Apuntes algebra lineal y geometria vega (107)

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3.6. PROBLEMAS DE LA TEORÍA DEL ENDOMORFISMO 103
a) Demuestra que e1 � e2 y e1 + e2 son vectores propios.
b) Si 2 fuese raiz del polinomio caracteŕıstico de f , ¿podŕıamos afirmar que f es diagonalizable?
c) Supongamos que f(0, 0, 1, 1) = (1,�1, 0, 1). Escribe la matriz asociada a f respecto de la base
canónica. ¿Es f diagonalizable en este caso?
Problema 3.6.20
Sea f : R3 ! R3 una aplicación lineal tal que
i) f2es la aplicación nula ii) f(1, 1, 1) = (0, 1, 1) iii) (0, 0, 1) 2 Ker(f)
1. Halla bases de Ker(f) y de Im(f) probando previamente que Im(f) ⇢ Ker(f).
2. ¿Existen bases B y B0 de R3 tales que MB,B0(f) =
0
@
1 0 0
0 0 0
0 0 0
1
A? En caso afirmativo, calcula
dichas bases.
3. Determina el polinomio caracteŕıstico de f . ¿Es f diagonalizable?
Problema 3.6.21
Sea V un R-espacio vectorial de dimensión 7, y U y W dos subespacios de V tales que V = U �W
con dim(U) = 4. Si p : V ! V es la aplicacion proyección sobre U en la dirección de W , ¿cuáles de
las siguientes afirmaciones son verdaderas?
1. Existe una base B de V respecto de la cuál la matriz asociada a p es
MB =
0
BBBBBBBB@
1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
1
CCCCCCCCA
2. rango(f) = dim(U)
3. El polinomio caracteŕıstico de p es (X � 1)4X3, y el polinomio mı́nimo es (X � 1)X.
Problema 3.6.22
Sea f : R4 ! R3 el endomorfismo definido por
f(x, y, z, t) = (x� y, z � t, x� y + z � t)