Álgebra Lineal Mora (98)

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Capítulo 3. Espacios vectoriales
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 2. Sea W � {(x, y) ∈ R2 | 0 � x � 1, 0 � y � 1}. Los elementos (1, 1) (1, .5) pertenecen 
a W, pero (1, 1) 	 (1, .5) � (2, 1.5) no pertenece a W, por lo que W no es subes-
pacio.
 3. Sea W � {(x, y) ∈ R2 | y � ax, a un real fi jo}. Dados (x, y) y (v, w) en W, se tiene que 
y � ax y w � av. Sumando estas dos ecuaciones tenemos y 	 w � ax 	 av � a(x 	 
v), es decir, (x, y) 	 (v, w) pertenece a W. También se tiene que λ(x, y) � (λx, λy) 
pertenece a W, pues como y � ax entonces λy � aλy, concluyendo que W si es 
subespacio.
Ejercicio 3.4.1. Determine cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios.
 1. W � {(x, y) ∈ R2 | y � 2x} ∪ {(x, y) ∈ R2 | y � 3x}
 2. W � {(x, y) ∈ R2 | y � 2x} ∩ {(x, y) ∈ R2 | y � 3x}
 3. W � {(x, y) ∈ R2 | y � x2}
 4. W � {(x1, x2, ..., xn) ∈ R
n | xi ∈ Z para todo i � 1, 2, ..., n}
 5. W � {(x1, x2, ..., xn) ∈ R
n | xi ∈ Q para todo i � 1, 2, ..., n}
De los ejemplos anteriores, se tiene que hay subconjuntos que no son subespa-
cios, entonces surge una pregunta, ¿cómo se pueden “generar” subespacios a partir 
de subconjuntos? Para que un subconjunto sea un subespacio debe cumplir las pro-
piedades estipuladas en la defi nición 3.4.4, por lo que se requiere que al multiplicar 
elementos del subconjunto por escalares, el resultado sea un elemento del subcon-
junto y al sumar elementos del subconjunto, el resultado también pertenezca al sub-
conjunto, entonces, un subespacio generado a partir de un subconjunto debe contener 
elementos de la forma a1α1 	 a2α2 	 ⋅ ⋅ ⋅ 	 akαk, en donde k � 1, 2, 3, ...; αi pertenece 
al conjunto generador y los coefi cientes de los α son escalares. ¿Es sufi ciente tomar 
esos elementos para obtener un subespacio? En otras palabras, ¿la colección de ele-
mentos de la forma descrita antes es un subespacio? Si tomamos dos elementos del 
tipo descrito antes y los sumamos, el resultado es del mismo tipo, gracias a que pode-
mos tomar cualquier cantidad de sumandos. Si multiplicamos un elemento del tipo 
descrito, por un escalar, el resultado también es de ese tipo, por lo que la respuesta es 
afi rmativa, entonces la discusión anterior la podemos formalizar en la siguiente:
Defi nición 3.4.5. Dado un subconjunto no vacío S de Rn, el subespacio generado por 
S, denotado L(S), se defi ne como:
L(S) :� a a R S y ki i i i
i
k
α α∈ ∈
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
∑ , , , ,...�
�
1 2 3
1
Cuando L(S) � Rn, decimos que S genera a Rn.
Observación 3.4.3. Un subconjunto S genera a Rn ⇔ para todo α � (a1, a2, ..., an) ∈ 
Rn, la ecuación:
(a1, a2, ..., an) � x1α1 	 x2α2 	 ⋅⋅⋅ 	 xkαk
tiene solución para algunos escalares x1, x2, ..., xk y para algunos vectores α1, α2, ..., αk 
en S.
Después de haber introducido la idea de subespacio generado por un conjunto, y 
conjunto generador de Rn, surge una pregunta, ¿cuál es la cantidad mínima de vecto-
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