INTEGRALES INDEFINIDAS

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M. Arias 
 
 
INTEGRALES 
En el campo de las ciencias naturales, el concepto de integración permite resolver diferentes 
problemas a partir del conocimiento de la tasa de crecimiento poblacional; la velocidad de un 
objeto; entre otras razones de cambio. En geometría si se conoce la pendiente de las rectas 
tangentes a una curva se puede llegar a expresión de las curvas que cumplen la condición. 
La idea es, a partir de conocer el cambio de una función, (derivada 𝑓’), determinar la expresión 
de una función 𝑓, llamada antiderivada o primitiva. 
Esquemáticamente el proceso matemático se puede pensar del siguiente modo: 
 
 
 
 
 
Función primitiva o antiderivada 
Def. Una función 𝐹 es la primitiva o antiderivada de una función 𝑓 en un intervalo 𝐼, si ∀𝑥 ∈ 𝐼,
𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥). 
Ejemplos: 
𝐹(𝑥) =
1
2
𝑥2 es la primitiva de 𝑓(𝑥) = 𝑥. Se verifica que: 𝐹′(𝑥) = 1
2
. 2𝑥  𝐹′(𝑥) = 𝑥 
𝐻(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 es la primitiva de ℎ(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥. Se verifica que: 𝐻′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
 
 
Ejemplo: 
 
Primitiva (𝐹) 
 
 Función (𝑓) 
𝐹1(𝑥) =
1
2
𝑥2 
 
 
Son primitivas de 𝑓(𝑥) = 𝑥 
 
 
 
 
𝐹2(𝑥) =
1
2
𝑥2 + 2 
𝐹3(𝑥) =
1
2
𝑥2 − 1 
. . . . . . . . . . . . . 
𝐹𝑛(𝑥) =
1
2
𝑥2 + 𝐶 
Integración. Métodos de Integración. 
Derivadas de una función Operación Expresión de la antiderivada 
 
Pendiente de una curva: 𝑚𝑇 =
𝑑𝑓
𝑑𝑥
 → integración → 𝑦 = 𝑓(𝑥) (función) 
Tasa de variación poblacional: 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑃′(𝑡) → integración → 𝑃(𝑡) (población) 
Velocidad: 𝑣(𝑡) =
𝑑𝑆
𝑑𝑡
 → integración → 𝑆(𝑡) (distancia) 
 
Teorema: Si 𝐹 es una primitiva de 𝑓 en un intervalo 𝐼 y 𝐺 es otra primitiva de 𝑓 en 𝐼, 
entonces ∀𝑥 ∈ 𝐼, la función 𝐺 tiene la forma: 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶 , siendo 𝐶 constante. 
 
 
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Las primitivas difieren en una constante: 𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥) + 𝐶  𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥) = 𝐶 
Geométricamente: La gráfica de cada función primitiva es una traslación vertical de otra. 
 
Integral indefinida 
Sea 𝐹 una primitiva de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) en un intervalo 𝐼. La integral indefinida de 𝑓 con 
respecto a 𝑥 se define: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶  𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
Signo integral Primitiva o antiderivada 
 Integrando Constante de integración 
 Variable de integración 
De modo que:∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝐹′ (𝑥)𝑑𝑥 siendo 𝐹 la primitiva de 𝑓. 
Ejemplo: Las gráficas 𝐹1 y 𝐹2 corresponden a dos primitivas de una función 𝑓. 
a) Obtener la expresión de cada primitiva. 
b) Aplicando definición determine la expresión del integrando y escriba la integral. 
a) Expresión de 𝐹1 y 𝐹2 
𝐹1(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 siendo 𝑃(0, 1) el corte con el eje “𝑦”  𝑏 = 1 
 Luego, 𝑄(1,3) ∈ 𝐹1  3 = 𝑎. (1) + 1  2 = 𝑎 
 𝐹1(𝑥) = 2𝑥 + 1 
𝐹2(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 siendo 𝑃(0, −2) el corte con el eje “𝑦”  𝑏 = −2 
En este caso particular, la recta que representa a la función 𝐹2 es paralela a la 
recta que representa a 𝐹1 , porque las primitivas difieren en una constante, es 
la que produce una traslación vertical de las gráficas de las primitivas. 
 2 = 𝑎 
  𝐹2(𝑥) = 2𝑥 − 2 
b) Expresión integrando 
Por definición ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶  𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
Si 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) se tiene que: 𝐹′1(𝑥) = 2 y 𝐹′2(𝑥) = 2 entonces la función integrando es 𝑓(𝑥) = 2 
 ∫ 2𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝐶. 
 
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Para determinar la expresión de la integral de una función se debe tener presente ciertas 
reglas, propiedades y técnicas o métodos de integración. 
Reglas básicas de integración 
Integral Verificación (por definición) 
1) ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 𝐹(𝑥) = 𝑥  𝐹’(𝑥) = 1 siendo 𝑓(𝑥) = 1 (integrando) 
2) ∫ 𝑥𝑛 𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶 con 𝑛 ≠ −1 𝐹(𝑥) =
𝑥𝑛+1
𝑛+1
  𝐹’(𝑥) = (𝑛 + 1)
𝑥𝑛+1−1
𝑛+1
 siendo 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 
Ejemplos: 
a) ∫ 𝑥3𝑑𝑥 =
𝑥4
4
+ 𝐶 
b) ∫
1
𝑥3
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥−3𝑑𝑥  ∫ 𝑥−3𝑑𝑥 =
𝑥−2
−2
+ 𝐶  ∫
1
𝑥3
𝑑𝑥 = −
1
2𝑥2
+ 𝐶 
c) ∫ √𝑥4
3
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥
4
3𝑑𝑥  ∫ 𝑥
4
3𝑑𝑥 =
𝑥
7
3
7
3
+ 𝐶  ∫ √𝑥4
3
𝑑𝑥 =
3
7
√𝑥7
3
+ 𝐶 
 
 Verificación (por definición) 
3) ∫
1
𝑥
 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 + 𝐶 𝐹(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥  𝐹’(𝑥) =
1
𝑥
 siendo 𝑓(𝑥) = 
1
𝑥
 
4) ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 𝐹(𝑥) = 𝑒𝑥  𝐹’(𝑥) = 𝑒𝑥 siendo 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 
5) ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶 𝐹(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥  𝐹’(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑥 siendo 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 
6) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶 𝐹(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥  𝐹’(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 siendo 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
Propiedades 
Sean 𝑓 y 𝑔 funciones integrables, 𝑘 una constante. 
1) Integral de una constante 𝑘 por una función𝑓. 
∫[𝑘𝑓(𝑥)] 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 
2) Integral de una suma o diferencia de funciones. 
∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 
Ejemplo1: Obtener la expresión de: a) ∫(2𝑒𝑥 + 1) 𝑑𝑥; b) ∫ (
𝑥+3−√𝑥3
𝑥2
) 𝑑𝑥 
a) ∫(2𝑒𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ∫(2𝑒𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 (integral de una suma) 
∫(2𝑒𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 (integral de una constante por una función) 
∫(2𝑒𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 2𝑒𝑥 + 𝐶1 + 𝑥 + 𝐶2 (integrales inmediatas) 
∫(2𝑒𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 2𝑒𝑥 + 𝑥 + 𝐶 (con 𝐶1 + 𝐶2 = 𝐶) 
 
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Observación: En adelante, se escribirá una sola constante (al sumar o restar constantes el 
resultado es una constante). 
b) ∫ (
𝑥+3−√𝑥3
𝑥2
) 𝑑𝑥 = ∫ (
1
𝑥
+ 3𝑥−2 − 𝑥−
1
2) 𝑑𝑥 (operaciones algebraicas) 
∫ (
𝑥+3−√𝑥
𝑥2
) 𝑑𝑥 = ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 + 3 ∫ 𝑥−2𝑑𝑥 − ∫ 𝑥
−
1
2 𝑑𝑥 (integral de una sumatoria y de cte. por una función) 
∫ (
𝑥+3−√𝑥
𝑥2
) 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 − 3𝑥−1 + 2𝑥
1
2 + 𝐶 (integrales inmediatas, por reglas básicas) 
 ∫ (
𝑥+3−√𝑥
𝑥2
) 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 −
3
𝑥
+ 2√𝑥 + 𝐶 
Ejemplo 2: La pendiente de la gráfica de una función en cualquier punto (𝑥, 𝑦) está dada por 
𝑚𝑇 = 𝑒
𝑥 + 𝑥 . Determine la expresión de la función cuya gráfica pasa por 𝑃(0, 2). 
Si 𝑚𝑇 = 𝑒
𝑥 + 𝑥  𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 + 𝑥, para obtener la expresión de 𝑓 hay que integrar, 
(recordar que:∫ 𝐹′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶) 
 ∫ 𝒇′(𝒙)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝐶 
 ∫(𝒆𝒙 + 𝒙)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝐶  ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝐶 
 𝑒𝑥 +
1
2
𝑥2 + 𝐶1 = 𝑓(𝑥) + 𝐶  𝑒
𝑥 +
1
2
𝑥2 + 𝐶1 − 𝐶 = 𝑓(𝑥) 
Siendo 𝐶1 − 𝐶 = 𝐾 se puede escribir: 𝑓(𝑥) = 𝑒
𝑥 +
1
2
𝑥2 + 𝐾 
Para 𝑥 = 0, 𝑦 = 2  2 = 𝑒0 +
1
2
∙ 02 + 𝐾  2 − 1 = 𝐾  1 = 𝐾 
 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 +
1
2
𝑥2 + 1 
Problema 1: La tasa de variación de una población es: 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= −2𝑡 + 4 en un período de 7 años. 
a) Si inicialmente hay 21 individuos, determine la expresión de 𝑃 (población). 
b) ¿Cuántos individuos hay a los cuatro años? 
c) ¿Qué sucede con la población al finalizar el período? 
d) Esboce la gráfica de 𝑃. 
a) 𝑃 es la función y la tasa de variación, su derivada (
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑃′(𝑡)) 
La derivada de la función 𝑃 es 𝑃′(𝑡) = −2𝑡 + 4. 
  ∫ 𝑃′(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑃(𝑡) + 𝐶  ∫(−2𝑡 + 4)𝑑𝑡 = 𝑃(𝑡) + 𝐶 
  −2 ∫ 𝑡 𝑑𝑡 + 4 ∫ 𝑑𝑡 = 𝑃(𝑡) + 𝐶 
  −2
𝑡2
2
+ 4𝑡 + 𝐶1 = 𝑃(𝑡) + 𝐶  −𝑡
2 + 4𝑡 + 𝐶1 − 𝐶 = 𝑃(𝑡) 
 Siendo 𝐶1 − 𝐶 = 𝐾 se puede escribir 𝑃(𝑡) = −𝑡
2 + 4𝑡 + 𝐾 
 
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 Para 𝑡 = 0, 𝑃 = 21  21 = −02 + 4 ∙ 0 + 𝐾, luego, 𝐾 = 21 
 𝑃(𝑡) = −𝑡2 + 4𝑡 + 21 (Expresión de P con las condiciones iniciales dadas) 
b) La población 𝑃 para 𝑡 = 4 es: 
𝑃(4) = −(4)2 + 4 ∙ 4 + 21  𝑃(4) = 21 
Respuesta: A los cuatro años es la misma cantidad de individuos que al inicio. 
c) Para t=7 (fin del período) 
𝑃(7) = −(7)2 + 4 ∙ 7 + 21 𝑃(4) = 0 
Respuesta: A los 7 años la población se extingue. 
 
Problema 2: Con fines de restauración, una cierta región, es reforestada con especies nativas 
eligiendo plantas de tipo latifoliadas. En el momento de la plantación 
(𝑡 = 0) la altura de las plantas es de 35 cm y el ritmo de crecimiento 
durante los próximos 6 años es de 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
32
3
𝑡 + 30 , ℎ es la altura en cm 
y 𝑡 tiempo en años. 
a) Obtener la expresión para calcular la altura de las plantas en el 
período de crecimiento. 
b) ¿Cuál es la altura aproximada, en metros, de las plantas a los 3 años y a los 6 años? 
c) Ilustre con un gráfico que muestre la altura en función del tiempo transcurrido. 
 
a) Para determinar la expresión de ℎ, se integra: ℎ’(𝑡) =
32
3
𝑡 + 30 
∫ ℎ’(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ (
32
3
𝑡 + 30) 𝑑𝑡 
ℎ(𝑡) =
32
3
∫ 𝑡 𝑑𝑡 + 30 ∫ 𝑑𝑡  ℎ(𝑡) =
16
3
𝑡2 + 30𝑡 + 𝐶 
Si cuando 𝑡 = 0 ; ℎ = 35  35 =
16
3
02 + 30 ∙ 0 + 𝐶  35 = 𝐶 
 ℎ(𝑡) =
16
3
𝑡2 + 30𝑡 + 35 
b) A los tres años, 𝑡 = 3 ; ℎ(3) =
16
3
32 + 30 ∙ 3 + 35  ℎ(3) = 173 
A los seis años, 𝑡 = 6 ; ℎ(6) =
16
3
62 + 30 ∙ 6 + 35  ℎ(6) = 407 
 
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Respuesta: A los tres años la altura de las plantas será aproximadamente de 1.73 metros 
y a los seis años la altura de las plantas será aproximadamente de 4 metros. 
c) Ilustración 
 
 
Diferencial de una función 
 
 
 
 
 
Las gráficas ilustran los casos: 𝑑𝑦 > ∆𝑦 y 𝑑𝑦 < ∆𝑦. 
𝑑𝑦 > ∆𝑦 
 
𝑓’(𝑥)𝑑𝑥 
 
𝑑𝑦 < ∆𝑦 
 
 𝒇’(𝒙)𝒅𝒙 
 
Ejemplos: Sean 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2; 𝑔(𝑥) = ln (3𝑥 − 2) y ℎ(𝑥) = 𝑐𝑜𝑥. Obtener el diferencial de 
cada función. 
𝑑𝑓 = −2𝑥𝑑𝑥 
𝑑𝑔 =
3
3𝑥−2
𝑑𝑥 
𝑑ℎ = −𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función derivable. El diferencial de 𝑓 con respecto a 𝑥 se define como: 
𝑑𝑓 = 𝑓’(𝑥)𝑑𝑥. 
𝑑𝑥: diferencial de 𝑥, siendo 𝑑𝑥 = ∆𝑥 
𝑑𝑦: diferencial de 𝑦, pudiendo ser: 𝑑𝑦 < ∆𝑦 ; 𝑑𝑦 > ∆𝑦 o 𝑑𝑦 = ∆𝑦 
 
 
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Métodos de Integración 
En ocasiones, las propiedades y reglas de integración, no son suficientes para integrar una 
función. Existen distintos métodos que permiten que el integrando resulte una expresión 
integrable mediante las reglas y propiedades ya estudiadas. 
Integración por sustitución o cambio de variable 
Cuando el integrando es la derivada de una función compuesta se aplica el método de 
integración por sustitución o cambio de variable. 
La función primitiva es una función compuesta, definiendo a dicha función como: 𝑦 = 𝐹(𝑔(𝑥)) 
donde 𝐹 es derivable con respecto a 𝑔 y 𝑔 es derivable con respecto a 𝑥. 
La derivada de la función primitiva es: 𝑦′ = 𝐹′(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥) (se aplicó regla de la cadena) 
De modo tal que, la función integrando es: 𝐹′(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 
 ∫ 𝐹′(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝐶 
Haciendo, 𝑢 = 𝑔(𝑥), su diferencial es: 𝑑𝑢 = 𝑔’(𝑥)𝑑𝑥 y además, es 𝐹’(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑔(𝑥)) 
 ∫ 𝑓(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝐶 
 
 
 
 
Ejemplo 1: ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 √1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 
 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 √1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 
 𝑢 = 1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 √1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = ∫ √𝑢 𝑑𝑢 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 √1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢
1
2 𝑑𝑢 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 √1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 =
2
3
𝑢
3
2 + 𝐶 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 √1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 =
2
3
√(1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥)3 + 𝐶 
Ejemplo 2:∫ 6𝑥2𝑒1−𝑥
3
𝑑𝑥 
Siendo: 𝑢 = 1 − 𝑥3 y 𝑑𝑢 = −3𝑥2 𝑑𝑥 luego: −𝑑𝑢 = 3𝑥2 𝑑𝑥 
∫ 6𝑥2𝑒1−𝑥
3
𝑑𝑥 = ∫ 2 ∙ 3𝑥2𝑒1−𝑥
3
 𝑑𝑥 
 
∫ 6𝑥2𝑒1−𝑥
3
𝑑𝑥 = ∫ 2 𝑒𝑢(−𝑑𝑢) 
Teorema: Si 𝑢 = 𝑔(𝑥) es una función diferenciable en un intervalo abierto 𝐼 y 𝐹 la 
primitiva de 𝑓 en 𝐼, entonces: ∫ 𝑓(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑢) + 𝐶 
 
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∫ 6𝑥2𝑒1−𝑥
3
𝑑𝑥 = −2 ∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 
∫ 6𝑥2𝑒1−𝑥
3
𝑑𝑥 = −2𝑒𝑢 + 𝐶 
∫ 6𝑥2𝑒1−𝑥
3
𝑑𝑥 = −2𝑒1−𝑥
3
+ 𝐶 
Ejemplo 3: ∫
2
𝑥 𝑙𝑛𝑥
𝑑𝑥 
3) ∫
2
𝑥 𝑙𝑛𝑥
𝑑𝑥 = 2 ∫
1
𝑥 𝑙𝑛𝑥
𝑑𝑥 (Integral de una constante por una función) 
∫
2
𝑥 𝑙𝑛𝑥
𝑑𝑥 = 2 ∫
1
𝑣
𝑑𝑣, Siendo: 𝑣 = 𝑙𝑛𝑥 y 𝑑𝑣 =
1
𝑥
 𝑑𝑥 
∫
2
𝑥 𝑙𝑛𝑥
𝑑𝑥 = 2𝑙𝑛𝑣 + 𝐶 
∫
2
𝑥 𝑙𝑛𝑥
𝑑𝑥 = 2 ln(𝑙𝑛𝑥) + 𝐶 
Ejemplo 4: ∫
𝑧
2𝑧+3
𝑑𝑧 
Siendo: 𝑢 = 2𝑧 + 3 y 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑧 luego, 
𝑑𝑢
2
= 𝑑𝑧 
En este caso se expresa 𝑧 en términos de 𝑢: 
𝑢−3
2
= 𝑧 (despejado de la expresión de la nueva variable) 
∫
𝑧
2𝑧+3
𝑑𝑧 = ∫
𝑢−3
2𝑢
(
𝑑𝑢
2
) (en el numerador se reemplaza: 𝑧 = 𝑢−3
2
, 2𝑧 + 3 = 𝑢 y 
𝑑𝑢
2
= 𝑑𝑧 ) 
∫
𝑧
2𝑧+3
𝑑𝑧 =
1
4
∫ (1 −
3
𝑢
) 𝑑𝑢 (se opera en el integrando y aplica propiedad de integral de una constante) 
∫
𝑧
2𝑧+3
𝑑𝑧 =
1
4
[∫ 𝑑𝑢 − 3 ∫
1
𝑢
𝑑𝑢] (se aplica propiedad de integral de una suma) 
∫
𝑧
2𝑧+3
𝑑𝑧 =
1
4
[𝑢 − 3 ln 𝑢] + 𝐶 
∫
𝑧
2𝑧+3
𝑑𝑧 =
1
4
𝑢 −
3
4
ln 𝑢 + 𝐶 
∫
𝑧
2𝑧+3
𝑑𝑧 =
1
4
(2𝑧 + 3) −
3
4
ln(2𝑧 + 3) + 𝐶 
 ∫
𝑧
2𝑧+3
𝑑𝑧 =
1
2
𝑧 +
3
4
−
3
4
ln(2𝑧 + 3) + 𝐶 
Método de Integración por Partes 
El método de integración por partes se vincula con la derivada de un producto de funciones y 
para su resolución se aplica la fórmula de integración por partes. 
Deducción de la fórmula 
Sean 𝑦 = 𝑢(𝑥) e 𝑦 = 𝑣(𝑥) funciones derivables con respecto a 𝑥. 
1. Derivada del producto de las funciones 𝑢 y 𝑣 . 
𝐷𝑥(𝑢 ∙ 𝑣) = 𝐷𝑥(𝑢) ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝐷𝑥(𝑣) 
𝐷𝑥(𝑢 ∙ 𝑣) = 𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′ 
2. Integral de la ecuación con respecto a 𝑥. 
 
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∫ 𝐷𝑥(𝑢 ∙ 𝑣)𝑑𝑥 = ∫(𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′) 𝑑𝑥 
𝑢 ∙ 𝑣 = ∫(𝑢′ ∙ 𝑣) 𝑑𝑥 + ∫(𝑢 ∙ 𝑣′)𝑑𝑥 siendo: (∫ 𝐷𝑥(𝑢 ∙ 𝑣)𝑑𝑥 = 𝑢 ∙ 𝑣) 
3. Si 𝑑𝑢 = 𝑢’𝑑𝑥 y 𝑑𝑣 = 𝑣’𝑑𝑥 
𝑢 ∙ 𝑣 = ∫ 𝑣 𝑑𝑢 + ∫ 𝑢 𝑑𝑣  𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢 𝑑𝑣 
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 Fórmula de integración por partes. 
Ejemplo 1: ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 
∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ (−𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐1) − ∫(−𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐1)𝑑𝑥 
 𝑢 𝑑𝑣 𝑢 𝑣 𝑣 𝑑𝑢 
∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥𝑐1 + ∫ 𝑐𝑜𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑐1𝑑𝑥 
∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥𝑐1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐1𝑥 + 𝐶 
(el segundo y cuarto término se cancelan) 
∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶 
Cálculos auxiliares 
𝑢 = 𝑥  𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 
 ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 
𝑣 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐1 
Observación: En adelante no se considerará la constante de integración de 𝑣. 
Ejemplo 2: ∫ 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑙𝑛𝑥  𝑑𝑢 =
1
𝑢
𝑑𝑥 luego, 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥  ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑑𝑥  𝑣 = 𝑥 
∫ 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑙𝑛𝑥 − ∫ 𝑥
1
𝑥
𝑑𝑥 
∫ 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑙𝑛𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 
 ∫ 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 + 𝐶; o bien, ∫ 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 (𝑙𝑛𝑥 − 1) + 𝐶 
Ejemplo 3: ∫[2 + 𝑥2𝑒𝑥] 𝑑𝑥 
∫[2 + 𝑥2𝑒𝑥] 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 (por propiedad de la integral de una suma) 
 Inmediata por partes 
∫[2 + 𝑥2𝑒𝑥] 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑐1 + ∫ 𝑥
2𝑒𝑥𝑑𝑥 
∫[2 + 𝑥2𝑒𝑥] 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑐1 + 𝑥
2𝑒𝑥 − ∫ 𝑒𝑥2𝑥𝑑𝑥 
 Por partes 
∫[2 + 𝑥2𝑒𝑥] 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑐1 + 𝑥
2𝑒𝑥 − (2𝑥𝑒𝑥 − ∫ 𝑒𝑥2𝑑𝑥) 
∫[2 + 𝑥2𝑒𝑥] 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑐1 + 𝑥
2𝑒𝑥 − 2𝑥𝑒𝑥 + 2𝑒𝑥 + 𝑐2 
∫[2 + 𝑥2𝑒𝑥] 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑥2𝑒𝑥 − 2𝑥𝑒𝑥 + 2𝑒𝑥 + 𝐶(𝐶 = 𝑐1 + 𝑐2) 
 ∫[2 + 𝑥2𝑒𝑥] 𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑒𝑥(𝑥2 − 2𝑥 + 2) + 𝐶 
Cálculos auxiliares 
𝑢 = 𝑥2  𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 
 ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 
 𝑣 = 𝑒𝑥 
𝑢 = 2𝑥  𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥  𝑣 = 𝑒𝑥 
 
 
 
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Ejemplo 4: ∫ 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 
∫ 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥Por partes 
∫ 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 − [𝑒𝑥(−𝑐𝑜𝑠𝑥) − ∫(−𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑒𝑥𝑑𝑥] 
∫ 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 − [𝑒𝑥(−𝑐𝑜𝑠𝑥) + ∫(𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑒𝑥𝑑𝑥] 
∫ 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − ∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 
Se agrupa los términos semejantes en el primer miembro: 
∫ 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶 
2 ∫ 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) + 𝐶 
Despejando la integral planteada: 
∫ 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 
1
2
𝑒𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) + 𝐶 
Cálculos auxiliares 
𝑢 = 𝑒𝑥  𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 
 ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 
 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 
𝑢 = 𝑒𝑥  𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 
 ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 
 𝑣 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
Problema: La tasa de variación de una población 𝑃 durante tres años fue: 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑡. 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 1. 
a) Al inicio había 1 mil individuos, determine la expresión de 𝑃 que permite calcular la 
población en ese período. 
b) Calcule la población a los 2 y 3 años. 
a) Para determinar P se integra: 𝑃′(𝑡) = 𝑡. 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 1 
∫ 𝑃′(𝑡)𝑑𝑡 = ∫(𝑡. 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 1)𝑑𝑡  ∫ 𝑃′(𝑡)𝑑𝑡 = ∫(𝑡. 𝑐𝑜𝑠𝑡)𝑑𝑡 + ∫ 𝑑𝑡 
 Por partes 
𝑃(𝑡) = 𝑡 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑡 − ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑡 + 𝑡 + 𝐶 
𝑃(𝑡) = 𝑡 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑡 − (−𝑐𝑜𝑠𝑡) + 𝑡 + 𝐶 
 𝑃(𝑡) = 𝑡 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑡 + 𝐶 
Para 𝑡 = 0 ; 𝑃 = 1 (mil) 
1 = 0 ∙ 𝑠𝑒𝑛0 + 𝑐𝑜𝑠0 + 0 + 𝐶  1= 0 + 1 + 𝐶  𝐶 = 0 
Expresión: 𝑃(𝑡) = 𝑡 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑡 
Cálculos auxiliares 
𝑢 = 𝑡  𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 
𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 
 ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡  𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑡 
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑡 = −𝑐𝑜𝑠𝑡 
b) La población a los 2 y 3 años: 
𝑃(2) = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 + 𝑐𝑜𝑠2 + 2𝑃(2) = 3.4 
𝑃(3) = 3 ∙ 𝑠𝑒𝑛3 + 𝑐𝑜𝑠3 + 3𝑃(3) = 2.43 
Respuesta: La población a los 2 años es aproximadamente de 3400 individuos y a los 3 años 
2430 individuos 
 
 
 
71 
M. Arias 
 
Recomendaciones 
En caso que los integrando respondan a las siguientes formas: 
Expresión (𝑎 y 𝑏 constantes) Función 𝑢 
∫ 𝑥𝑛𝑒𝑎𝑥 𝑑𝑥 
∫ 𝑥𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥) 𝑑𝑥 
∫ 𝑥𝑛 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥) 𝑑𝑥 
𝒖 = 𝒙𝒏 
∫ 𝑥𝑛 𝑙𝑛(𝑎𝑥) 𝑑𝑥 𝒖 = 𝒍𝒏(𝒂𝒙) 
∫ 𝑒𝑏𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥) 𝑑𝑥 
∫ 𝑒𝑏𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥) 𝑑𝑥 
𝒖 = 𝒆𝒃𝒙 
(Obs. en este caso es indistinto) 
 
Método de Integración por descomposición en fracciones simples o parciales 
Sea 𝑓 una función racional, 𝑓(𝑥) =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
 ; 𝑃 y 𝑄 polinomios, 𝑄(𝑥) ≠ 0. 
Función racional propia: Son funciones racionales donde el 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑃(𝑥) < 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑄(𝑥) 
Ejemplos: 𝑓(𝑥) =
2−𝑥
𝑥2+𝑥
; 𝑔(𝑥) =
𝑥
𝑥3−4𝑥
 
Función racional impropia: Son funciones racionales donde el 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑃(𝑥) ≥ 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑄(𝑥) 
Ejemplos: 𝑓(𝑥) =
𝑥3+1
𝑥+4
; ℎ(𝑥) =
𝑥2+2𝑥−1
𝑥2+3
 
Procedimiento para integrar una función racional propia 
1) Se factoriza el denominador 𝑄(𝑥) 
 
 
 
 
 
 
 
El polinomio 𝑄(𝑥) puede tener: 
Factores lineales distintos: 
𝑄(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1) ∙ (𝑥 − 𝑥2) ∙ (𝑥 − 𝑥3) ∙ ⋯ (𝑥 − 𝑥𝑛) 
Raíces reales distintas: 𝑥1 ≠ 𝑥2 ≠ 𝑥3 ⋯ 𝑥𝑛−1 ≠ 𝑥𝑛 
Factores lineales múltiples: 
𝑄(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1)
𝑝 ∙ (𝑥 − 𝑥2)
𝑚 ∙ (𝑥 − 𝑥3)
𝑙 ∙ ⋯ (𝑥 − 𝑥𝑛)
𝑘 
Raíces reales múltiples: 𝑝 veces 𝑥1; 𝑚 veces 𝑥2 ; 𝑙 veces 
𝑥3 ; …. 𝑘 veces 𝑥𝑛 
Factores cuadráticos distintos o múltiples. 
Raíces complejas. 
 
72 
M. Arias 
 
2) Según el tipo de factores se realizará la descomposición en fracciones simples y se 
terminará el valor de las constantes que surjan. 
a) Factores lineales distintos: Raíces reales distintas: 𝑥1 ≠ 𝑥2 ≠ 𝑥3 ⋯ 𝑥𝑛−1 ≠ 𝑥𝑛 
 
𝑄(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1) ∙ (𝑥 − 𝑥2) ∙ (𝑥 − 𝑥3) ∙ ⋯ (𝑥 − 𝑥𝑛) 
 
 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
=
𝐴1
𝑥−𝑥1
+
𝐴2
𝑥−𝑥2
+
𝐴3
𝑥−𝑥3
+ ⋯ +
𝐴𝑛
𝑥−𝑥𝑛
 
Siendo, 𝐴1, 𝐴2, …. 𝐴𝑛 constantes a determinar. 
Para obtener el valor de las constantes, se asigna a la variable independiente el valor de 
cada una de las raíces y se resuelve la expresión resultante. 
b) Factores lineales múltiples: 
𝑄(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1)
𝑝 ⋯ (𝑥 − 𝑥𝑛)
𝑘 
 
 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
=
𝐴1
(𝑥−𝑥1)𝑝
+
𝐴2
(𝑥−𝑥1)𝑝−1
+ ⋯ +
𝐴𝑝
𝑥−𝑥1
+ ⋯
𝐵1
(𝑥−𝑥𝑛)𝑘
+
𝐵2
(𝑥−𝑥𝑛)𝑘−1
⋯ +
𝐵𝑘
𝑥−𝑥1
 
Siendo, 𝐴1, 𝐴2, …. 𝐴𝑝 … 𝐵1, 𝐵2, …. 𝐵𝑘 constantes a determinar. 
Se asigna a la variable independiente el valor de cada una de las raíces y valores 
arbitrarios para resolver la ecuación o sistema de ecuaciones que resulte. 
c) Factores cuadráticos simples y múltiples: 
Cuando los factores son expresiones cuadráticas irreductibles su descomposición es: 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
=
𝐴1𝑥+𝐵1
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐
+
𝐴2𝑥+𝐵2
(𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐)2
+ ⋯ +
𝐴𝑛−1𝑥+𝐵𝑛−1
(𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐)𝑛−1
+
𝐴𝑛𝑥+𝐵𝑛
(𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐)𝑛
 
Donde 𝐴1, 𝐴2, …. 𝐴𝑛 … 𝐵1, 𝐵2, …. 𝐵𝑛 son constantes a determinar. 
3) Integración de la expresión equivalente obtenida por descomposición. 
Se reemplaza el valor de cada constante en la suma de las fracciones simples (expresión 
equivalente a la dada) y se integra aplicando reglas y propiedades de integración. 
Ejemplo 1: Resolver ∫
𝑥−6
𝑥2−3𝑥
𝑑𝑥. 
𝐺𝑟𝑃(𝑥) = 1 y 𝐺𝑟𝑄(𝑥) = 2 ; el integrando es una función racional propia. 
1) Factorización 
𝑄(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥  𝑄(𝑥) = 𝑥(𝑥 − 3) (Factores lineales; raíces reales distintas) 
Raíces: 𝑥1 = 0 y 𝑥2 = 3 
2) Descomposición del integrando: 
𝑥 − 6
𝑥2 − 3𝑥
=
𝐴1
𝑥
+
𝐴2
𝑥 − 3
 
Común denominador en el segundo miembro: 
𝑥 − 6
𝑥2 − 3𝑥
=
𝐴1(𝑥 − 3) + 𝐴2𝑥
𝑥(𝑥 − 3)
 
 
73 
M. Arias 
 
 𝑥 − 6 = 𝐴1(𝑥 − 3) + 𝐴2𝑥  Ecuación que permite determinar el valor de las constantes 
Asignando 𝑥 = 0  0 − 6 = 𝐴1(0 − 3) + 𝐴20 
−6 = 𝐴1(−3)  2 = 𝐴1 
Asignando 𝑥 = 3  3 − 6 = 𝐴1(3 − 3) + 𝐴23 
−3 = 𝐴2 ∙ 3  −1 = 𝐴2 
Expresión equivalente: 
𝑥 − 6
𝑥2 − 3𝑥
=
2
𝑥
−
1
𝑥 − 3
 
3) Integración de la expresión equivalente (en el segundo miembro): 
∫
𝑥 − 6
𝑥2 − 3𝑥
𝑑𝑥 = ∫ (
2
𝑥
−
1
𝑥 − 3
) 𝑑𝑥 
Por propiedad de integración: ∫
𝑥−6
𝑥2−3𝑥
𝑑𝑥 = ∫ (
2
𝑥
) 𝑑𝑥 − ∫ (
1
𝑥−3
) 𝑑𝑥 
∫
𝑥−6
𝑥2−3𝑥
𝑑𝑥 = 2 ∫ (
1
𝑥
) 𝑑𝑥 − ∫ (
1
𝑢
) 𝑑𝑢 (sustitución: 𝑢 = 𝑥 − 3 ; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥) 
 ∫
𝑥−6
𝑥2−3𝑥
𝑑𝑥 = 2𝑙𝑛𝑥 − ln(𝑥 − 3) + 𝐶 
 ∫
𝑥−6
𝑥2−3𝑥
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 (
𝑥2
𝑥−3
) + 𝐶 (propiedad de logaritmos) 
 
Ejemplo 2: Resolver ∫
4
𝑥3−2𝑥2+𝑥
𝑑𝑥. 
𝐺𝑟𝑃(𝑥) = 0 y 𝐺𝑟𝑄(𝑥) = 3 ; el integrando es una función racional propia. 
1) Factorización 
𝑄(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥  𝑄(𝑥) = 𝑥(𝑥2 − 2𝑥 + 1) (una raíz es: 𝑥 = 0) 
𝑥12 =
2±√4−4
2
  𝑥12 = 1 
𝑥1 = 1 y 𝑥2 = 1(raíz doble) 
𝑄(𝑥) = 𝑥(𝑥 − 1)2 (una raíz simple y una doble; 3 constantes a determinar) 
2) Descomposición del integrando en fracciones: 
4
𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥
=
𝐴1
𝑥
+
𝐴2
(𝑥 − 1)2
+
𝐴3
𝑥 − 1
 
Común denominador en el segundo miembro: 
4
𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥
=
𝐴1(𝑥 − 1)
2 + 𝐴2𝑥 + 𝐴3𝑥(𝑥 − 1)
𝑥(𝑥 − 1)2
 
 4 = 𝐴1(𝑥 − 1)
2 + 𝐴2𝑥 + 𝐴3𝑥(𝑥 − 1) 
Asignando 𝑥 = 0  4 = 𝐴1(0 − 1)
2 + 𝐴20 + 𝐴30(0 − 1) 
4 = 𝐴1(−1)
2  4 = 𝐴1 
Asignando 𝑥 = 1  4 = 𝐴1(1 − 1)
2 + 𝐴21 + 𝐴31(1 − 1) 
 
74 
M. Arias 
 
4 = 𝐴2 
Valor arbitrario: 𝑥 = −1  4 = 𝐴1(−1 − 1)
2 + 𝐴2(−1) + 𝐴3(−1)(−1 − 1) 
4 = 𝐴14 − 𝐴2 + 2𝐴3 
Reemplazando 𝐴1 y 𝐴2  4 = 4 ∙ 4 − 4 + 2𝐴3 
4 = 16 − 4 + 2𝐴3; 4 − 12 = 2𝐴3  −4 = 𝐴2 
 
Expresión equivalente 
4
𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥
=
4
𝑥
+
4
(𝑥 − 1)2
−
4
𝑥 − 1
 
3) Integración de la expresión equivalente: 
∫
4
𝑥3−2𝑥2+𝑥
𝑑𝑥 = ∫ (
4
𝑥
+
4
(𝑥−1)2
−
4
𝑥−1
) 𝑑𝑥 
∫
4
𝑥3−2𝑥2+𝑥
𝑑𝑥 = 4 ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 + 4 ∫
1
(𝑥−1)2
𝑑𝑥 − 4 ∫
1
𝑥−1
𝑑𝑥 
 (sustitución: 𝑢 = 𝑥 − 1 ; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥) 
 ∫
4
𝑥3−2𝑥2+𝑥
𝑑𝑥 = 4𝑙𝑛𝑥 + 4 ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢 − 4 ∫
1
𝑢
𝑑𝑢 
 ∫
4
𝑥3−2𝑥2+𝑥
𝑑𝑥 = 4𝑙𝑛𝑥 −
4
𝑥−1
− 4 ln(𝑥 − 1) + 𝐶 
 ∫
4
𝑥3−2𝑥2+𝑥𝑑𝑥 = 4𝑙𝑛 (
𝑥
𝑥−1
) −
4
𝑥−1
+ 𝐶 
Ejemplo 3: Resolver ∫
2𝑥+9
(𝑥+2)(𝑥2+1)
𝑑𝑥. 
𝐺𝑟𝑃(𝑥) = 1 y 𝐺𝑟𝑄(𝑥) = 3 ; el integrando es una función racional propia. 
1) Factorización 
𝑄(𝑥) = (𝑥 + 2)(𝑥2 + 1)  𝑄(𝑥) está factorizado: una raíz es real: 𝑥 = −2 y el 
término cuadrático irreductible indica raíces complejas 
Constantes a determinar: 3. 
2) Descomposición del integrando en fracciones parciales: 
2𝑥+9
(𝑥+2)(𝑥2+1)
=
𝐴
𝑥+2
+
𝐵𝑥+𝐶
𝑥2+1
 
Común denominador en el segundo miembro: 
2𝑥+9
(𝑥+2)(𝑥2+1)
=
𝐴(𝑥2+1)+(𝐵𝑥+𝐶)(𝑥+2)
(𝑥+2)(𝑥2+1)
 
Por igualdad resulta la ecuación: 2𝑥 + 9 = 𝐴(𝑥2 + 1) + (𝐵𝑥 + 𝐶)(𝑥 + 2) 
Para obtener las constantes se asigna el valor de la raíz real y para este caso, 2 valores 
arbitrarios. 
 
75 
M. Arias 
 
Valor de la raíz: 𝑥 = −2 
 2(−2) + 9 = 𝐴((−2)2 + 1) + (𝐵(−2) + 𝐶)(−2 + 2) 
−4 + 9 = 5𝐴  𝐴 = 1 
 Valor arbitrario: 𝑥 = 0 
 2(0) + 9 = 𝐴((0)2 + 1) + (𝐵(0) + 𝐶)(0 + 2) 
9 = 𝐴 + 2𝐶 siendo 𝐴 = 1 se reemplaza en la ecuación: 9 = 1 + 2𝐶 luego, 𝐶 = 4 
Valor arbitrario: 𝑥 = 1 
 2(1) + 9 = 𝐴((1)2 + 1) + (𝐵(1) + 𝐶)(1 + 2) 
2 + 9 = 2𝐴 + 3(𝐵 + 𝐶), se reemplaza el valor de A y C: 11 = 2(1) + 3(𝐵 + 4), 
11 − 2 − 12 = 3𝐵, luego, 𝐵 = −1 
Expresión equivalente: 
2𝑥 + 9
(𝑥 + 2)(𝑥2 + 1)
=
1
𝑥 + 2
+
−𝑥 + 4
𝑥2 + 1
 
3) Integración de la expresión equivalente: 
∫
2𝑥+9
(𝑥+2)(𝑥2+1)
𝑑𝑥 = ∫ (
1
𝑥+2
+
4−𝑥
𝑥2+1
) 𝑑𝑥 
∫
2𝑥+9
(𝑥+2)(𝑥2+1)
𝑑𝑥 = ∫ (
1
𝑥+2
) 𝑑𝑥 − ∫
𝑥
𝑥2+1
𝑑𝑥 + ∫
4
𝑥2+1
𝑑𝑥 
(Sustitución: 𝑢 = 𝑥 + 2, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥; 𝑧 = 𝑥2 + 1, 𝑑𝑧 = 2𝑥𝑑𝑥) 
∫
2𝑥+9
(𝑥+2)(𝑥2+1)
𝑑𝑥 = ∫
1
𝑢
𝑑𝑢 −
1
2
∫
1
𝑧
𝑑𝑧 + 4 ∫
1
𝑥2+1
𝑑𝑥 
∫
2𝑥+9
(𝑥+2)(𝑥2+1)
𝑑𝑥 = ln(𝑥 + 2) −
1
2
ln(𝑥2 + 1) + 4𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 + 𝐶 
Procedimiento para integrar una función racional impropia 
𝑓(𝑥) =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
 ; 𝑄(𝑥) ≠ 0 siendo 𝐺𝑟𝑃(𝑥) ≥ 𝐺𝑟𝑄(𝑥), es una función racional impropia. 
1) Dividir 𝑃(𝑥) en 𝑄(𝑥). 
 
𝐺𝑟𝑅(𝑥) < 𝐺𝑟𝑄(𝑥) 
 𝑃(𝑥) = 𝐶(𝑥) ∙ 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥) 
De modo que: 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
=
𝐶(𝑥)∙𝑄(𝑥)+𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥)
 
 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
= 𝐶(𝑥) +
𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥)
 siendo el segundo término, una 
función racional propia. 
 
76 
M. Arias 
 
 La expresión equivalente es: 𝑓(𝑥) = 𝐶(𝑥) +
𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥)
 
2) Integrar la expresión equivalente (𝐶(𝑥) +
𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥)
) 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ (𝐶(𝑥) +
𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥)
) 𝑑𝑥 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝐶(𝑥)𝑑𝑥 + ∫
𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑑𝑥 
El segundo término es la integral de una función racional propia que se resuelve por 
descomposición en fracciones simples o puede que se resuelva por sustitución. 
Ejemplo 1: ∫
2𝑥2+3𝑥+1
𝑥−2
𝑑𝑥 𝐺𝑟𝑃(𝑥) = 2 y 𝐺𝑟𝑄(𝑥) = 1 (función racional impropia) 
Dividir 𝑃(𝑥) en 𝑄(𝑥). 
 
𝐺𝑟𝑅(𝑥) < 𝐺𝑟𝑄(𝑥) 
 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
= 2𝑥 + 7 +
15
𝑥−2
 
 
Expresión equivalente: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 7 +
15
𝑥−2
 
Integrar la expresión equivalente: 
∫ (
2𝑥2 + 3𝑥 + 1
𝑥 − 2
) 𝑑𝑥 = ∫(2𝑥 + 7)𝑑𝑥 + ∫
15
𝑥 − 2
𝑑𝑥 
En este caso el segundo término se resuelve por sustitución. 
𝑢 = 𝑥 − 2 ; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
Luego: 
∫ (
2𝑥2 + 3𝑥 + 1
𝑥 − 2
) 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥𝑑𝑥 + 7 ∫ 𝑑𝑥 + 15 ∫
1
𝑢
𝑑𝑢 
Resolviendo cada uno de los sumandos se tiene que: 
∫ (
2𝑥2 + 3𝑥 + 1
𝑥 − 2
) 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 7𝑥 + 15 ln(𝑥 − 2) + 𝐶 
 
 
77 
M. Arias 
 
Ejemplo 2: ∫
𝑥3−𝑥2+3
𝑥3−𝑥
𝑑𝑥 
Dividir 𝑃(𝑥) en 𝑄(𝑥). 
 
𝐺𝑟𝑅(𝑥) < 𝐺𝑟𝑄(𝑥) 
 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
= 1 +
−𝑥2+𝑥+3
𝑥3−𝑥
 
 
Expresión equivalente: 𝑓(𝑥) = 1 +
−𝑥2+𝑥+3
𝑥3−𝑥
 
Integrar la expresión equivalente: 
∫ (
𝑥3−𝑥2+3
𝑥3−𝑥
) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫
−𝑥2+𝑥+3
𝑥3−𝑥
𝑑𝑥 (1) 
En este caso, el segundo término de (1) es una integral de una función racional propia que se 
resuelve por descomposición en fracciones simples. 
A continuación, se resuelve dicha integral: 
Factorización de 𝑄(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥. 
𝑥3 − 𝑥 = 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) (3 raíces reales distintas; 3 constantes a determinar) 
Descomposición en fracciones simples: 
−𝑥2 + 𝑥 + 3
𝑥3 − 𝑥
=
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥 − 1
+
𝐶
𝑥 + 1
 
 
Determinación de las constantes, A, B y C. 
−𝑥2 + 𝑥 + 3
𝑥3 − 𝑥
=
𝐴(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) + 𝐵𝑥(𝑥 + 1) + 𝐶𝑥(𝑥 − 1)
𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
 
 
 −𝑥2 + 𝑥 + 3 = 𝐴(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) + 𝐵𝑥(𝑥 + 1) + 𝐶𝑥(𝑥 − 1) (Ecuación) 
Asignando el valor: 𝑥 = 0. 
3 = 𝐴(−1)(1) + 𝐵 ∙ 0 ∙ (1) + 𝐶 ∙ 0 ∙ (−1) 
 3 = −𝐴  −3 = 𝐴 
Asignando el valor: 𝑥 = 1. 
−1 + 1 + 3 = 𝐴 ∙ (0) ∙ (2) + 𝐵 ∙ 1 ∙ (2) + 𝐶 ∙ 1 ∙ (0) 
 3 = 2𝐵  
3
2
= 𝐵 
Asignando el valor: 𝑥 = −1. 
−(−1)2 − 1 + 3 = 𝐴 ∙ (−2) ∙ (0) + 𝐵 ∙ (−1) ∙ (0) + 𝐶 ∙ (−1) ∙ (−2) 
 
78 
M. Arias 
 
 
 1 = 𝐶 ∙ (2)  
1
2
= 𝐶 
Expresión equivalente. 
−𝑥2 + 𝑥 + 3
𝑥3 − 𝑥
= −
3
𝑥
+
3/2
𝑥 − 1
+
1/2
𝑥 + 1
 
 
Reemplazando en (1): 
∫ (
𝑥3 − 𝑥2 + 3
𝑥3 − 𝑥
) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ (−
3
𝑥
+
3/2
𝑥 − 1
+
1/2
𝑥 + 1
) 𝑑𝑥 
 
∫ (
𝑥3 − 𝑥2 + 3
𝑥3 − 𝑥
) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 − 3 ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 +
3
2
∫
1
𝑥 − 1
𝑑𝑥 +
1
2
∫
1
𝑥 + 1
𝑑𝑥 
 
El tercer y cuarto término se resuelve por sustitución y luego se tiene: 
∫ (
𝑥3−𝑥2+3
𝑥3−𝑥
) 𝑑𝑥 = 𝑥 − 3𝑙𝑛𝑥 +
3
2
ln(𝑥 − 1) +
1
2
ln(𝑥 + 1) + 𝐶 
 
∫ (
𝑥3−𝑥2+3
𝑥3−𝑥
) 𝑑𝑥 = 𝑥 − 𝑙𝑛𝑥3 + ln √(𝑥 − 1)3 + ln √(𝑥 + 1) + 𝐶 
 
∫ (
𝑥3−𝑥2+3
𝑥3−𝑥
) 𝑑𝑥 = 𝑥 + ln (
√(𝑥−1)3∙√𝑥+1
𝑥3
) + 𝐶 
 
∫ (
𝑥3−𝑥2+3
𝑥3−𝑥
) 𝑑𝑥 = 𝑥 + ln (
√(𝑥−1)3(𝑥+1)
𝑥3
) + 𝐶 
 
Autoevaluación 
Actividades de revisión e integración 
 Defina función primitiva o antiderivada de una función 𝑓. Ejemplifique. 
 Defina integral indefinida. Ejemplifique. 
 ¿Qué representa gráficamente una integral indefinida? ¿por qué? 
 Enuncie las propiedades de integración. Ejemplifique. 
 Explique el método de integración por sustitución o cambio de variable. Ejemplifique. 
 ¿Cuál es la característica de la función primitiva que resulta de aplicar el método de integración por 
sustitución? 
 Realice la deducción de la fórmula de integración por partes. 
 
79 
M. Arias 
 
 Proporcione ejemplos de funciones que se integran por el método de integración por partes. 
 ¿Cuándo se aplica el método de integración por descomposición en fracciones simples? 
 Escriba la expresión factorizada de una función polinómica con factores lineales distintos. 
 ¿Cuál es la descomposición en fracciones simples de una función racional propia, con factores 
lineales distintos? 
 Escriba la expresión factorizada de una función polinómica con factores lineales múltiples. 
 ¿Cuál es la descomposición en fracciones simples de una función racional propia, con factores 
lineales múltiples? 
 ¿Cuál es el procedimiento para integrar una función racional propia? 
 ¿Es posible que una integral se resuelva por dos o más métodos de integración? Ejemplifique. 
 Decida si la afirmación es correcta o no. Fundamente. 
a) La primitiva de una función polinómica de grado 𝑛 es una función polinómica de grado 𝑛 + 1. 
b) Si 𝑓’(𝑥) = ℎ(𝑥) entonces, ∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝐶 
c) Si 𝑝 ≠ −1, entonces ∫ 𝑥𝑝𝑑𝑥 = 𝑥𝑝+1 + 𝐶 
d) ∫[𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∙ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 
e) Toda función racional propia se resuelve sólo por descomposición en fracciones simples. 
Ejercitación 
 
 Obtenga la expresión de las primitivas o antiderivadas: 
∫ (√𝑥3 +
1
𝑥
+ 3) 𝑑𝑥 ∫ 𝑒𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 ∫
1
𝑥𝑙𝑛𝑥
𝑑𝑥 ∫ 𝑥3𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 
∫ 𝑒3𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 ∫
𝑥
𝑥−1
𝑑𝑥 ∫
𝑥−2
𝑥2−𝑥
𝑑𝑥 ∫
2
(𝑥+2)2𝑥2
𝑑𝑥 
 ¿Cuál es la expresión de la curva con pendiente en cualquier punto √𝑥
3
, que pasa por 𝑃 (1, −
1
4
)? 
 La tasa de variación de una población de animales es 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 45𝑡 + 150 al año, el tiempo se mide en 
años. ¿Cuál es la población a los 10 años si inicialmente hay 500 animales? 
 Una población de bacterias se inicia con 300 ejemplares y crece a razónde 𝑟(𝑡) = 430𝑒1.02𝑡 
bacterias por hora. ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 2 horas? 
 El volumen de una célula vegetal estuvo creciendo a una tasa 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= (12 − 𝑡)−2 milímetros cúbicos 
por día, durante 11 días. Si a los 3 días el volumen de la célula fue de 3 𝑚𝑚3. ¿Cuál fue el volumen 
a los 7 y a los 11 días?