Apuntes algebra lineal y geometria vega (97)

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3.4. ENDOMORFISMOS NILPOTENTES. FORMA CANÓNICA DE JORDAN 93
El estudio anterior cubre, como es obvio, todos aquellos casos de endomorfismos, sobre espacios
de dimensión � 3, en los que las ráıces del polinomio caracteŕıstico tienen a lo sumo multiplicidad 3.
Con el siguiente ejemplo se da una idea del método que se emplea de forma general para obtener la
forma de Jordan de una matriz.
Ejemplo 3.4.2
Consideremos V = R7 y f el endomorfismo definido, respecto de la base canónica, por la matriz
siguiente:
A =
0
BBBBBBBB@
4 3 �1 2 �3 7 �7
0 2 0 0 0 0 0
2 2 1 2 �3 2 �2
0 �1 �1 2 1 0 0
1 1 �1 1 1 1 �1
5 5 �6 5 1 1 �4
5 5 �6 5 1 4 �7
1
CCCCCCCCA
Su polinomio caracteŕıstico y su polinomio mı́nimo son
Pf (X) = (X + 3)
2(X � 2)5 y mf (X) = (X + 3)2(X � 2)3.
Sean
V1 = ker((f + 3I)2) y V2 = ker((f � 3I)3)
los subespacios f -invariantes cuyas bases respectivas son:
B1 = {(1, 0, 0, 0, 0,�1, 0), (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1)}
B2 = {(1, 0, 1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0),
(�1, 1, 0, 0, 0, 0, 0), (�1, 0, 0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0, 1, 1)}
La aplicación f1 restricción de f a V1 tiene el tratamiento visto en 2b del caso 1. Respecto de la base
B01 = {(1, 0, 0, 0, 0, 0, 1), (1, 0, 0, 0, 0,�1, 0)}
de V1 la forma de Jordan de f1 es
MB01(f1) =
✓
�3 1
0 �3
◆
.
Si f2 es la restricción de f a V2 y g = f2 � 2I (nilpotente de ı́ndice 3) entonces se procede de la
siguiente manera:
• Se elige un vector v 2 V2, y se van calculando g(v), g2(v), . . . hasta obtener el vector nulo. Si
v = (�1, 1, 0, 0, 0, 0, 0) entonces g(v) = (1, 0, 0,�1, 0, 0, 0) y g2(v) = 0 y los vectores v y g(v) son
linealmente independientes.
• A continuación se escoge un vector w 2 V2, linealmente independiente con v y g(v); por ejemplo
w = (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0) y se van obteniendo g(w), g2(w), . . . hasta obtener el vector nulo. En este
caso, g(w) = (�3, 0,�3, 1,�1, 1, 1), g2(w) = (2, 0, 2, 2, 2, 2, 2) y g3(w) = 0 y los vectores v, g(v),
w, g(w) y g2(w) son linealmente independientes