EDP - Ecuación de calor y onda

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MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 
Ing. Adriana Apaza 
Ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden 
𝐴
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 𝐵
𝜕2𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦
+ 𝐶
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+ 𝐷
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝐸
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝐹𝑢 = 0 
𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 𝑦 𝐹 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 
Flujo unidimensional de calor 
Determinaremos la temperatura u en cada instante de tiempo 
t en una barra larga y delgada, o un alambre de sección 
recta constante y de material homogéneo que se encuentra 
orientado a lo largo del eje x. La barra está perfectamente 
aislada lateralmente de modo que el calor fluye sólo en la 
dirección x . 
Para obtener la ecuación que rige este fenómeno se 
consideran los siguientes hechos experimentales: 
• El calor fluye en la dirección de las temperaturas decrecientes 
(desde las regiones más calientes a las más frías ) 
• La cantidad de calor por unidad de tiempo que atraviesa una 
superficie es proporcional al área de dicha superficie y al 
gradiente de temperaturas (  u /  x ) normal a dicha 
superficie . La constante de proporcionalidad es k , el 
coeficiente de conductividad térmica del material. 
 
• La cantidad de calor que recibe o cede un cuerpo cuando 
cambia su temperatura es proporcional a su masa y a la 
variación de temperatura. La constante de proporcionalidad 
se llama calor específico c . 
entonces la ecuación que describe el fenómeno es 
 
1
 , 
),(),(
22
2
2


g
c
at
txu
x
txu
a 





c : calor específico ,  : densidad del material , 
g : aceleración de la gravedad , 𝛋 : conductividad térmica 
del material. 
 
Planteo del problema de contorno: 
El objetivo que se persigue no es únicamente la 
resolución de una ecuación en derivadas 
parciales, sino que, en la mayoría de los casos, se 
está interesado en la determinación de una 
solución particular que cumpla ciertas condiciones 
adicionales que surgen del problema. 
 
• Condiciones iniciales (asociadas a variables 
temporales). 
• Condiciones de contorno o de frontera 
(relativas a variables espaciales). 
Condiciones de frontera 
𝐶𝑎𝑠𝑜 𝐴: 𝑢 0, 𝑡 = 0 𝑢 𝐿, 𝑡 = 0 
𝐶𝑎𝑠𝑜 𝐵: 𝑢 0, 𝑡 = 0 𝑢 𝐿, 𝑡 = 𝑢𝐿 
 𝑢 0, 𝑡 = 𝑢0 𝑢 𝐿, 𝑡 = 0 
 𝑢 0, 𝑡 = 𝑢0 𝑢 𝐿, 𝑡 = 𝑢𝐿 
𝐶𝑎𝑠𝑜 𝐶: 𝑢𝑥 0, 𝑡 = 0 𝑢𝑥 𝐿, 𝑡 = 0 
𝐶𝑎𝑠𝑜 𝐷: 𝑢 0, 𝑡 = 𝑢0 𝑢𝑥 𝐿, 𝑡 = 0 
 𝑢𝑥 0, 𝑡 = 0 𝑢 𝐿, 𝑡 = 0 
Condición inicial 
𝑢 𝑥, 0 = 𝑓(𝑥) 
Obtener la función u / u = u ( x ,t ) de distribución de 
temperatura en todo instante para una barra cilíndrica de 
longitud L, si: 
• la barra está aislada lateralmente 
• en el sólido no se genera calor . 
• la distribución inicial de temperatura en el interior de la 
barra es función de la distancia x al extremo de la 
barra y x  ( 0 , L ) . 
• en el instante t = 0 , la temperatura de los extremos 
( x = 0 y x = L ) se lleva a cero y se conserva en ese 
valor . 
Caso A: 
 
),(
 
),(
2
2
2
x
txu
a
t
txu




 0 < x < L, t > 0, 
𝑢 0, 𝑡 = 0 𝑢 𝐿, 𝑡 = 0 t > 0 
𝑢 𝑥, 0 = 𝑓(𝑥) 
El método de separación de variables se basa en el 
artificio matemático que reduce un problema nuevo a otro 
ya conocido. En este caso se transforma la ecuación dada 
en derivadas parciales en ecuaciones diferenciales 
ordinarias. 
Para resolver este problema por el método de separación de 
variables, se empieza por suponer que la ecuación diferencial 
tiene una solución de la forma 
𝑢 ( 𝑥 , 𝑡 ) = 𝑋 ( 𝑥 ) 𝑇 ( 𝑡 ) 
𝑢𝑡 = 𝑋 𝑥 T(t) y 𝑢𝑥𝑥 = X ´´( x ) T ( t ) 
X x T(t) = a2X(x)T(t) ⇒ 
X(x)
X x
=
T(t)
𝑎2T(t)
=κ 
X ´´( x ) − κ X ( x ) = 0 
T´ (t) − 𝑎2 κT ( t ) = 0 
En consecuencia, el problema de resolver la ecuación en 
derivadas parciales se ha reducido al problema de resolver 
las dos ecuaciones diferenciales ordinarias anteriores. 
Si consideramos ahora las condiciones de contorno y, 
teniendo en cuenta que u (x, t) = X (x) T (t) tenemos que 
u (0,t) =0 ⇒ X (0) T(t)= 0 ⇒ X (0)=0 
u (L,t)=0 ⇒ X (L) T (t)= 0  X (L)=0 
Ignorando la solución trivial, se combinan las condiciones de 
contorno con la ecuación diferencial en X y se obtiene el 
problema 
X ´´ ( x ) − κ X ( x ) = 0 
X(0)=X(L)=0 
Nótese que la función X (x) ≡ 0 es una solución para todo 𝛋 
y, dependiendo de la elección de 𝛋 ésta puede ser la única 
solución del problema. 
Si se busca una solución no trivial u(x,t) = X(x)T (t), 
primeramente se deben determinar aquellos valores de 𝛋 
para los cuales el problema con condiciones iniciales y de 
contorno tiene una solución no trivial. Dichos valores 
especiales de 𝛋 se denominan valores propios, y las 
soluciones no triviales correspondientes son las funciones 
propias. 
 si  = 0: 
 X ( 0 ) = b = 0 
X(x)=0  X(x)=a  X(x) = a x + b  
 X (L) = a L = 0 
Resulta a = 0 y X ( x ) = 0 ; entonces u ( x , t ) = 0 
que no brinda solución al problema. 
 si  =  2 (  > 0 ), resulta X  -  2 X = 0 
Solución general X ( x ) = A e  x + B e -  x 
 
X ( 0 ) = A + B = 0  A = - B 
X ( L ) = A ( e  L - e -  L ) = 2 A senh  L = 0  A = 0 pues 
 L  0 
 ⇒ X ( x ) =0 solución trivial 
 si  = −  2 (  < 0 ) , resulta X  +  2 X = 0 
 Solución general X ( x ) = A cos  x + B sen  x 
 
 X ( 0 ) = A = 0 
 X ( L ) = B sen  L = 0  sen  L = 0   L = n   
  = n  /  = −λ2 =
𝑛𝜋
𝐿
2
 𝑛 ∈ 𝑁 
 
X ( x ) = X n ( x ) = B n sen (n  x / L ) 
obtuvimos como solución n funciones a las que se conoce 
como autofunciones. A los valores -  2 para los que existen 
las soluciones se los llama autovalores . En este caso los 
autovalores son: -  2 = - ( n 2  2 / L2 ). 
 
Una vez determinados los valores de 𝛋 consideramos las 
segunda ecuación 
T ´ (t) + 
𝑎𝑛𝜋
𝐿
2
T ( t ) = 0 
T ( t ) = T n ( t ) = D n 𝑒
−
𝑎𝑛𝜋
𝐿
2
𝑡
 
𝑢𝑛 𝑥, 𝑡 = 𝑋𝑛 𝑥 𝑇𝑛 𝑡 = 𝐶𝑛𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿
𝑥 𝑒
−
𝑎𝑛𝜋
𝐿
2
𝑡
 
combinando las dos soluciones anteriores obtenemos, para 
cada n = 1, 2, . . . 
⇒ 𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝐶𝑛𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿
𝑥 𝑒
−
𝑎𝑛𝜋
𝐿
2
𝑡
∞
𝑛=1
 
Nos falta únicamente determinar los coeficientes constantes 𝐶𝑛 
utilizando la condición inicial u (x, 0) = f (x) . Esto da lugar a 
𝑢 𝑥, 0 = 𝐶𝑛𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿
𝑥 = 𝑓(𝑥)
∞
𝑛=1
 
donde C n es un coeficiente de una serie de Fourier de 
senos 
𝐶𝑛 =
2
𝐿
 𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿
𝑥𝑑𝑥
𝐿
0
 
La solución resulta 
⇒ 𝑢 𝑥, 𝑡 = 
2
𝐿
 𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿
𝑥𝑑𝑥
𝐿
0
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿
𝑥 𝑒
−
𝑎𝑛𝜋
𝐿
2
𝑡
∞
𝑛=1
 
Condiciones de frontera no homogéneas – Caso B 
𝑢 0, 𝑡 = 𝑢0 𝑢 𝐿, 𝑡 = 𝑢𝐿 
La solución u ( x , t ) se propone como: 
 u ( x , t ) = U ( x , t ) + φ ( x ) 
 
Derivamos y resulta : 
u t ( x , t ) = U t ( x , t ) 
u x x ( x , t ) = U x x ( x , t ) +   ( x ) 
Obtenemos la ecuación de calor 
U t ( x , t ) = a 
2 U x x ( x , t ) + a 
2   ( x ) 
Esta ecuación será homogénea sii   ( x ) = 0 , es decir 
si  ( x ) = a x + b 
Entonces como u ( 0 , t ) = U ( 0 , t ) +  ( 0 ) = u0 
 u ( L , t ) = U ( L , t ) +  ( L ) = uL 
U ( 0 , t ) = u0 -  ( 0 ) = 0 ⇒ u0 =  ( 0 ) 
U ( L , t ) = uL -  ( L ) = 0 ⇒ uL =  ( L ) 
Resulta 
 0 = b = u0 
  ( L ) = a L + u0 = uL  a = 
𝑢𝐿 − 𝑢0𝐿
 
 ( x ) = 
uL − u0
L
 x +u0 
Resolvemos entonces el siguiente problema de contorno : 
Ecuación diferencial : 𝑈 𝑡 = 𝑎
2 𝑈 𝑥 𝑥 
 
Condiciones de frontera : 𝑈(0, 𝑡) = 0 , 𝑈(𝐿, 𝑡) = 0 
 
Condición inicial : 𝑈 𝑥, 0 = 𝑢 𝑥 , 0 +
uL−u0
L
𝑥 + u0 
Supongamos que tenemos una cuerda homogénea tensa y 
de longitud L sujeta por sus dos extremos, como en una 
guitarra o un violín. Si la apartamos de su posición de 
equilibrio y la soltamos, la cuerda comenzará a vibrar y nos 
preguntamos cómo es esta vibración, cuál es su forma en 
cada instante temporal. Si hacemos algunas hipótesis 
simplificadoras 
 El peso de la cuerda por unidad de longitud es una 
constante y sólo actúan fuerzas elásticas e inerciales 
inherentes al sistema (fuerzas gravitatorias, rozamiento, 
etc) 
 El movimiento en un solo plano perpendicular a la posición 
de equilibrio de la cuerda. 
ECUACIÓN DE ONDA 
 Los desplazamientos suficientemente pequeños como 
para despreciar el alargamiento de la cuerda durante el 
movimiento. 
 La cuerda es perfectamente flexible sólo transmite la fuerza 
en sentido longitudinal. 
 La pendiente de la curva que adopta la cuerda al 
deformarse es , en todos los puntos y en todo momento 
tan pequeña que se puede sustituir sen  por tg , siendo 
 el ángulo que forma la tangente a la curva con la 
posición de equilibrio. 
entonces el problema viene modelado por lo que se conoce 
como la ecuación de ondas unidimensional, que es 
𝜕2𝑦
𝜕𝑡2
= 𝑐2
𝜕2𝑦
𝜕𝑡2
 𝑐2=
𝑇
𝜌
 T: tensión 
 ρ : densidad de la cuerda 
 
 
Planteo del problema de contorno: 
 
Obtener la expresión de la función y(x,t), posición de una 
cuerda tensionada de longitud L en todo instante, si: 
 
 la cuerda está fija en los extremos 
 
 la posición inicial de la cuerda está dada por la 
ecuación y = f(x) ( 0 < x < L ) 
 
 se pone a vibrar dejándola libre desde la posición 
inicial sin velocidad inicial . 
 
Resultan las siguientes ecuaciones que describen el 
problema de contorno : 
𝜕2𝑦
𝜕𝑡2
= 𝑐2
𝜕2𝑦
𝜕𝑥2
 0 ≤ 𝑥 ≤ L, t ≥ 0 
La ecuación diferencial que representa el problema 
(Modelo matemático ) es la ecuación de onda: 
Condiciones de Frontera: 
y ( 0 , t ) = 0 y ( L , t ) = 0 
Condiciónes iniciales: 
y ( x , 0 ) = f ( x ) y t ( x , 0 ) = 0 
Resolución del problema de contorno: 
y ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) 
 y t t = X ( x ) T  ( t ) y y x x = X  ( x ) T ( t ) 
X (x) T ´´(t) = c 2 X ´´(x) T(t) ⇒ 
X´´(𝑥)
𝑋(𝑥)
=
𝑇´´(𝑡)
𝑐2𝑇(𝑡)
= κ 
Obtenemos entonces las dos ecuaciones diferenciales 
ordinarias homogéneas : 
X´´ ( x ) − 𝛋 X ( x ) = 0 
T ´´ ( t ) − c 2
 
 T ( t ) = 0 
Se determinan las soluciones de estas ecuaciones 
homogéneas que satisfacen las condiciones de contorno 
y (0, t) = 0  X (0) T (t) = 0  X (0) = 0 
y (L,t) = 0  X (L) T (t) = 0  X (L) = 0 
y t (x , 0) = 0  X (x) T (0) = 0  T  (0) = 0 
𝑋 ´´ + λ2 𝑋 = 0 Vamos a resolver la ecuación: 
La solución general es: X ( x ) = A cos  x + B sen  x 
Aplicando las condiciones de contorno 
X ( 0 ) = A = 0 
X (L) = B sen  L = 0 ⇒  = n  / L 
La solución obtenida es X ( x ) = X n ( x ) = B n sen (n  x / L ) 
Obtuvimos como solución n funciones o 
autofunciones para los autovalores -  2= - ( n 2  2 / L2 ) 
Para la ecuación 
𝑇 ´´(𝑡) +
𝑎𝑛𝜋
𝐿
2
𝑇(𝑡) = 0 
𝑇 (𝑡) = 𝐷 cos 
𝑎𝑛𝜋 
𝐿
𝑡 + 𝐸 𝑠𝑒𝑛
𝑎𝑛𝜋 
𝐿
𝑡 
Como la condición inicial homogénea es T(0)=0, derivamos T: 
T ´(t)= − D
𝑎𝑛𝜋
𝐿
 sen
𝑎𝑛𝜋
𝐿
𝑡 + E
𝑎𝑛𝜋
𝐿
cos
𝑎𝑛𝜋
𝐿
𝑡 
resulta 𝑇 0 = 𝐸
𝑎𝑛𝜋
𝐿
= 0, entonces E = 0 y la función T es: 
T n ( t ) = D n cos ( an π t / L ) 
y n (x,t) = Cn sen
𝑛𝜋
𝐿
𝑥 cos
𝑎𝑛𝜋
𝐿
𝑡 
La solución general será una combinación lineal de éstas: 
y (x,t) = Cn sen
𝑛𝜋
𝐿
𝑥 cos
𝑎𝑛𝜋
𝐿
𝑡
∞
𝑛=1
 
Determinamos Cn
 de modo que satisfaga la condición no 
homogénea (condición inicial) 
y (x,0) = Cn sen
𝑛𝜋
𝐿
𝑥
∞
𝑛=1
 
donde Cn es un coeficiente de una serie de Fourier de 
senos 
𝐶𝑛 =
2
𝐿
 𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿
𝑥𝑑𝑥
𝐿
0
 
La solución resulta : 
u (x,t) = 
2
𝐿
 𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿
𝑥𝑑𝑥
𝐿
0
∞
𝑛=1
 sen
𝑛𝜋
𝐿
𝑥 cos
𝑎𝑛𝜋
𝐿
𝑡 
CONDICIONES DE FRONTERA 
Caso A: 𝑦 0, 𝑡 = 0 𝑦 𝐿, 𝑡 = 0 
Caso B: 𝑦𝑥 0, 𝑡 = 0 𝑦𝑥 𝐿, 𝑡 = 0 
Caso C: 𝑦𝑥 0, 𝑡 = 0 𝑦 𝐿, 𝑡 = 0 
CONDICIONES INICIALES 
Caso A: 
 𝑦 𝑥, 0 = 𝑓 𝑥 
𝑦𝑡 𝑥, 0 = 0 
Caso B: 
𝑦 𝑥, 0 = 0 
 𝑦𝑡 𝑥, 0 = 𝑔(𝑥) 
Caso C: 
𝑦 𝑥, 0 = 𝑓(𝑥) 
 𝑦𝑡 𝑥, 0 = 𝑔(𝑥)