Metodos 2

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UNIDAD 5: INTEGRACIÓN Y DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA.
Integración mediante las fórmulas de Newton Cotes
Integración de Simpson.
Integración múltiple mediante métodos numéricos.
Diferenciación numérica.
Aplicación al campo de la ingeniería. 
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
En el método de integración mediante cuadratura Gaussiana se integra exactamente polinomios de 
grado < 2n + 2 
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: NEWTON COTES
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: FÓRMULAS NEWTON COTES
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: FÓRMULAS NEWTON COTES
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: FÓRMULAS NEWTON COTES
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: FÓRMULAS NEWTON COTES
Ifinal = I + Error fórmula trapezoidal
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: FÓRMULAS NEWTON COTES
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: FÓRMULAS NEWTON COTES
Ejemplo: Integrar la función f(x) desde a=1 hasta b=6
𝑓 𝑥 = 𝑥5 − 3𝑥4 + 5𝑥3 + 7𝑥2 − 9𝑥 + 2
1. Evaluar la integral definida: Método analítico  Iexact =
2. Calcular:
3. Determinar la 2da derivada media:
4. Calcular el error en la fórmula trapezoidal:
5. Calcular la Ifinal: Ifinal = I + Error fórmula trapezoidal
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: FÓRMULAS NEWTON COTES
Ejercicio: Integrar la función f(x) desde a=0 hasta b=0,8
𝑓 𝑥 = 400𝑥5 − 900𝑥4 + 675𝑥3 − 200𝑥2 + 25𝑥 + 0.2
-
TRABAJO EN 
EQUIPO 1
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: FÓRMULAS NEWTON COTES
-
Regla del trapecio de segmentos múltiples
Una manera de mejorar la exactitud de la fórmula trapezoidal es la
de dividir el intervalo de integración de a hasta b en un conjunto de
segmentos y aplicar el método a cada uno de ellos. Luego se suman
las áreas de los segmentos individuales y se obtiene la integral
sobre el intervalo completo. A la fórmula resultante se la conoce
como fórmula de integración de segmentos múltiples o integración
compuesta.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: FÓRMULAS NEWTON COTES
-
Regla del trapecio de segmentos múltiples
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: FÓRMULAS NEWTON COTES
Regla del trapecio de segmentos múltiples
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método Simpson
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método Simpson
Regla de Simpson de 1/3
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método Simpson
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método Simpson
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método Simpson
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método Simpson
Regla de Simpson de 3/8
Consiste en reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulados por 
un polinomio de tercer orden, es decir:
El polinomio 𝑓3(𝑥) de tercer orden, se representa mediante un polinomio de Lagrange 
de 3er Orden: 
𝐼 = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈ න
𝑎
𝑏
𝑓3(𝑥)𝑑𝑥
𝑃3(𝑥)
Después de integrar y reordenar términos, se obtiene la regla de Simpson de 3/8.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método Simpson
Regla de Simpson de 3/8
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método Simpson
Regla de Simpson de 3/8
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método Simpson
Regla de Simpson de 3/8
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método Simpson
Regla de Simpson de 3/8
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método Simpson
Regla de Simpson de 3/8
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método Simpson
Regla de Simpson de 3/8
Ejercicio: 
EJERCICIO 
SOBRE 1 
PUNTO 
PARCIAL 3
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método de Romberg
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método de Romberg
Solo funciona si se conoce la función (ecuación) que se desea integrar. Requiere del
uso de la regla trapezoidal múltiple. Este método usa dos estimaciones de una
integral para calcular una tercera más exacta.
El valor de la integral exacta es la suma del valor estimado con un paso h más el
error generado:
Se parte del hecho de que la integración de Romberg requiere de dos estimaciones:
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método de Romberg
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método de Romberg
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método de Romberg
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método de Romberg
Dos estimaciones mejoradas, pueden a la vez, combinarse para obtener
todavía una mejor estimación mediante la siguiente ecuación:
De manera similar, dos resultados o estimaciones con esta ecuación, se
pueden usar para calcular una mejor estimación con la fórmula: :
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método de Romberg
El algoritmo que implementa la extrapolación de Richardson en su forma mas
eficiente, se llama algoritmo de Romberg y expresa las formulaciones
anteriores en una sola ecuación:
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método de Romberg
Se puede hacer un diagrama para entender mejor lo anterior:
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método de Romberg
Como todo proceso iterativo, éste se detiene cuando se obtiene una aproximación
suficientemente buena. En este caso se pide que:
donde, es la cota suficiente
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método de Romberg
Ejemplo 1: Usar Romberg para 3 aproximaciones de la integral:
usando segmentos de longitud 1, ½, ¼.
1) Calculamos las integrales del nivel 1, usando la regla del trapecio para las
longitudes de segmento indicadas:
න
0
1
𝑒𝑥
2
𝑑𝑥
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método de Romberg
2) Ahora pasamos al segundo nivel de aproximación donde usaremos la fórmula que se dedujo
anteriormente:
donde : es la integral menos exacta. (la que usa menos subintervalos)
es la más exacta (la que usa el doble de subintervalos).
En un diagrama vemos lo siguiente:
I(h1) = 
I(h2) = 
I(h3) = 
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método de Romberg
3) Para el siguiente nivel (3), usamos:
es la integral menos exacta.
es la integral más exacta.
Así, podemos concluir que el valor de la aproximación, obtenido con el método de Romberg en el
ejemplo 1, es:
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método de Romberg
Ejemplo 2: Aplicar el algoritmo de integración de Romberg a la integral
tomando = 0.01%
න
1
3
𝑒𝑥
𝑥
𝑑𝑥 En este caso no sabemos exactamente cuantas
aproximaciones debemos hacer con la regla del trapecio. Así
que para comenzar hacemos los cálculos correspondientes a
uno, dos, cuatro y ocho subintervalos:
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método de Romberg
Ejemplo 2: Aplicar el algoritmo de integración de Romberg a la integral
tomando = 0.01%
න
1
3
𝑒𝑥
𝑥
𝑑𝑥
Haciendo los cálculos de los errores, nos damos cuenta que efectivamente la aproximación se
obtiene hasta el nivel 4, donde:
INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Método de Romberg
Ejercicio: Usar el algoritmo de Romberg para aproximar:
hasta el nivel 4, usando segmentos de longitud 1, ½, ¼, 1/8
න
1
2
𝑒𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥
INTEGRACIÓN MÚLTIPLE MEDIANTE MÉTODOS NUMÉRICOS
INTEGRACIÓN MÚLTIPLE CON MÉTODOS NUMÉRICOS
Los métodos numéricos estudiados pueden usarse también para resolver integrales múltiples.
EJEMPLO: Resolver usando Newton Cotes:
න
−1
2
න
0
3
න
1
4
𝑥3 − 3𝑦𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
Usando el método analítico:
INTEGRACIÓN MÚLTIPLE CON MÉTODOS NUMÉRICOS
EJERCICIO: Resolver usando Newton Cotes:
Usando el método analítico:
Diferenciación numérica
Introducción
“El cálculo es la matemática del cambio. Los ingenieros tratan frecuentemente
con sistemas y procesos que cambian, el cálculo es una herramienta esencial
es esta profesión. En la esencia del cálculo existen dos conceptos matemáticos
relacionados: la diferenciación y la integración” (Chapra, S. y Canale, R. 2015).
• Según una definición del diccionario, diferenciar significa marcar por
diferencias; distinguir, percibir la diferencia en o entre”. En las matemáticas, la
derivada es utilizada para la diferenciación, ya que representa la razón de
cambio de una variable dependiente con respecto a una independiente.
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓 𝑥𝑖+∆𝑥 −𝑓 𝑥𝑖
∆𝑥
Donde: 𝑦 y 𝑓 𝑥 son representaciones alternativas de la variable dependiente y
𝑥 es la variable independiente.
Introducción
• Si se hace que ∆𝑥 se aproxime a cero, entonces el cociente de las diferencias
se convierte en una derivada:
𝜕𝑦
𝜕𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥𝑖 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥𝑖
∆𝑥
Donde:
𝜕𝑦
𝜕𝑥
que también es denotada como 𝑦′ o 𝑓′ 𝑥𝑖 es la primera derivada
de 𝑦 con respecto a 𝑥 evaluada en 𝑥𝑖 . En la figura 1 se observa que la
derivada evaluada es la pendiente de la recta tangente a la curva en
𝑥𝑖 .
Introducción
𝑥
𝑦
𝑥𝑖 𝑥𝑖 + ∆𝑥
𝑓(𝑥𝑖)
𝑓(𝑥𝑖 + ∆𝑥)
∆𝑦
∆𝑥
𝑥
𝑦
𝑥𝑖𝑓(𝑥𝑖)
𝑓(𝑥𝑖 + ∆𝑥)
∆𝑦
∆𝑥
𝑥𝑖 + ∆𝑥
𝑥
𝑦
𝑥𝑖
𝑓′(𝑥𝑖)
Figura 1. Definición gráfica de una derivada: Conforme ∆𝑥 se aproxima a cero, la aproximación por diferencia se va convirtiendo en derivada. 
Introducción
Diferenciación numérica
El problema de la derivación numérica consiste en la evaluación de
la derivada de la función en un punto, cuando únicamente conocemos
los valores de la función en una colección de puntos x0, x1,... xn.
Aunque, en apariencia se trata de un problema similar al de la
integración numérica; de hecho la derivación es más complicada ya que,
en la integración los errores tienden a cancelarse, y, como vimos, no
necesitamos que la aproximación describa con fidelidad la función
localmente.
Sin embargo, la derivada es una propiedad esencialmente local, por lo
cuál deberemos aproximar la función lo más fielmente posible en el
entorno inmediato del punto en el que la queramos calcular.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-2 0 2 4 6 8 10 12
Diferenciación numérica
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-2 0 2 4 6 8 10 12
Diferenciación numérica
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-2 0 2 4 6 8 10 12
a b
f(x)
pn(x)
f (x)
a
b
 dx  pn (x) dx
a
b

x0
df (x)
dx x x0

dpn (x)
dx x x 0
Diferenciación numérica
Diferenciación numérica
Reescribiendo, la derivada de una función f en x0, esta definido de la siguiente 
manera: 
Para valores pequeños de h, podemos aproximar la derivada de f en x0 de la 
siguiente manera: 
Notaremos la aproximación a la derivada de una función f como f’.
Esta fórmula aunque sencilla no tiene un comportamiento estable, ya que
para funciones lineales puede llegar a ser exacta, no siendo así para funciones
más generales, pero es un buen punto de partida para el cálculo de la
derivada de una función, y en algunos casos es la única que se tiene.
(1)
Diferenciación numérica
Para estimar el valor del error asociado a la ecuación (1), nos valemos del polinomio de 
Taylor de primer grado cuya estructura es la siguiente: 
(2)
Si se toma x = x0 + h ,entonces h = x − x0 y se reemplaza en el polinomio (2), se tiene 
entonces que: 
Despejando f’(x0), se obtiene:
Donde O = f ('' ξ )/2 , es el error de truncamiento. 
(3)
Diferenciación numérica
Si h > 0, a la fórmula (3) se
le denomina la primera
diferencia finita hacia
delante o diferencia
progresiva.
También podemos obtener
la diferencia finita hacia
atrás o diferencia regresiva
si h < 0
Diferenciación numérica
Ahora bien, si sumamos las 2 ecuaciones anteriores, obtendremos la
diferencia finita centrada de la siguiente manera:
Podemos observar que el error de esta ecuación es del orden h2, a diferencia
de las 2 ecuaciones anteriores que tienen un error del orden h, es decir, esta
ecuación converge rápidamente a cero, pero para ello se debe contar con 3
valores de f(x) a diferencia de las anteriores que solo requieren de dos puntos
de la función f(x).
Diferenciación numérica
diferencia finita hacia delante diferencia finita hacia atrás diferencia finita centrada 
Diferenciación numérica
De manera análoga a la interpolación polinomial, el uso de mas puntos en la
evaluación de la derivada producirá mayor exactitud; aunque esto implica
mayor cantidad de evaluaciones funcionales y aumento de error de
redondeo. Entre las fórmulas mas comunes están la de 3 puntos y la de 5
puntos. A continuación se mostrará la deducción de la fórmula de tres
puntos a partir del polinomio de Taylor de segundo grado.
Diferenciación numérica
Se sabe que: 
Despejando f’(x0) se tiene:
Como se quiere determinar la fórmula de los tres puntos, se toma x0 :
y usando la ecuación (4), x = x1
(4)
Diferenciación numérica
(5)
Para determinar f’’(x0) en términos de x0, x1 y x2, se realiza los polinomios de 
Taylor de segundo grado para x1 = x0 +h y para x2 = x0+2h
multiplicando a la primera por –2 y sumándoselo a la segunda se tiene: 
Despejando f’’(x0):
Diferenciación numérica
(6)
Reemplazando en la ec 5, se obtiene:
La ecuación (6) es conocida como la fórmula de los tres puntos progresiva. De
manera similar es posible desarrollar las fórmulas de los tres puntos regresivas y
centradas, así como las de los cinco puntos y derivadas de orden superior.
Las tablas a continuación resumen las fórmulas para aproximación de las
derivadas .
Diferenciación numérica
Tipo/grado 
de error
Diferenciación numérica
Tipo/grado 
de error
Diferenciación numérica
Tipo/grado 
de error
Diferenciación numérica
Ejemplo:
Aproximar la primera derivada de la función: 
con todas las fórmulas que se encuentran en las tablas para un x0 = 1.1 
con un tamaño de paso h = 0.1. Use el hecho que f’(1.1) = 18.050 para 
determinar el error absoluto y relativo producido por cada fórmula. 
Diferenciación numérica
USANDO MATLAB:
>> x=0.8:0.1:1.3; 
>> y=exp(2*x); 
>> d=der2p(x,y) 
Encuentre la derivada de la 
función:
desde x = 0.8 hasta x = 1.3 con un 
tamaño de paso h = 0.1
Solución:
1) Calcular las tres primeras derivadas de la función sen(x), en x = 1, para valores de h de 0.1, 0.01 y 0.001.
2) Calcular las dos primeras derivadas de la siguiente función en los puntos 0.25, 0.5, 0.75 y 1.
  52 ][ln)( arcsenxxy 
Diferenciación numérica
EJERCICIOS:
Integración y Diferenciación numérica
Aplicación al campo de la ingeniería 
Aplicación al campo de la ingeniería: Integración 
Se quiere determinar la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura
de 5 Kg de aluminio desde 298°C hasta 660°C. La capacidad calorífica del
aluminio en función de la temperatura se da en la tabal anexa y el calor
necesario H se calcula por H =mc T.
C(J/kg°k) T°K
896 298
890 425
883 552
821 679
750 806
660 933
Aplicación al campo de la ingeniería: Derivación 
Distancia
(m/s)
Tiempo 
(s)
0 0
225 3
283 5
623 8
742 10
993 13