Apuntes algebra lineal y geometria vega (98)

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94 LECCIÓN 3. LA TEORÍA DEL ENDOMORFISMO
• Los vectores {g(v), v, g2(w), g(w), w} forman una base, B02, de V2 tal que:
MB02(f2) = MB02(g) +MB02(2I) =
0
BBBB@
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
1
CCCCA
+
0
BBBB@
2 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 2 0 0
0 0 0 2 0
0 0 0 0 2
1
CCCCA
=
=
0
BBBB@
2 1 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 2 1 0
0 0 0 2 1
0 0 0 0 2
1
CCCCA
es la forma de Jordan de f2.
Se obtiene aśı la base de R7
B = {(1, 0, 0, 0, 0, 0, 1), (1, 0, 0, 0, 0,�1, 0), (1, 0, 0,�1, 0, 0, 0), (�1, 1, 0, 0, 0, 0, 0),
(2, 0, 2, 2, 2, 2, 2), (�3, 0,�3, 1,�1, 1, 1), (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0)}
tal que
MB(f) =
0
BBBBBBBB@
�3 1 0 0 0 0 0
0 �3 0 0 0 0 0
0 0 2 1 0 0 0
0 0 0 2 0 0 0
0 0 0 0 2 1 0
0 0 0 0 0 2 1
0 0 0 0 0 0 2
1
CCCCCCCCA
es la forma de Jordan de f .
El resultado general no va a ser más que enunciado y se hace en los términos siguientes:
Proposición 3.4.1
Sea f un endomorfismo de V de polinomio caracteŕıstico
Pf (X) = (X � ↵1)r1 · (X � ↵2)r2 · . . . · (X � ↵l)rl
y de polinomio mı́nimo
mf (X) = (X � ↵1)s1 · (X � ↵2)s2 · . . . · (X � ↵l)sl
siendo 1  si  ri y ↵i 6= ↵j si i 6= j. Entonces:
1. Para cada subespacio f -invariante Vi = ker(f � ↵i)si (i = 1, 2, . . . , l), existe una base Bi (con ri
vectores) respecto de la cuál el endomorfismo restricción de f a Vi tiene por matriz J↵i, donde
los elementos de la diagonal principal son todos iguales a ↵i, los de los lugares (j, j+1) son cero
o uno y el resto todos iguales a cero.
2. La matriz asociada a f respecto de la base
B = B1 [ B2 [ . . . [ Bl
de V es una matriz diagonal por cajas. Las cajas son respectivamente J↵1, J↵2, . . . , J↵l.