Álgebra Lineal Mora (73)

Vista previa del material en texto

Álgebra lineal
58
 a) Para todo par de matrices A y B se cumple ��AB �� � ��A �� ��B ��, en particular 
��An�� � ��A ��n para todo n � 1, 2, 3...
 b) Sea A una matriz cuadrada tal que ��A �� � 1. Demuestre que Ak → 0 cuando 
k → �. Usando la igualdad I � Ak � (I � A)(I 	 A 	 A2 	 · · · 	 Ak�1) y lo pro-
bado antes concluya que la matriz I � A tiene inversa y se tiene (I � A)�1 � 
I 	 A 	 A2 	 · · · 	 Ak�1 	 · · · . De esto se infi ere que la ecuación 2.13 tiene 
solución positiva para todo B con entradas positivas. Una aproximación de la 
solución es X � (I 	 A 	 A2 	 · · · 	 Ak�1)B.
19. Use los resultados del ejercicio anterior y algún sistema computacional para en-
contrar una aproximación con tres decimales de la solución del sistema X � AX 
	 B, en donde:3
A � 
.1588 .0064 .0025 .0304 .0014 .0083 .1594
.0057 .2645 .0436 .0099 .0083 .0201 .3413
.0264 .1506 .3557 .0139 .0142 .0070 .0236
.3299 .0565 .0495 .3636 .0204 .0483 .0649
.0089 .0081 .0333 .0295 .3412 .0237 .0020
.1190 .0901 .0996 .1260 .1722 .2368 .3369
.0063 .0126 .0196 .0098 .0064 .0132 .0012
 , B � 
74 000
56 000
10 500
25 000
17 500
196 999
5 000
 
las unidades monetarias están en millones de dólares. 
20. Sea A una matriz 2 � 2 con entradas positivas. Demuestre que existe un c 
 0 tal 
que la matriz A � cI no tiene inversa. ¿Se tiene el mismo resultado para matrices 
de orden tres?
21. Resuelva los circuitos que se representan en las fi guras siguientes.
 3 Los datos de las matrices son tomados de [7], ejercicio 13, página 154.
11
12
13
3
3
5
1
6
12
8
12V
6V
12V
11
12
132
3
8
6
7
2
3
 9V
12
12V
9V
2V
6V
11
12
13
9V
12V
1.5V
2V
6
9
10
5
3
7
7
4