Apuntes algebra lineal y geometria vega (111)

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3.6. PROBLEMAS DE LA TEORÍA DEL ENDOMORFISMO 107
a) ¿Son subespacios f -invariantes U = h{e1}i, W = h{e2, e3}i y T = h{e4}i?
b) Da una base de R4 respecto de la cuál la matriz asociada a f sea la forma canónica de Jordan.
¿Cómo es dicha matriz?
Problema 3.6.31
Si la forma de Jordan de una matriz A es
J =
0
BBBB@
2 1 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 4 0 0
0 0 0 4 1
0 0 0 0 4
1
CCCCA
¿quién es dimker(A� 4I5)?
Problema 3.6.32
Sea f : R5 ! R5 un endomorfismo cuya matriz asociada respecto de la base canónica es
A =
0
BBBB@
2 1 0 0 0
�1 0 0 0 0
0 0 2 1 0
0 0 �1 0 0
0 0 0 0 1
1
CCCCA
a) Demuestra que los subespacios U = h{e1, e2}i, W = h{e3, e4}i, T = h{e5}i son subespacios
f–invariantes.
b) Sea fU la restricción de f al subespacio U . ¿Cuál es la matriz asociada a fU respecto {e1, e2}?
Calcula una base de U respecto de la cual la matriz asociada a fU tenga la forma canonica de
Jordan.
c) Sin hacer más cálculos que los ya realizados, da una base de R5 respecto de la cuál la matriz
asociada a f sea la forma canónica de Jordan.
d) ¿Cuál es el polinomio mı́nimo de f? ¿Cuál es la dimensión del espacio fundamental asociado al
valor propio 1?
Problema 3.6.33
Sea f : R3 ! R3 un endomorfismo cuya matriz asociada respecto de la base canónica es
A =
0
@
0 �2 0
2 4 0
0 0 2
1
A
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