1 Números Complejos

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Números Complejos
Estructuras Algebraicas
El conjunto R2 dotado de la suma de pares ordenados (+) y del producto
de pares ordenados por escalares (denotado por yuxtaposición)
(x; y) + (u; v) = (x+ u; y + v) y � (x; y) = (�x; �y)
es un espacio vectorial real bidimensional llamado espacio R2: Los pares or-
denados pasan a llamarse vectores del espacio R2; o vectores de R2:
El espacio R2 dotado del producto de vectores (denotado por yuxtaposi-
ción)
(x; y) (u; v) = (xu� yv; xv + yu)
es una álgebra vectorial real bidimensional. Por razones históricas, la denota-
mos con el símbolo C: Los vectores del espacio R2 pasan a llamarse números
complejos. Esto es, C es el álgebra de los números complejos. El producto
de vectores se llama producto de complejos.
� La suma de complejos y el producto de complejos por escalares satis-
facen los axiomas del espacio R2:
� R2 � f(0; 0)g dotado del producto de complejos es un grupo Abeliano.
� El producto de complejos satisface los siguientes axiomas
Distributividad a izquierda y a derecha
(z1 + z2)w = z1w + z2w y z (w1 + w2) = zw1 + zw2
Homogeneidad
� (zw) = (�z)w = z (�w)
Compatibilidad
�z = (�; 0) z
Utilizaremos (por abuso de notación) el simbolismo z 2 C para indicar
que z 2 R2 en el álgebra C:
1
Tres números complejos notables
El cero complejo 0 = (0; 0) es el vector nulo del espacio R2:
El uno complejo 1 = (1; 0) (o unidad real) es el primer vector canónico
del espacio R2:
La unidad imaginaria i = (0; 1) es precisamente el segundo vector canónico
del espacio R2:
Calculemos el cuadrado de la unidad imaginaria
i2 = ii = (0; 1) (0; 1) = (0 � 0� 1 � 1; 0 � 1 + 1 � 0)
= (�1; 0) = � (1; 0) = �1
Complejos reales y complejos imaginarios
Se dice que z 2 C es un complejo real, si y sólo si, la segunda componente
de z es cero.
Se dice que z 2 C es un complejo imaginario, si y sólo si, la primera
componente de z es cero.
En particular, un complejo imaginario cuya segunda componente es dis-
tinta de cero se llama imaginario puro.
Dos propiedades importantes
Para todos (x; 0) 2 C; (u; 0) 2 C :
(x; 0) + (u; 0) = (x+ u; 0 + 0) = (x+ u; 0)
(x; 0) (u; 0) = (xu� 0 � 0; x � 0 + 0 � u) = (xu; 0)
Para todo (0; y) 2 C :
i (y; 0) = (0; 1) (y; 0) = (0y � 1 � 0; 0 � 0 + 1y) = (0; y)
La primera propiedad implica que los complejos reales son indistiguibles
algebraicamente de su primera componente (un real). Esto es (x; 0) = x:
La segunda propiedad establece que un complejo imaginario puede fac-
torizarse como la unidad imaginaria por un complejo real (simétrico de dicho
complejo imaginario).
2
Forma binómica de un número complejo
Tomemos z = (x; y) 2 C: Usando la de�nición de (+) ; la indistinguibi-
lidad algebraica mencionada arriba y la factorización de un complejo imagi-
nario, tenemos
z = (x; 0) + (0; y) = (x; 0) + i (y; 0) = (x; 0) + (y; 0) i = x+ iy = x+ yi
z = x+ iy = x+ yi
Esta propiedad de descomposición de un número complejo: z = x + iy
(o z = x + yi) escrita en esta notación especialmente conveniente ha sido
llamada históricamente forma binómica de un número complejo.
Operaciones con números complejos
Re-escribimos la suma de complejos, el producto de complejos por es-
calares y el producto de complejos en forma binómica. Tenemos las siguientes
fórmulas
x+ iy + u+ iv = (x; 0) + i (y; 0) + (u; 0) + i (v; 0)
= (x; 0) + (u; 0) + i [(y; 0) + (v; 0)]
= (x+ u; 0) + i (y + v; 0)
x+ iy + u+ iv = x+ u+ i (y + v)
� (x+ iy) = � [(x; 0) + i (y; 0)] = (�x; 0) + i (�y; 0)
� (x+ iy) = �x+ i�y
(x+ iy) (u+ iv) = [(x; 0) + i (y; 0)] [(u; 0) + i (v; 0)]
= (x; 0) (u; 0) + i (x; 0) (v; 0) + i (y; 0) (u; 0) + i2 (y; 0) (v; 0)
= (x; 0) (u; 0)� (y; 0) (v; 0) + i [(x; 0) (v; 0) + (y; 0) (u; 0)]
= (xu; 0)� (yv; 0) + i [(xv; 0) + (yu; 0)]
(x+ iy) (u+ iv) = xu� yv + i (xv + yu)
Ejemplos
Hacemos algunos cálculos con complejos.
2 + 3i� 3 + i = 2� 3 + i (3 + 1) = �1 + 4i
3
1
2
(�14 + 4i) = �7 + 2i
(4 + 5i) (�5 + 3i) = �20� 15 + i (12� 25) = �35� 13i
2 + i
4� 3i =
(2 + i) (4 + 3i)
(4� 3i) (4 + 3i) =
8� 3 + i (6 + 4)
16 + 9 + i (12� 12)
=
5 + 10i
25
=
1
5
+
2
5
i
4
Funciones y Conjuntos de Estructura
Parte real y Parte imaginaria
Las funciones Re : C! R; Im : C! R de�nidas por
Re (x+ iy) = x; Im (x+ iy) = y
se llaman parte real y parte imaginaria. Los números reales Re (z) y Im (z)
se denominan parte real de z y parte imaginaria de z:
Ejemplos
Calculamos partes reales e imaginarias de algunos complejos.
Re (�3 + 4i) = �3; Im (�3 + 4i) = 4; Re (�5) = �5; Im (�5) = 0
Re (2� 3i) = 2; Im (2� 3i) = �3; Re (2i) = 0; Im (2i) = 2
Conjugación
La función ( ) : C! C de�nida por
x+ iy = x� iy
se llama conjugación. El número complejo z se denomina el conjugado de z:
Ejemplos
Calculamos los conjugados de algunos complejos.
�3 + 2i = �3� 2i; 7� 3i = 7 + 3i; 5 = 5; 6i = �6i
Módulo
La función j j : C! R+0 de�nida por
jx+ iyj =
p
x2 + y2
se llama módulo. El número real no negativo (i.e., positivo o cero) jzj se
denomina el módulo de z:
Ejemplos
Calculamos los módulos de algunos complejos.
j�3 + 2ij =
p
(�3)2 + 22 =
p
13; j�5j =
p
25 = 5; j3ij =
p
9 = 3
5
Función de Euler-De Moivre
La función cis : R! C de�nida por
cis (�) = cos � + i sin �
será llamada, por razones históricas, función de Euler-De Moivre (o simple-
mente, función cis).
Históricamente, el número complejo cos �+i sin � se conoce con el nombre
de complejo trigonométrico.
Ejemplos
Calculamos algunas imágenes de la función cis :
cis (�=2) = i; cis (�) = �1; cis (�=4) = 1 + ip
2
; cis (��=3) = 1� i
p
3
2
Función argumento
Lema 1
Para cada z 2 C�f0g ; existe un único �0 2 (��; �] tal que cis (�0) =
z
jzj :
6
De�niciones
Tal �0 se llama el argumento (principal) de z: La función real de variable
compleja de�nida por
arg : C� f0g ! (��; �] = arg(z) = �0
se llama (función) argumento. El número real arg(z) es el argumento (prin-
cipal) de z:
Fórmula notable para arg
En términos de arcocoseno:
arg(z) =
�
arccos (x= jzj) ; si y � 0
� arccos (x= jzj) ; si y < 0
donde z = (x; y) = x+ iy:
Ejemplos
Calculamos algunas imágenes de la función arg :
arg(1 + i) = arccos
�
1
j1 + ij
�
= arccos
�
1p
2
�
= �=4
arg(
p
3� i) = � arccos
 p
3��p3� i��
!
= � arccos
 p
3
2
!
= ��=6
7
Conjunto-argumento
Lema 2
Para cada z 2 C� f0g ; existen in�nitos � 2 R tales que cis (�) = zjzj :
De�niciones
Cada � se llama un argumento de z: Para cada z 2 C� f0g ; el conjunto
de�nido por
Arg (z) =
�
� 2 R= cis (�) = zjzj
�
se llama conjunto-argumento de z: Los elementos de Arg (z) son los argu-
mentos de z:
De acuerdo con la de�nición de Arg (z) ; tenemos
� 2 Arg (z), cis (�) = zjzj
Fórmula notable para Arg (z)
En términos del argumento (principal) y múltiplos enteros de 2� :
Arg (z) = farg (z) + 2�k=k 2 Zg = arg (z) + f2�k=k 2 Zg = arg (z) + 2�Z
Ejemplos
Hallamos los conjuntos-argumento de algunos complejos.
Arg (1 + i) = arg(1 + i) + 2�Z = �=4 + 2�Z
Arg
�p
3� i
�
= arg(
p
3� i) + 2�Z = ��=6 + 2�Z
Forma trigonométrica de un número complejo
Tomemos z 2 C�f0g : De acuerdo con la de�nición de Arg (z) ; tenemos
z = jzj cis (�) ; � 2 Arg (z)
o expresado de otra manera
z = r cis (�) ; r = jzj ; � 2 Arg (z)
Este es un teorema de factorización de un número complejo que ha sido
llamado históricamente forma trigonométrica (o forma polar) de un número
complejo.
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Ejemplos
Hallamos las formas trigonométricas de los complejos 1 + i;
p
3� i:
1 + i = j1 + ij cis (�) ; � 2 Arg (1 + i)
=
p
2 cis (�) ; � 2 �=4 + 2�Z
p
3� i =
���p3� i��� cis (�) ; � 2 Arg �p3� i�
= 2 cis (�) ; � 2 ��=6 + 2�Z
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