Apuntes algebra lineal y geometria vega (157)

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4.7. CÓNICAS Y CUÁDRICAS 153
y la matriz M 0 asociada a la cónica es
M 0 = Q⇤tMQ⇤ =
0
@
d 0 0
0 a11 a12
0 a12 a22
1
A
siendo d = c + b1h1 + b2h2. Sea T una matrix 2 ⇥ 2 regular tal que A0 = T tAT =
✓
↵ 0
0 �
◆
(diagonal). Denotemos por R” el sistema de referencia con origen el punto P0 y base {v1, v2},
donde vi tiene por coordenadas en la base de R0 las de la columna i-ésima de Q. La matriz de
la cónica en el sistema R” es
M” = T ⇤tM 0T ⇤ =
0
@
d 0 0
0 ↵ 0
0 0 �
1
A
donde T ⇤ es la matriz 3⇥ 3 del cambio del sistema de referencia de R0 a R”: T ⇤ =
✓
1 0
0 T
◆
.
Teniendo en cuenta lo anterior:
1.1. det(A) > 0 si y sólo si ↵ y � son simultáneamente positivos, o simultáneamente negativos,
y en esta situación:
• Si d = 0, lo que equivale a que det(M) = 0, la ecuación de la cónica en el último sistema
de referencia es ↵x2+�y2 = 0 que sólo tiene una solución. Por tanto en este caso la cónica
se reduce a un punto (dos rectas imaginarias secantes en ese punto).
• Si d > 0, entonces det(M) 6= 0, y sig(M) = 3 si ↵,� > 0 o bien sig(M) = 1 si ↵,� < 0.
· Si sig(M) = 3, la ecuación de la cónica en el último sistema de referencia es ↵x2+�y2+d =
0 con todos los coeficientes estrictamentes positivos, por tanto dicha ecuación no tiene
solución: elipse imaginaria.
· Si sig(M) = 1, la ecuación de la cónica en el último sistema de referencia puede expresarse
como (�↵)x2 + (��)y2 = d, correspondiente a una elipse (real).
• Si d < 0, entonces det(M) 6= 0, y sig(M) = 2 si ↵,� > 0 o bien sig(M) = 0 si ↵,� < 0.
· Si sig(M) = 2, la ecuación es equivalente a la del caso d > 0, sig(M) = 1: elipse.
· Si sig(M) = 0, la situación es análoga a la de sig(M) = 3: elipse imaginaria.
1.2. det(A) < 0 si y sólo si ↵ y � son de signos opuestos. Supongamos que ↵ > 0 y � < 0.
• Si d = 0, lo que equivale a que det(M) = 0, la ecuación de la cónica en el último sistema de
referencia es ↵x2 + �y2 = 0 que tiene como solución al par de rectas y = ±
q
�↵�x, reales
y concurrentes.
• Si d 6= 0, lo que equivale a que det(M) 6= 0, la ecuación de la cónica es la de una hipérbola.
Los otros dos casos que aparecen, en los que el sistema (S) o tiene infinitas soluciones, o no tiene
solución, aportan las cónicas que no tienen centro.
2. El sistema (S) tiene infinitas soluciones si y sólo si rango(A) = rango(A|bi) = 1. En este caso
por tanto det(A) = 0.
3. El sistema (S) no tiene solución si y sólo si rango(A) = 1 y rango(A|bi) = 2. También aqúı
det(A) = 0.