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136 CAPÍTULO 6. DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS Ejercicios 1. Encontrar los valores propios del endomorfismo de R4 que viene definido por f(x1, x2, x3, x4) = (x1 + x3, 2x2 − x4,−x3 + x4, 2x4) Solución: Escribamos la matriz de la aplicación en la base canónica A = 1 0 1 0 0 2 0 −1 0 0 −1 1 0 0 0 2 Esta matriz es triangular por lo que los valores propios son los valores de la diagonal. Valores propios: −1, 1, y 2 de multiplicidad 2. — — — 2. Encontrar los valores propios del endomorfismo de R5 definido por f(x1, x2, x3, x4, x5) = (−x1, x1 + 2x2, x3,−x5, x4) Solución: Escribamos la matriz del endomorfismo en la base canónica A = −1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 1 0 det(A− tI) = det ( −1− t 0 1 2− t ) (1− t) det ( −t −1 1 −t ) 137 det(A− tI) = (−1− t)(2− t)(1− t)(1 + t2) = −(t+ 1)(t− 2)(t− 1)(t− i)(t+ i). Por lo tanto los valores propios son −1, 1, 2, i,−i. — — — 3. Sea f el endomorfismo de R6 cuya matriz en la base canónica de R6, es M = 1 2 1 0 2 −5 0 −1 0 0 0 0 −1 3 −1 0 8 9 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 4 12 0 0 0 0 1 3 Encontrar el polinomio caracteŕıstico. Solución: det(M − tI) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1− t 2 1 0 2 −5 0 −1− t 0 0 0 0 −1 3 −1− t 0 8 9 0 0 0 2− t 0 0 0 0 0 0 4− t 12 0 0 0 0 1 3− t ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = = ∣∣∣∣∣∣ 1− t 2 1 0 −1− t 0 −1 3 −1− t ∣∣∣∣∣∣ · (2− t) · ∣∣∣∣4− t 121 3− t ∣∣∣∣ = = (−1− t) ∣∣∣∣1− t 1−1 −1− t ∣∣∣∣ · (2− t) · ∣∣∣∣4− t 121 3− t ∣∣∣∣ . Por lo tanto Q(t) = (t+ 1)t3(t− 2)(t− 7). 138 CAPÍTULO 6. DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS 4. Encontrar el polinomio caracteŕıstico del endomorfismo f de R3 dado por f(x, y, z) = (−3y + 2z, 2x− y, x− 2z) . Solución: Escribamos la matriz de la aplicación en la base canónica A = 0 −3 22 −1 0 1 0 −2 y calculemos det(A− tI). det(A− tI) = ∣∣∣∣∣∣ −t −3 2 2 −1− t 0 1 0 −2− t ∣∣∣∣∣∣ = −t3 − 3t2 − 6t− 10. — — — 5. Estudiar la diagonalización de los endomorfismos de R3 cuyas matrices en la base canónica de R3, son: A = −1 2 0−2 3 0 −2 1 2 y B = 1 4 −20 3 0 1 1 1 Solución: Calculemos los valores propios de A det(A− tI) = ∣∣∣∣∣∣ −1− t 2 0 −2 3− t 0 −2 1 2− t ∣∣∣∣∣∣ = (2− t) · ∣∣∣∣−1− t 2−2 3− t ∣∣∣∣ = (2− t)(1− t)2 Los valores propios son 2 y 1, éste de multplicidad 2.