Apuntes algebra lineal y geometria vega (110)

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106 LECCIÓN 3. LA TEORÍA DEL ENDOMORFISMO
c) A partir de la descomposición de V obtenida en la parte b), determina una base B de V tal que
la matriz de f respecto de B esté en la forma de Jordan.
Problema 3.6.27
Halla las formas canónicas de Jordan de las matrices
0
@
3 0 0
a 3 0
b c �2
1
A
para los distintos valores de los parámetros a, b y c.
Problema 3.6.28
Sea f :R4 ! R4 un endomorfismo y
A =
0
BB@
1 0 1 0
�1 �1 4 0
�1 0 3 0
�1 0 4 �1
1
CCA
la matriz asociada a f cuando en R4 se considera la base canónica y (X � 2)2(X + 1)2 el polinomio
caracteŕıstico de f .
a) Determina el polinomio mı́nimo de f .
b) Calcula base y dimensión de los subespacios V1 = ker((f � 2I)2) y V2 = ker(f + I) de R4.
c) Comprueba que f(V1) ⇢ V1 y determina la forma de Jordan del endomorfismo b : V1 ! V1 siendo
b(w) = f(w).
Problema 3.6.29
Obtén las formas de Jordan de las matrices siguientes:
A =
0
BB@
0 0 0 �1
1 0 0 �1
0 1 0 �1
0 0 1 �1
1
CCA B =
0
BB@
6 �6 6 6
3 �3 3 �3
�2 2 �2 2
1 �1 1 �1
1
CCA C =
0
@
1 1 �2
�1 3 �1
2 �1 5
1
A
Problema 3.6.30
Sea f un endomorfismo de R4 donde la matriz asociada a f respecto de la base canónica es
A =
0
BB@
1 0 0 0
0 2 �1 0
0 1 4 0
0 0 0 2
1
CCA