TP3 Derivación de Funciones Complejas [1-7]

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TP3 Derivación de Funciones Complejas [1-7] 
1 Usando la definición de derivada, hallar las derivadas de las funciones 
 𝑓(𝑧) = 𝑧2 − 4𝑖𝑧 + 1 − 3𝑖 𝑔(𝑧) = 𝑧 +
1
𝑧
 
 Hallamos la derivada de 𝑓(𝑧) 
𝑓(𝑧 + ∆𝑧) − 𝑓(𝑧)
∆𝑧
, ∆𝑧 ≠ 0 
=
(𝑧 + ∆𝑧)2 − 4𝑖(𝑧 + ∆𝑧) + 1 − 3𝑖 − (𝑧2 − 4𝑖𝑧 + 1 − 3𝑖)
∆𝑧
=
2𝑧∆𝑧 + (∆𝑧)2 − 4𝑖∆𝑧
∆𝑧
 
 = 2𝑧 − 4𝑖 + ∆𝑧 
𝑓′(𝑧) = lim
Δ𝑧→0
(2𝑧 − 4𝑖 + ∆𝑧) = 2𝑧 − 4𝑖 
2 Usando las reglas de derivación, hallar las derivadas de las funciones 
𝑓(𝑧) = (𝑧6 − 1)(𝑧2 − 𝑧 + 1 − 5𝑖) 𝑔(𝑧) =
𝑖𝑧2 − 2𝑧
3𝑧 + 1 − 𝑖
 
 Calculamos la derivada de 𝑓(𝑧) 
𝑓′(𝑧) = (𝑧6 − 1)′(𝑧2 − 𝑧 + 1 − 5𝑖) + (𝑧6 − 1)(𝑧2 − 𝑧 + 1 − 5𝑖)′ 
 𝑓′(𝑧) = 6𝑧5(𝑧2 − 𝑧 + 1 − 5𝑖) + (𝑧6 − 1)(2𝑧 − 1) 
 𝑓′(𝑧) = 8𝑧7 − 7𝑧6 + 6(1 − 5𝑖)𝑧5 − 2𝑧 + 1 
 
3 Probar que 
𝜕
𝜕𝑥
(
1
𝑧
) = −
1
𝑧2
 
𝜕
𝜕𝑦
(
1
𝑧
) = −
𝑖
𝑧2
 
 Expresamos 
1
𝑧
 en la forma de Cauchy 
1
𝑧
=
𝑧̅
|𝑧|2
=
𝑥 − 𝑖𝑦
𝑥2 + 𝑦2
=
𝑥
𝑥2 + 𝑦2
− 𝑖
𝑦
𝑥2 + 𝑦2
 
 Las derivadas parciales de 
1
𝑧
 son 
 
𝜕
𝜕𝑥
(
1
𝑧
) =
𝜕
𝜕𝑥
(
𝑥
𝑥2+𝑦2
) − 𝑖
𝜕
𝜕𝑥
(
𝑦
𝑥2+𝑦2
) (1) 
 
𝜕
𝜕𝑦
(
1
𝑧
) =
𝜕
𝜕𝑦
(
𝑥
𝑥2+𝑦2
) − 𝑖
𝜕
𝜕𝑦
(
𝑦
𝑥2+𝑦2
) (2) 
 Calculamos las derivadas parciales del lado derecho 
 
𝜕
𝜕𝑥
(
𝑥
𝑥2+𝑦2
) = −
𝑥2−𝑦2
(𝑥2+𝑦2)2
 
𝜕
𝜕𝑥
(
𝑦
𝑥2+𝑦2
) = −
2𝑥𝑦
(𝑥2+𝑦2)2
 (3) 
 
𝜕
𝜕𝑦
(
𝑥
𝑥2+𝑦2
) = −
2𝑥𝑦
(𝑥2+𝑦2)2
 
𝜕
𝜕𝑦
(
𝑦
𝑥2+𝑦2
) =
𝑥2−𝑦2
(𝑥2+𝑦2)2
 (4) 
 Poniendo (3) en (1), se obtiene 
 
𝜕
𝜕𝑥
(
1
𝑧
) = −
𝑥2−𝑦2
(𝑥2+𝑦2)2
+ 𝑖
2𝑥𝑦
(𝑥2+𝑦2)2
= −
𝑥2−𝑦2−𝑖2𝑥𝑦
(𝑥2+𝑦2)2
 
 
𝜕
𝜕𝑥
(
1
𝑧
) = −
(𝑥−𝑖𝑦)2
(𝑥2+𝑦2)2
= −
(�̅�)2
|𝑧|2
= − (
�̅�
|𝑧|
)
2
= − (
1
𝑧
)
2
= −
1
𝑧2
 
 Poniendo (4) en (2), y trabajando de forma análoga, el lector puede 
obtener 
 
𝜕
𝜕𝑥
(
1
𝑧
) = −
𝑖
𝑧2
 
 
4 Probar que 𝑓(𝑧) = 𝑖𝑧³ y 𝑔(𝑧) = 3𝑧² + 5𝑧 − 6𝑖 satisfacen la ecuación de 
Cauchy-Riemann en todo el plano complejo. 
 Probamos que 𝑓(𝑧) = 𝑖𝑧³ satisface la ecuación de Cauchy-Riemann en ℂ 
𝑓(𝑧) = 𝑖𝑧3 = 𝑖(𝑥3 − 3𝑥𝑦2 + 𝑖(3𝑥2𝑦 − 𝑦3)) 
 Calculamos las derivadas parciales 
𝜕
𝜕𝑥
𝑓(𝑧) = 𝑖3(𝑥2 − 𝑦2 + 𝑖2𝑥𝑦) = 𝑖3𝑧2 
𝜕
𝜕𝑦
𝑓(𝑧) = 𝑖(−6𝑥𝑦 + 𝑖(3𝑥2 − 3𝑦2)) = 𝑖(𝑖3(𝑥2 − 𝑦2 + 𝑖2𝑥𝑦))
= 𝑖(𝑖3𝑧2) = −3𝑧2 
 Luego 
𝜕
𝜕𝑥
𝑓(𝑧) + 𝑖
𝜕
𝜕𝑦
𝑓(𝑧) = 3𝑖𝑧2 + 𝑖(−3𝑧2) = 0, ∀𝑧 ∈ ℂ 
5 Probar que 𝑅𝑒(𝑧), 𝐼𝑚(𝑧) y 𝑧̅ no satisfacen la ecuación de Cauchy-
Riemann en ningún punto del plano complejo. 
 Para 𝑅𝑒(𝑧) = 𝑥, 
𝜕
𝜕𝑥
𝑅𝑒(𝑧) + 𝑖
𝜕
𝜕𝑦
𝑅𝑒(𝑧) = 1 + 𝑖0 = 1 ≠ 0, ∀𝑧 ∈ ℂ 
 Para 𝐼𝑚(𝑧) = 𝑦 
𝜕
𝜕𝑥
𝐼𝑚(𝑧) + 𝑖
𝜕
𝜕𝑦
𝐼𝑚(𝑧) = 0 + 𝑖1 = 𝑖 ≠ 0, ∀𝑧 ∈ ℂ 
 Para 𝑧̅ = 𝑥 − 𝑖𝑦 
𝜕
𝜕𝑥
𝑧̅ + 𝑖
𝜕
𝜕𝑦
𝑧̅ = 1 + 𝑖(−𝑖) = 1 + 1 = 2 ≠ 0, ∀𝑧 ∈ ℂ 
 Por lo tanto, 𝑅𝑒(𝑧), 𝐼𝑚(𝑧) y 𝑧̅ no satisfacen la ecuación de Cauchy-
Riemann en ningún punto del plano complejo. 
6 Probar que 𝑅𝑒(𝑧), 𝐼𝑚(𝑧) y 𝑧̅ no son derivables en ningún punto del 
plano complejo. 
 Usamos el criterio de no-derivabilidad en un conjunto. 
 Las derivadas parciales de 𝑅𝑒(𝑧) están definidas en todo el plano 
complejo 
𝜕
𝜕𝑥
𝑅𝑒(𝑧) = 1,
𝜕
𝜕𝑦
𝑅𝑒(𝑧) = 0, ∀𝑧 ∈ ℂ 
pero, 𝑅𝑒(𝑧) no satisface la ecuación de Cauchy-Riemann 
𝜕
𝜕𝑥
𝑅𝑒(𝑧) + 𝑖
𝜕
𝜕𝑦
𝑅𝑒(𝑧) = 1 + 𝑖0 ≠ 0, ∀𝑧 ∈ ℂ 
 Luego, 𝑅𝑒(𝑧) no es derivable en ningún punto de ℂ. 
 Con las mismas ideas se demuestra que 𝐼𝑚(𝑧) y 𝑧̅ no son derivables en 
ningún punto de ℂ. 
 
7 Sea 𝑓(𝑧) = |𝑧|², probar que (a) 𝑓(𝑧) es derivable en 0 (b) 𝑓(𝑧) no es 
derivable en ningún otro punto del plano complejo. 
 Para probar (a) usamos la cond. suf. de derivabilidad en un punto 
 Tenemos que 𝑓(𝑧) = |𝑧|2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑖0. Las derivadas parciales son 
𝜕
𝜕𝑥
𝑓(𝑧) = 2𝑥 
𝜕
𝜕𝑦
𝑓(𝑧) = 2𝑦 
 Ambas están definidas en algún disco 𝐷(0) y son continuas en 0. Luego 
𝑓(𝑧) es de clase ∁1 en 0. 
 Además 𝑓(𝑧) satisface la ecuación de Cauchy-Riemann en 0. 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(0) + 𝑖
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(0) = 0 + 𝑖0 = 0 
 Luego, 𝑓(𝑧) es derivable en 0. 
 Para probar (b) usamos el criterio de no-derivabilidad en un conjunto. 
 Las derivadas parciales de 𝑓(𝑧) están definidas en ℂ 
𝜕
𝜕𝑥
𝑓(𝑧) = 2𝑥 
𝜕
𝜕𝑦
𝑓(𝑧) = 2𝑦 
pero, 𝑓(𝑧) no satisface la ecuación de Cauchy-Riemann en ℂ − {0} 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑧) + 𝑖
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑧) = 2𝑥 + 𝑖2𝑦 = 2𝑧 ≠ 0, ∀𝑧 ∈ ℂ − {0} 
Luego, 𝑓(𝑧) no es derivable en ningún punto de ℂ − {0}.