problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (374)

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10.20 Un endomorfismo nilpotente
(Propuesto como trabajo personal, Álgebra, ETS de Ing. Aeronaúticos,
UPM).
Solución. (a) La matriz de f3 en la base canónica es A3, por tanto bas-
tará demostrar que A3 = 0. Usando el teorema de Pitágoras trigonométrico:
A2 =
 0 1 − sin θ−1 0 cos θ
− sin θ cos θ 0
 0 1 − sin θ−1 0 cos θ
− sin θ cos θ 0
 = − cos2 θ − sin θ cos θ cos θ− sin θ cos θ − sin2 θ sin θ
− cos θ − sin θ 1
 ,
A3 =
 − cos2 θ − sin θ cos θ cos θ− sin θ cos θ − sin2 θ sin θ
− cos θ − sin θ 1
 0 1 − sin θ−1 0 cos θ
− sin θ cos θ 0
 = 0.
(b) Usando conocidas propiedades de la composición de aplicaciones y que
f3 = f4 = 0 :
ϕk ◦ ϕs =
(
i+ kf +
k2
2
f2
)
◦
(
i+ sf +
s2
2
f2
)
= i+ sf +
s2
2
f2 + kf + ksf2 +
ks2
2
f3 +
k2
2
f2 +
k2s
2
f3 +
k2s2
2
f4
i+ (s+ k)f +
(
s2
2
+ ks+
k2
2
)
f2 = i+ (s+ k)f +
(k + s)2
2
f2 = ϕk+s.
La relación anterior implica que la composición es interna en G. La compo-
sición es asociativa en general, luego lo es en G. El elemento neutro i de la
composición pertenece a G pues i = ϕ0. Dado ϕk ∈ G :
i = ϕ0 = ϕk+(−k) = ϕk ◦ ϕ−k ⇒ ϕ−1k = ϕ−k ∈ G.
Concluimos que (G.◦) es grupo. Es además abeliano pues
ϕk ◦ ϕs = ϕk+s = ϕs+k = ϕs ◦ ϕk.
(c) Dado que dimR3 = 3, para demostrar que {e′1, e′2, e′3} es una base de R3
basta demostrar que son linealmente independientes o bien que el rango de
la matriz correspondiente es 3.∣∣∣∣∣∣
cos θ sin θ 0
0 −1 − sin θ
1 0 cos θ
∣∣∣∣∣∣ = − cos2 θ − sin2 θ = −1 6= 0.