Apuntes algebra lineal y geometria vega (76)

Vista previa del material en texto

72 LECCIÓN 3. LA TEORÍA DEL ENDOMORFISMO
La definición de polinomio caracteŕıstico de un endomorfismo f :V ! V , tal y como se ha intro-
ducido, depende de la base escogida en V . Sin embargo esta ambigüedad desaparece notando que
si dos matrices son semejantes entonces sus polinomios caracteŕısticos coinciden. En particular, dos
matrices semejantes tienen igual determinante, igual traza y los mismos autovalores, veámoslo. De la
relación B = P�1AP puede obtenerse la siguientes cadena de igualdades:
PB(X) = det(XIn �B) = det(XP�1P � P�1AP ) =
= det(P�1(XIn �A)P ) = det(P�1) det(XIn �A) det(P ) =
= det(P�1) det(P ) det(XIn �A) = PA(X)
La siguiente proposición muestra un primer criterio de diagonalización, esto es, una condición
cuya verificación implica la existencia de una base respecto la cual la representación matricial del
endomorfismo considerado es diagonal.
Proposición 3.1.3
Sea f :V ! V un endomorfismo. Si f posee n autovalores distintos en K (o lo que es lo mismo Pf (X)
posee n ráıces distintas en K) entonces f es diagonalizable.
Ejemplo 3.1.2
Es fácil comprobar que el endomorfismo f : R2 ! R2 representado por la matriz A =
✓
0 1
1 0
◆
(respecto de la base canónica) es diagonizable puesto que su polinomio caracteŕıstico es X2 � 1 y una
base de vectores propios es B = {(1, 1), (1,�1)}.
Sin embargo existen endomorfismos diagonalizables para los que no se verifica la condición que
muestra la proposición anterior, es decir, un endomorfismo de un espacio n-dimensional puede ser
diagonalizable sin que su polinomio caracteŕıstico tenga n ráıces distintas. El endomorfismo identidad,
cuyo polinomio caracteŕıstico es (X � 1)n es un ejemplo de ello, otro es el siguiente.
Ejemplo 3.1.3
El endomorfismo f : R5 ! R5 que tiene asociada respecto la base canónica la matriz B es dia-
gonalizable. Su polinomio caracteŕıstico es (X � 1)3(X + 1)2. Calculando directamente vectores
propios asociados a 1 y �1, o bien reordenando la base canónica ({e1, e5, e3, e2, e4}) para reducir
este problema, por cajas, a matrices iguales a la matriz A del ejemplo anterior, se puede ver que
{e1 + e5, e1 � e5, e3, e2 + e4, e2 � e4} es una base de vectores propios.
B =
0
BBBB@
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
1
CCCCA
El siguiente criterio permite caracterizar los endomorfismos diagonalizables en términos de los
subespacios propios que se definen a continuación.
Definición 3.1.4 Sea f :V ! V un endomorfismo y ↵ 2 K. Se define:
Vf (↵) = {u 2 V : f(u) = ↵u}
y se tiene que Vf (↵) es un subespacio vectorial de V y que Vf (↵) es no trivial si y sólo si ↵ es un
autovalor de f . Se dice que Vf (↵) es un subespacio propio de f .