Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (74)

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15 VARIAS VARIABLES: DIFERENCIABILIDAD Y DERIVACIÓN PARCIAL (*)
9. Comprueba que la función f(x, y) =
√
x+
√
y
x+ y
satisface la EDP x f ′x + y f
′
y =
−1
2
f .
Solución: Calculamos las derivadas parciales poniendo f(x, y) =
x1/2 + y1/2
x+ y
:
f ′x =
1
2 x
−1/2(x+ y)− (x1/2 + y1/2)
(x+ y)2
 x f ′x =
1
2 x
1/2(x+ y)− (x1/2 + y1/2)x
(x+ y)2
f ′y =
1
2 y
−1/2(x+ y)− (x1/2 + y1/2)
(x+ y)2
 y f ′y =
1
2 y
1/2(x+ y)− (x1/2 + y1/2)y
(x+ y)2
Sumando y sacando factor común:
x f ′x + y f
′
y =
1
2 (x
−1/2 + y−1/2)(x+ y)− (x1/2 + y1/2)(x+ y)
(x+ y)2
=
−12 (x−1/2 + y−1/2)
(x+ y)
=
−1
2
f
o
10. Si f(x, y) = ex
2−y2 , calcula y simplifica cuanto puedas la expresión f ′′xx + 2f
′′
xy + f
′′
yy.
Solución: Calculamos las derivadas de primer orden:
f ′x = 2x e
x2−y2 f ′y = −2y ex
2−y2
y las de segundo orden:
f ′′xx = (2 + 4x
2) ex
2−y2 f ′′xy = −4xy ex
2−y2 f ′′yy = (−2 + 4y2) ex
2−y2
Por tanto
f ′′xx+2f
′′
xy + f
′′
yy = (2+4x
2− 8xy− 2+4y2) ex2−y2 = 4(x2− 2xy+ y2) ex2−y2 = 4(x− y)2 ex2−y2
o
11. Dada la función f(x, y) =
x
x2 + y2
, calcula y simplifica cuanto puedas f ′x, f
′
y y f
′′
xy.
Solución: Las derivadas primeras f ′x y f
′
y están en el Problema 91(f), y valen:
f ′x(x, y) =
(x2 + y2)− x · 2x
(x2 + y2)2
=
y2 − x2
(x2 + y2)2
f ′y(x, y) =
−x · 2y
(x2 + y2)2
=
−2xy
(x2 + y2)2
La derivada f ′′xy se puede obtener derivando f
′
x con respecto a y o derivando f
′
y con respecto a x. A su
vez, esto se puede hacer viendo la expresión como un cociente o como un producto con (x2+ y2)−2.
Por ejemplo, derivando f ′x con respecto a y como un cociente se tiene:
f ′′xy(x, y) =
2y(x2 + y2)2 − (y2 − x2)2(x2 + y2) · 2y
(x2 + y2)4
=
2y(x2 + y2)− 4y(y2 − x2)
(x2 + y2)3
=
6x2y − 2y3
(x2 + y2)3
Matemáticas de 1 , problemas 220 Alberto del Valle Robles
15 VARIAS VARIABLES: DIFERENCIABILIDAD Y DERIVACIÓN PARCIAL (*)
Y se llega a lo mismo derivando por ejemplo f ′y = −2xy(x2 + y2)−2 con respecto a x:
f ′′xy(x, y) = −2y(x2+y2)−2+4xy(x2+y2)−3·2x = 2y
[
−(x2 + y2) + 4x2
]
(x2+y2)−3 = 2y
3x2 − y2
(x2 + y2)3
o
12. Dada la función f(x, y) =
x
x2 + y2
, comprueba que se satisface la EDP f ′′xx + f
′′
yy = 0.
Solución: Calculamos las derivadas parciales primeras:
f ′x =
(x2 + y2)− x 2x
(x2 + y2)2
=
y2 − x2
(x2 + y2)2
f ′y =
0− x 2y
(x2 + y2)2
=
−2xy
(x2 + y2)2
Y ahora las derivadas parciales segundas, derivando f ′x con respecto a x y f
′
y con respecto a y.
Tras derivar conviene cancelar el factor (x2 + y2) que aparece tanto en el numerador como en el
denominador:
f ′′xx =
−2x (x2 + y2)2 − (y2 − x2) 2(x2 + y2) 2x
(x2 + y2)4
=
−2x (x2 + y2)− (y2 − x2) 4x
(x2 + y2)3
=
2x3 − 6xy2
(x2 + y2)3
f ′′yy =
−2x (x2 + y2)2 + 2xy 2(x2 + y2) 2y
(x2 + y2)4
=
−2x (x2 + y2) + 8xy2
(x2 + y2)3
=
6xy2 − 2x3
(x2 + y2)3
Se observa que son expresiones opuestas y por tanto su suma es nula, o sea f ′′xx + f
′′
yy = 0.
En lugar de derivar cocientes se pueden derivar productos poniendo f = x (x2+y2)−1. En este caso
conviene sacar como factor común la potencia más baja de x2 + y2 que aparezca:
f ′x = (x
2 + y2)−1 − x (x2 + y2)−22x = [x2 + y2 − 2x2] (x2 + y2)−2 = [y2 − x2] (x2 + y2)−2
f ′′xx = −2x (x2 + y2)−2 − 2[y2 − x2] (x2 + y2)−3 2x = −2x[(x2 + y2) + 2(y2 − x2)] (x2 + y2)−3 =
= −2x[3y2 − x2] (x2 + y2)−3
f ′y = −x (x2 + y2)−22y = −2xy (x2 + y2)−2
f ′′yy = −2x (x2 + y2)−2 + 4xy (x2 + y2)−3 2y = −2x[(x2 + y2)− 4y2] (x2 + y2)−3 =
= −2x[x2 − 3y2] (x2 + y2)−3
o
Matemáticas de 1 , problemas 221 Alberto del Valle Robles
15 VARIAS VARIABLES: DIFERENCIABILIDAD Y DERIVACIÓN PARCIAL (*)
13. Calcula y simplifica cuanto puedas las derivadas parciales segundas f ′′xx, f
′′
yy y f
′′
xy de la función
f(x, y) = ln(x2 − y2).
Solución: Las derivadas primeras salen derivando el logaritmo y aplicando la regla de la cadena:
f ′x =
2x
x2 − y2 f
′
y =
−2y
x2 − y2
Para las segundas se derivan los cocientes y se simplifica lo poco que se puede:
f ′′xx =
2(x2 − y2)− 2x · 2x
(x2 − y2)2 =
−2(x2 + y2)
(x2 − y2)2 f
′′
yy =
−2(x2 − y2) + 2y · (−2y)
(x2 − y2)2 =
−2(x2 + y2)
(x2 − y2)2
f ′′xy =
−2x · (−2y)
(x2 − y2)2 =
4xy
(x2 − y2)2
o
14. Calcula y simplifica cuanto puedas las derivadas f ′′xy y f
′′
yy para f(x, y) =
√
1 + xy2.
Solución: Basta con calcular f ′y y derivarla con respecto a x e y. Calculamos esa primera derivada:
f = (1 + xy2)1/2 f ′y =
1
2
(1 + xy2)−1/22xy = xy(1 + xy2)−1/2
Ahora derivamos f ′y con respecto a x
f ′′xy = y(1 + xy
2)−1/2 + xy
−1
2
(1 + xy2)−3/2y2 = y(1 + xy2)−1/2 − 1
2
xy3(1 + xy2)−3/2 =
y(1 + xy2)−3/2(1 + xy2 − 1
2
xy2) = y(1 +
1
2
xy2)(1 + xy2)−3/2
Finalmente derivamos f ′y con respecto a y
f ′′yy = x(1 + xy
2)−1/2 + xy
−1
2
(1 + xy2)−3/22xy = x(1 + xy2)−1/2 − x2y2(1 + xy2)−3/2 =
x(1 + xy2)−3/2(1 + xy2 − xy2) = x(1 + xy2)−3/2
o
15. Comprueba que f(x, y) = arctan(y/x) satsiface la ecuación x2 f ′′xx + y
2 f ′′yy + 2xy f
′′
xy = 0.
Solución: Calculamos las derivadas primeras y luego las segundas:
f ′x =
−y/x2
1 + (y/x)2
=
−y
x2 + y2
f ′y =
1/x
1 + (y/x)2
=
x
x2 + y2
f ′′xx =
2xy
(x2 + y2)2
f ′′yy =
−2xy
(x2 + y2)2
f ′′xy =
−x2 − y2 + 2y2
(x2 + y2)2
=
y2 − x2
(x2 + y2)2
Por tanto
x2 f ′′xx + y
2 f ′′yy + 2xy f
′′
xy =
2x3y − 2xy3 + 2xy(y2 − x2)
(x2 + y2)2
=
2x3y − 2xy3 + 2xy3 − 2x3y
(x2 + y2)2
= 0
o
Matemáticas de 1 , problemas 222 Alberto del Valle Robles