caso 2: Si	� = 0	 ⇒ ST(�) ≤ 2 
� = �−1 			! + 1 				!			! 		0 				!			1 		0 				1
 
Si ! ≠ 0, la segunda y la tercera fila son proporcionales y si ! = 0, la segunda fila es nula. Por 
lo que en cualquier caso se tiene 
ST(�) = ST �−1 ! + 1 !			1 					0 				1� 
Además, se sabe que ST(�) ≤ 2. Para calcular el rango de la matriz se deben estudiar los 
menores de orden 2 
H−1 ! + 1			1 0 H = −(1 + !)														 H−1 !			1 1H = −1 − !													 H! + 1 !0 1H = 1 + ! 
Todos los menores de orden dos se anulan para ! = −1. Por tanto 
 
Caso 2.1: Si � = 0 y 	! = −1 ⇒ 	ST(�) 	= 	1 
 
Caso 2.2: Si � = 0 y ! ≠ −1 ⇒ 	ST(�) 	= 	2 
 
Caso 3: Si !	 = 	−	1 ⇒ 	ST(�) 	≤ 	2 
� = �� − 1 			0 			−1−1 			� 			−1			1 −� 						1
 
Para determinar el rango de la matriz, se debe tener en cuenta que la segunda y la tercera fila 
son proporcionales, por lo que 
ST(�) = ST �� − 1 0 −1		−1 			� −1� 
Al igual que en el caso anterior se deben estudiar los menores de orden 2 
H� − 1 0−1 �H = �(� − 1)											 H� − 1 −1−1 −1H = −(� − 1) − 1 = −�						 H0 −1� −1H = � 
Todos los menores se anulan para � = 0. 
 
Caso 3.1: Si ! = −1 y � = 0 ⇒ 	ST(�) = 1	 
 
Caso 3.2: Si ! = −1	 y � ≠ 0 ⇒ 	ST(�) = 2			 
 
Caso 4: Si		! = � − 1 ⇒ 	ST(�) ≤ 2			 
 
26 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
� = �� − 1 			� 			� − 1� − 1 			� 			� − 1			1 −� 			1 
 
En este caso las dos primeras filas, así como la primera y la última columna coinciden, por lo 
que 
ST(�) = ST �� − 1 			�1 −�� 
H� − 1 			�1 −�H = (� − 1)(−�) − � = −�� + � − � = −�� 
Por tanto 
Caso 4.1: Si ! = � − 1 y � = 0	 ⇒ 			ST(�) = 	1 
 
Caso 4.2: Si ! = � − 1 y � ≠ 0	 ⇒ 	ST(�) 	= 2				 
 
En conclusión 
Caso 1: Si � ≠ 0, ! ≠ −1 y ! ≠ � − 1 ⇒ 		ST(�) = 3 
Caso 2: Si � = 0 
Caso 2.1: Si ! = −1, ST(�) = 1		 
Caso 2.2: Si ! ≠ −1, ST(�) = 2		 
Caso 3: Si ! = −1 
Caso 3.1: Si � = 0, ST(�) = 1		 
Caso 3.2: Si � ≠ 0, ST(�) = 2		 
Caso 4: Si ! = � − 1 
Caso 4.1: Si � = 0, ST(�) = 1		 
Caso 4.2: Si � ≠ 0, ST(�) = 2 
 
 
27 Matriz y determinante 
CUESTIONES RESUELTAS 
 
C1. Sean las matrices � = �−1 		0 				2			1 		1 	−1−1 		1 				1
 y = �
−1 		0 		2−2 		1 		2−1 		1 		1
 siendo |�| = 2	y | | =−1. Utilizando las propiedades de los determinantes, calcular: 
a) |2�| b)	|� | c)	E−1 		0 2−1 		2 1−1 		1 1E d) E
2 1 01 1 21 	1 	1E. 
 
RESOLUCIÓN 
a) |2�| = 2�|�| = 2e 
 
b)	|� | = |�| · | | = 2 · (−1) = −2 
 
c) E−1 0 2−1 2 1−1 1 1E = E
−1 0 			21 − 2 1 + 1 	−1 + 2−1 1 			1 E = E
−1 0 			2			1 1 −1−1 1 			1E[\\\]\\\^|M|
+ E−1 0 2−2 1 2−1 1 1E[\\\]\\\^|f|
 
 = |�| + | | = 1 
d) E2 1 01 1 21 1 1E 1 2
C C↔
= (−1) E1 2 	01 1 	21 1 	1E 2 3
C C↔
= E1 0 21 2 11 1 1E 1
( 1)C−
= (−1) E−1 0 2−1 2 1−1 1 1E 
																 (c)= (−1)1 = −1 
 
 
C2. Sabiendo que |�| = E1 2 02 1 13 4 2E = −4, calcular el valor de E
3 3 14 3 22 1 0E utilizando las 
propiedades de los determinantes. 
 
RESOLUCIÓN 
E3 3 14 3 22 1 0E 2 3
C C−
= E3 2 14 1 22 1 0E 1 3
 c c↔
= − E1 2 32 1 40 1 2E
tA A=
= − E1 2 02 1 13 4 2E[\\]\\^|M|
= −(−4) = 4