Apuntes algebra lineal y geometria vega (3)

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Índice
I Lecciones 1
1 Espacios Vectoriales 3
1.1 Definición de Espacio Vectorial. Primeros ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Subespacios Vectoriales. Combinaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Independencia lineal. Bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Suma e intersección de subespacios. Suma directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Problemas de Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Aplicaciones Lineales y Matrices 31
2.1 Definición de Aplicación Lineal. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Núcleo e imagen. Fórmula de las dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Tipos de Aplicaciones Lineales. Isomorfismos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 Matriz asociada a una aplicación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5 Cambios de base y matrices equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5.1 Cambios de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.2 M 0 = QMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6 Problemas de Aplicaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3 La Teoŕıa del Endomorfismo 69
3.1 Autovalores y autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2 El polinomio mı́nimo de un endomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3 Subespacios invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4 Endomorfismos nilpotentes. Forma canónica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.5 Cálculo aproximado de autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.6 Problemas de la Teoŕıa del Endomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
iii