Apuntes algebra lineal y geometria vega (92)

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88 LECCIÓN 3. LA TEORÍA DEL ENDOMORFISMO
Demostración.
Por ser núcleos de aplicaciones lineales, V1 y V2 son subespacios de V . Los polinomios que definen
esos subespacios son primos entre si, por lo que aplicando la identidad de Bezout existen polinomios
p(X) y q(X) en K[X] verificando
(f � ↵1I)s1 · p(f) + b(f) · q(f) = IV . (3.12)
Si v es cualquier elemento de V entonces
(f � ↵1I)s1(p(f)(v)) + b(f)(q(f)(v)) = v.
Como v2 = (f � ↵1I)s1(p(f)(v)) 2 V2 y v1 = b(f)(q(f)(v)) 2 V1, se deduce la primera afirmación de
la proposición.
Si v 2 V1 \ V2 entonces (f � ↵1I)s1(v) = 0 y b(f)(v) = 0. Teniendo en cuenta 3.12, se obtiene
v = p(f)((f � ↵1I)s1(v)) + q(f)(b(f)(v)) = 0
y V1 \ V2 = {0}.
Si v 2 V1 entonces
f((f � ↵1I)s1(v)) = 0 = (f � ↵1I)s1(f(v)),
y, por tanto, f(v) 2 V1. La f -invarianza de V2 se prueba de forma análoga.
Sean mf1(X) y mf2(X) los polinomios mı́nimos de f1 y f2 respectivamente. Si v 2 V1 entonces
(f � ↵1I)s1(v) = (f1 � ↵1I)s1(v) = 0.
Es decir, el endomorfismo (f1 � ↵1I)s1 definido en V1 es el endomorfismo nulo y, como consecuencia,
mf1(X) es un divisor de (X �↵1)s1 . De forma similar se deduce que mf2(X) es un divisor de b(X) y,
por tanto, mf1(X) ·mf2(X) divide a mf (X).
Sea v = v1 + v2 un elemento cualquiera de V con v1 2 V1 y v2 2 V2. Entonces:
(mf1(f) ·mf2(f))(v) = (mf2(f) ·mf1(f))(v1) + (mf1(f) ·mf2(f))(v2) =
= mf2(f)(mf1(f)(v1)) +mf1(f)(mf2(f)(v2)) =
= mf2(f)(mf1(f1)(v1)) +mf1(f)(mf2(f2)(v2)) =
= mf2(f)(0) +mf1(f)(0) = 0
Lo anterior muestra que mf1(f) ·mf2(f) es el endomorfismo nulo sobre V y que el polinomio mı́nimo
de f es un divisor de mf1(X) ·mf2(X).
Se tiene entonces
(X � ↵1)s1 · b(X) = mf1(X) ·mf2(X)
por dividirse mutuamente y ser ambos mónicos. Como ya se hab́ıa probado antes que (X � ↵1)s1 es
un múltiplo de mf1(X) y que b(X) lo es de mf2(X), quedan demostradas las igualdades establecidas
en el cuarto punto.
Si en V se considera una base B donde los d primeros vectores constituyen una base de V1 y los
últimos n� d constituyen una base de V2 entonces la matriz asociada a f es una matriz
A =
✓
A1 0
0 A2
◆
donde: