3 Derivación de Funciones Complejas

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-Derivación de Funciones Complejas
Derivada de una Función Compleja
Sea f(z) una función compleja y sea z0 un punto interior1 a dom f:
Se dice que f(z) es derivable en z0 si y sólo si
lim
�z!0
f(z0 +�z)� f(z0)
�z
es un número complejo.
Si f(z) es derivable en z0; el número complejo lim
�z!0
f(z0 +�z)� f(z0)
�z
se llama la derivada de f(z) en z0 y se denota por f 0(z0)
f 0(z0) = lim
�z!0
f(z0 +�z)� f(z0)
�z
Si no existe lim
�z!0
f(z0 +�z)� f(z0)
�z
; f(z) no es derivable en z0 y escribi-
mos
@f 0(z0)
Sea f(z) una función compleja. Llamamos derivada de f (z) a la función
compleja de�nida por
f 0 (z) = lim
�z!0
f(z +�z)� f(z)
�z
para cada z 2 dom f donde lim
�z!0
f(z +�z)� f(z)
�z
sea un número complejo.
Continuidad Vs. Derivabilidad
Sea f(z) una función compleja y sea z0 un punto interior a dom f:
f(z) es derivable en z0 ) f(z) es continua en z0
1Sea S � C; un punto z0 2 C es interior a S si y sólo si existe algún disco D (z0) � S:
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Reglas Básicas de Derivación
(1) Si f(z) y g(z) son derivables, entonces
d
dz
[cf(z)] = cf 0(z); (c 2 C)
d
dz
[f(z) + g(z)] = f 0(z) + g0(z)
d
dz
[f(z)g(z)] = f 0(z)g(z) + f(z)g0(z)
d
dz
�
f(z)
g(z)
�
=
f 0(z)g(z)� f(z)g0(z)
[g(z)]2
; si g(z) 6= 0
(2) Sean f(w) y g(z) dos funciones complejas (im g � dom f). Si g(z) es
derivable y f(w) es derivable, entonces
d
dz
ff [g(z)]g = f 0 [g(z)] g0(z)
Derivadas Parciales de una Función Compleja
Sea f(z) = u (x; y)+ iv (x; y) una función compleja expresada en la forma
de Cauchy.
Llamamos derivada parcial de f (z) respecto de x a la función compleja
de�nida por
@f
@x
(z) =
@u
@x
(x; y) + i
@v
@x
(x; y)
Llamamos derivada parcial de f (z) respecto de y a la función compleja
de�nida por
@f
@y
(z) =
@u
@y
(x; y) + i
@v
@y
(x; y)
Ejemplos
Hallamos las derivadas parciales de z2:
z2 = x2 � y2 + i2xy
@z2
@x
= 2x+ 2iy = 2 (x+ iy) = 2z;
@z2
@y
= �2y + 2ix = i2 (x+ iy) = i2z
2
Hallamos las derivadas parciales de ez:
ez = ex cos y + iex sin y
@ez
@x
= ex cos y + iex sin y = ez
@ez
@y
= �ex sin y + iex cos y = i (ex cos y + iex sin y) = iez
Teorema de Cauchy-Riemann
Sea f(z) una función compleja y sea z0 un punto interior a dom f:
f(z) es derivable en z0 ) existen
@f
@x
(z0);
@f
@y
(z0) y
@f
@x
(z0) + i
@f
@y
(z0) = 0
La ecuación
@f
@x
(z0) + i
@f
@y
(z0) = 0 será llamada ecuación de Cauchy-
Riemann porque ella equivale al par de ecuaciones diferenciales histórica-
mente llamadas ecuaciones de Cauchy-Riemann
@f
@x
(z0) + i
@f
@y
(z0) = 0,
0B@
@u
@x
(x0; y0) =
@v
@y
(x0; y0)
@u
@y
(x0; y0) = �
@v
@x
(x0; y0)
1CA
3
No Existencia de la Derivada Compleja
Del contrarrecíproco del teorema de Cauchy-Riemann obtenemos dos
condiciones su�cientes de no-derivabilidad de una función compleja en un
punto interior de su dominio. También, presentamos una condición su�-
ciente de no-derivabilidad de una función compleja en ningún punto de un
subconjunto de puntos interiores de su dominio.
Criterios de no-derivabilidad en un punto
Sea f(z) una función compleja y sea z0 un punto interior a dom f:
(1) Si no existe
@f
@x
(z0) o no existe
@f
@y
(z0); entonces
f(z) no es derivable en z0
(2) Si existen
@f
@x
(z0) y
@f
@y
(z0); pero
@f
@x
(z0) + i
@f
@y
(z0) 6= 0; entonces
f(z) no es derivable en z0
Criterio de no-derivabilidad en un conjunto
Sea f (z) una función compleja y sea U un conjunto de puntos interiores
a dom f:
Si existen
@f
@x
(z) y
@f
@y
(z) en U; pero
@f
@x
(z) + i
@f
@y
(z) 6= 0 en U; entonces
f (z) no es derivable en ningún punto de U
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Existencia de la Derivada Compleja
Condición su�ciente de derivabilidad en un punto
Sea f(z) una función compleja y sea z0 un punto interior a dom f:
Si f (z) es de clase C1 en z0 (ver nota2) y
@f
@x
(z0)+ i
@f
@y
(z0) = 0; entonces
f(z) es derivable en z0
Condición su�ciente de derivabilidad en un conjunto
Sea f(z) una función compleja y sea U un conjunto de puntos interiores
a dom f:
Si f (z) es de clase C1 en U (ver nota3) y @f
@x
(z) + i
@f
@y
(z) = 0 en U;
entonces
f(z) es derivable en U
2f es de clase C1 en z0 si y sólo si
� existen @f
@x
y
@f
@y
en algún disco D (z0) � dom f:
� @f
@x
y
@f
@y
son continuas en z0:
3f es de clase C1 en U si y sólo si
� existen @f
@x
y
@f
@y
en U:
� @f
@x
y
@f
@y
son continuas en U:
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Fórmulas para la Derivada Compleja
Sea f(z) una función compleja y sea z0 un punto interior a dom f:
Si f(z) es derivable en z0; entonces
f 0(z0) =
@f
@x
(z0) = �i
@f
@y
(z0)
Sea f(z) una función compleja y sea U un conjunto de puntos interiores
a dom f:
Si f(z) es derivable en U; entonces
f 0(z) =
@f
@x
(z) = �i@f
@y
(z) en U
Holomorfía de una Función Compleja
Sea f(z) una función compleja y sea z0 un punto interior a dom f:
Se dice que f(z) es holomorfa en z0 si y sólo si f(z) es derivable en algún
disco D (z0) � dom f:
Sea f(z) una función compleja de�nida en un conjunto abierto U � C:
Se dice que f(z) es holomorfa en U si y sólo si f(z) es derivable en U:
Una función compleja que es holomorfa en C; se llama entera.
Derivabilidad Vs. Holomorfía
Sea f(z) una función compleja y sea z0 un punto interior a dom f:
f(z) es holomorfa en z0 ) f(z) es derivable en z0
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