Deposito Algebra lineal (23)

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67 Sistemas de ecuaciones lineales 
 
P12. Discutir el sistema de ecuaciones lineales ��D − 1�� − �� = 1D� + � = �� + � + �� = 1 � en función de los 
parámetros reales D y �. Resolverlo en los casos en que sea compatible indeterminado. 
 
RESOLUCIÓN 
Se definen la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada 

 = �0 D − 1 −�D 1 			01 1 			�� �
����� = �
0 D − 1 −�D 1 			01 1 			�	�	
1�1� 
Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes 
|
| = �0 D − 1 −�D 1 			01 1 			�� = −��D$ − 1�, |
| = 0 ⇔ −��D$ − 1� = 0 ⇔ �
� = 0D = 1D = −1� 
 
Caso 1: Si � ≠ 0 y D ≠ 1 y D ≠ −1 ���
� = ���
����� = 3 = número de incógnitas ⇒ Sistema Compatible Determinado. 
 
Caso 2: Si � = 0 ⇒ ���
� ≤ 2 

 = �0 D − 1 0D 1 01 1 0� �
����� = �
0 D − 1 0D 1 01 1 0	�	
101� 
Se calcula el rango de la matriz de los coeficientes. Como la última columna de la matriz es nula 
���
� = �� �0 D − 1D 11 1 � 
Los menores de orden 2 a considerar son 
B0 D − 1D 1 B = −D�D − 1� B0 D − 11 1 B = −�D − 1� BD 11 1B = D − 1 
Los tres menores de orden dos se anulan para el mismo valor del parámetro D. Por tanto 
Si D = 1 ⇒ ���
� = 1 
Si D ≠ 1 ⇒ ���
� = 2 
Se calcula el rango de la matriz ampliada 
�0 D − 1 1D 1 01 1 1� = −�D − 1�$ 
 
68 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
El determinante se anula si D = 1. En este caso el rango de la matriz ampliada lo determina el 
menor B1 01 1B = 1 ≠ 0 ⇒ ���
����� = 2. 
Entonces 
Si D = 1 ⇒ ���
����� = 2 
Si D ≠ 1 ⇒ ���
����� = 3 
Se compara el rango de la matriz de los coeficientes con el rango de la matriz ampliada en 
función de los valores del parámetro real D 
 
Caso 2.1: Si D ≠ 1 ⇒ ���
� = 2 ≠ ���
����� = 3 ⇒ Sistema Incompatible. 
 
Caso 2.2: Si D = 1 ⇒ ���
� = 1 ≠ ���
����� = 2 ⇒ Sistema Incompatible. 
 
Caso 3: Si D = 1 ⇒ ���
� ≤ 2 

 = �0 0 −�1 1 			01 1 			�� �
����� = �
0 0 −�1 1 			01 1 			�	�	
1�1�	
Se calcula el rango de la matriz de los coeficientes. Como las dos primeras columnas de la 
matriz 
 son iguales 
���
� = �� �0 −�1 			01 			��	
Se consideran los tres menores de orden dos 
B0 −�1 			0B = � B1 01 �B = � B0 −�1 			�B = � 
Los menores anteriores se anulan para el mismo valor del parámetro �. Por tanto 
Si � = 0 ⇒ ���
� = 1 
Si � ≠ 0 ⇒ ���
� = 2 
Se calcula el rango de la matriz ampliada 
�0 −� 11 		0 �1 			� 1� = −�$ + 2� 
El determinante se anula cuando � = 0 o � = 2. En ambos casos el rango de la matriz ampliada 
se calcula utilizando el menor B0 11 1B = −1 ≠ 0 ⇒ ���
����� = 2. Entonces 
Si � = 0 ⇒ ���
����� = 2 
Si � = 2 ⇒ ���
����� = 2 
Si � ≠ 0	y	� ≠ 2 ⇒ ���
����� = 3 
 
69 Sistemas de ecuaciones lineales 
Se compara el rango de la matriz de los coeficientes con el rango de la matriz ampliada en 
función de los valores del parámetro real � 
 
Caso 3.1: Si � ≠ 0	 y 	� ≠ 2 ⇒ ���
� = 2 ≠ ���
����� = 3	 = número de incógnitas ⇒	Sistema 
Incompatible. 
 
Caso 3.2: Si � = 0 ⇒ ���
� = 1 ≠ ���
����� = 2 ⇒ Sistema Incompatible. 
 
Caso 3.3: Si � = 2 ⇒ ���
� = ���
����� = 2 < número de incógnitas	= 3 ⇒	Sistema Compatible 
Indeterminado. 
Resolución del caso 3.3 �D = 1 y � = 2) 
� −2� = 1� + � = 2� + � + 2� = 1� ⇔ �
−2� = 1� + 2� = 1 − E� = E � 
Resolviendo se tiene que � = − !$, � = λ, � = 2 − λ	, es decir 
M���N = �
			2			0−1/2� + E �
−1			1			0�		∀E ∈ ℝ	
 
Caso 4: Si D = −1 ⇒ ���
� ≤ 2 

 = �			0 −2 −�−1 			1 			0			1 			1 			�� 		�
����� = �
			0 −2 −�−1 			1 			0			1 			1 			�	�	
1�1�	
Se calcula el rango de la matriz de los coeficientes 
B			0 −2−1 		1 B = −2 ≠ 0 ⇒ ���
� = 2 
Las columnas de la matriz de los coeficientes no son proporcionales por tanto existe una 
combinación lineal entre ellas. Por esta razón se puede suprimir cualquier columna de la matriz 
de los coeficientes para calcular el rango de la matriz ampliada. En particular se elimina la 
tercera columna 
�			0 −2 1−1 			1 �			1 			1 1� = −2� − 4 
El determinante se anula cuando � = −2. Entonces 
Si � = −2 ⇒ ���
����� = 2 
Si � ≠ −2 ⇒ ���
����� = 3