Álgebra Lineal Mora (92)

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Capítulo 3. Espacios vectoriales
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Demostración. Ejercicio.
De la discusión anterior tenemos que el conjunto {(x, y, z) : ax 	 by 	 cz � 0} es un 
plano que pasa por el origen y es ortogonal al vector N
uru
 � (a, b, c).
Ejemplo 3.3.2. Encuentre la ecuación del plano que es ortogonal al vector (1, �1, 2) 
y que pasa por el origen. También encuentre dos vectores que lo generan.
Discusión. El plano que es ortogonal a N � (1, �1, 2) y que pasa por el origen es 
el conjunto de puntos P � {(x, y, z) ∈ R3} que satisfacen 〈N, X 〉 � 〈(1, �1, 2), (x, y, z)〉 � 
x � y 	 2z � 0. Para encontrar dos vectores que lo generan debemos encontrar dos 
vectores α, β ∈ P que sean linealmente independientes. De la ecuación que defi ne al 
plano se tiene que α � (1, 1, 0) y β � (2, 0, �1) pertenecen a P y son linealmente in-
dependientes.
3.3.3. Producto cruz de vectores
Sean 
r
u y 
r
v dos vectores linealmente independientes, ¿cuáles son los vectores X
uru
 � 
(x, y, z) que son ortogonales a ellos? Supongamos que 
r
u � (a, b, c) y 
r
v � (a1, b1, c1) en-
tonces la condición de ortogonalidad da lugar a las siguientes ecuaciones:
 ax 	 by 	 cz � 0 (3.12)
 a1x 	 b1y 	 c1z � 0 (3.13)
Multiplicando la ecuación 3.12 por a1, la ecuación 3.13 por �a, sumando y fac-
torizando se obtiene (a1b � ab1)y 	 (a1c � ac1)z � 0. Por observación se pueden 
obtener algunas soluciones de esta última ecuación. Tomando z � �(a1b � ab1), 
y � (a1c � ac1) y sustituyendo en (3.12) obtenemos ax – b(a1c – ac1) – c(a1b – ab1) = 0 
y de esto, ax = a(bc1 – b1c). Tomando x = bc1 – b1c se tiene una solución del sistema 
formado por las ecuaciones (3.12) y (3.13), es decir, el vector X
uru
 � (bc1 – b1c, a1c – ac1, 
ab1 – a1b) es perpendicular a 
r
u y a 
r
v .
Observación 3.3.1. El vector X
uru
 determinado antes es diferente de cero ⇔ los vec-
tores 
r
u y 
r
v son linealmente independientes.
Demostración. Ejercicio.
Defi nición 3.3.5. Dados los vectores 
r
u � (a, b, c) y 
r
v � (a1, b1, c1) se defi ne el pro-
ducto cruz o producto vectorial de 
r
u y 
r
v como 
r
u � 
r
v :� (bc1 � b1c, a1c � ac1, 
ab1 � a1b).
Como regla mnemotécnica usaremos la siguiente representación:
r
u � 
r
v :� 
 i
r
 j
r
 k
ur
 a b c
 a1 b1 c1
 :� (bc1 � b1c)i
r
 	 (a1c � ac1) j
r
 	 (ab1 � a1b) k
ur
,
en donde i
r
 � (1, 0, 0), j
r
 � (0, 1, 0) y k
ur
 � (0, 0, 1).
Ejemplo 3.3.3. Dados (1, 2, 0) y (1, 3, 0) calcule (1, 2, 0) � (1, 3, 0). 
Discusión. De acuerdo con la defi nición del producto cruz tenemos:
(1, 2, 0) � (1, 3, 0) � 
 i
r
 j
r
 k
ur
 1 2 0
 1 3 0
 � (2 · 0 � 3 · 0)i
r
 	 (1 · 0 � 1 · 0) j
r
 	 (3 � 2) k
ur
 � (0, 0, 1)
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	Álgebra Lineal
	Capítulo 3 Espacios vectoriales
	3.3. Aspectos geométricos de R2 y R3 vía álgebra lineal
	3.3.3. Producto cruz de vectores