Álgebra Lineal Mora (72)

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Capítulo 2. Matrices
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 Ω�
 
0
0
xk	1/xk
xn/xk
· ·
 ·
· ·
 ·
 
y Ek es la matriz 1 � n con cero en sus entradas salvo la k-ésima, 
cuyo valor es 1. Calcule MkX. ¿Tiene inversa Mk? La matriz Mk se llama matriz de 
Gauss.
14. Sea A una matriz n � n tal que a11 � 0. Construya una matriz de Gauss M tal que 
MA tenga ceros en la primer columna, salvo la primer entrada, la cual debe ser 
a11. Sea A una matriz 2 � 2 ¿qué condiciones debe cumplir A para que existan 
matrices de Gauss M1, ..., Mk tales que Mk ... M1A sea triangular superior?
15. Sea A � diag{A, A, ..., A}, con Ai matriz cuadrada para todo i � 1, 2, ..., k. Demues-
tre que An � diag{A1
n, A2
n, ..., Ak
n} para todo n � 1. ¿Cuáles son las condiciones para 
que A tenga inversa?
16. Sea A � 
A11 A12
0 A22
 , con A11 y A22 matrices cuadradas. Demuestre que A es inversible 
⇔ A11 y A22 lo son. En este caso determine una expresión para la inversa de A.
17. Sean A y B matrices de orden m � n y n � p respectivamente; denotemos por A1, 
A2, ..., An a las columnas de A y por B1, B2, ..., Bn a las fi las de B. ¿Tiene sentido la 
ecuación AB � A1B1 	 A2B2 	 · · · 	 AnBn? Argumente.
18. En este ejercicio presentamos los elementos matemáticos del modelo de Leon-
tief, ejemplo 1.1.2, página 4. Para una discusión desde el punto de vista econó-
mico le sugerimos al lector que consulte [8]. Supongamos que la economía de 
México se divide en n sectores y denotemos por X el vector de producción, por B 
el vector de consumo y por A la matriz de entrada-salida en el modelo. La matriz 
A determina la demanda de los sectores para satisfacer la demanda fi nal. Con 
esta interpretación y la hipótesis sobre el sistema económico en equilibrio, los 
datos anteriores se relacionan por medio de la ecuación
X � AX 	 B (2.13)
Una pregunta natural es: ¿existe un vector de producción que satisfaga la demanda? 
Recordemos que una de las hipótesis del modelo de Leontief es que la suma de los ele-
mentos de cada columna de A es � 1. En este ejercicio daremos algunas indicaciones 
que permitan contestar la pregunta.
Dada la matriz A � (aij), n � n. Se defi ne la norma de A denotada ��A ��, como 
��A ��:� max. aij
i
n
j
n
� �1 1
∑⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ Demuestre:
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