problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (630)

Vista previa del material en texto

16.2 Factorización de polinomios
Entonces, mcd (p(x), q(x)) = 10x2 + 10x+ 10 o bien,
D(x) = mcd (p(x), q(x)) = x2 + x+ 1 (mónico).
(b) De las divisiones hechas en el apartado anterior,
10D(x) = 10x2 + 10x+ 10 = p(x)− (x+ 3)q(x)
⇒ 1
10
p(x) +
(
− 1
10
x− 3
10
)
q(x) = D(x)
⇒ α(x) = 1
10
, β(x) = − 1
10
x− 3
10
.
16.2. Factorización de polinomios
1. Descomponer el polinomio f(x) = x6 + 1 en producto de factores irredu-
cibles, a) En C[x]. b) En R[x].
2. Descomponer el polinomio f(x) = x4 − 10x2 + 1 en producto de factores
irreducibles, a) En C[x]. b) En R[x].
3. Descomponer en producto de factores irreducibles el polinomio de Z5[x]
p(x) = x5 + x4 + 4x3 + 4x2 + 3x+ 3.
4. Efectuar la factorización de f(x) = x8 +x4 +1 en producto de polinomios
irreducibles en R[x].
5. Descomponer en producto de factores irreducibles el polinomio
p(x) = x4 +
7
3
x3 +
73
36
x2 +
7
9
x+
1
9
,
sabiendo que tiene dos ráıces reales dobles.
6. (a) Descomponer en producto de factores irreducibles los polinomios de
Z5[x]
p(x) = x4 + 4x3 + x2 + 4x, q(x) = x3 + x2 + x+ 1.
(b) Calcular mcd (p(x), q(x)) y mcm (p(x), q(x)).
Solución. 1. a) Hallemos las ráıces de f(x). Tenemos
x6 + 1 = 0⇔ x6 = −1⇔ x = 6
√
−1⇔ x = 6
√
1(cosπ + i senπ)
	Polinomios en una variable
	Factorización de polinomios