Sistemas de Fuerza - ejemplo 1

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INGENIERÍA MECÁNICA 
Estabilidad I 
 
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SISTEMAS DE FUERZAS 
 
EQUILIBRIO Y EQUIVALENCIA 
 
Ejemplo 1 
 
Dada una fuerza �̅� que pasa por el punto A 
Se pide hallar un sistema equilibrante formado por las fuerzas (I, II y III) 
 
Vale aclarar que las fuerzas son vectores axiales, actúan sobre una recta 
de acción. 
 
Procedemos al calculo 
Adoptamos un sentido arbitrario para las fuerzas incógnitas. En este caso 
elegimos sentidos positivos (+). 
Planteamos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. 
Como incógnitas tenemos las fuerzas I, II y III 
 
Realizamos una sumatoria de fuerzas respecto de los ejes Z e Y. 
La fuerza �̅�, debemos proyectarla en los ejes Z e Y. Obtendremos las 
componentes 𝑅𝑌 y 𝑅𝑍. 
 
Ecuación 1 
∑ 𝐹𝑌 = 0 
∑ 𝐹𝑌 = 𝐼 + 𝑅𝑌 = 𝐼 − 5 = 0 
𝐼 = 5 
�̅� = (−5𝑗, −3𝑘) y pasa 
por el punto 𝐴 = (0,3,6) 
 
I coincidente con Y 
 
II coincidente con Z 
 
III paralelo a Z y pasa 
por el punto 𝐵 = (0,7,0) 
 
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Estabilidad I 
 
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Ecuación 2 
∑ 𝐹𝑍 = 0 
∑ 𝐹𝑍 = 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼 + 𝑅𝑍 = 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼 − 3 = 0 
 
Nos quedan las fuerzas II y III como incógnitas 
Para poder equilibrar el sistema debemos también equilibrar los momentos. 
 
La sumatoria de todos los momentos respecto a un punto debe ser cero. 
Las fuerzas que generan momento respecto de O son �̅� y III 
 
Calculamos el momento generado por la fuerza �̅� en el origen de 
coordenadas O. 
𝑀𝑜
𝑅 = �̅� × (𝑂 − 𝐴̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) = |
𝑖 𝑗 𝑘
0 −5 −3
0 −3 −6
| = (−9 + 30, 0, 0) = (21, 0, 0) 
 
Calculamos el momento generado por la fuerza III en el origen de 
coordenadas O. 
𝑀𝑜
𝐼𝐼𝐼 = 𝐼𝐼𝐼̅̅̅̅ × (𝑂 − 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) = |
𝑖 𝑗 𝑘
0 0 𝐼𝐼𝐼
0 −7 0
| = (7 × 𝐼𝐼𝐼, 0, 0) 
 
Realizamos la sumatoria de momentos 
 
Ecuación 3 
∑ 𝑀𝑜 = 𝑀𝑜
𝑅 + 𝑀𝑜
𝐼𝐼𝐼 = 0 
∑ 𝑀𝑜 = (21, 0, 0) + (7 × 𝐼𝐼𝐼, 0, 0) = 0 
7 × 𝐼𝐼𝐼 = −21 
𝐼𝐼𝐼 = −3 El sentido es contrario al supuesto en la ecuación 2 
 
Calculamos la última incógnita y graficamos 
∑ 𝐹𝑍 = 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼𝐼 + 𝑅𝑍 = 𝐼𝐼 − 3 − 3 = 0 
𝐼𝐼 = 6 
 
 
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Si los resultados son correctos al poner un vector tras otro debería cerrarse 
la figura. Esta condición es necesaria paro no suficiente para asegurar el 
equilibrio. El sistema podría reducirse a un par de fuerzas. 
 
Para comprobar que no se de esta situación, debemos verifica tomando 
momento respecto a otro punto. 
Podemos tomar el punto A, donde se anula el momento de �̅� pero no el 
de las 3 fuerzas calculadas. 
𝑀𝐴 = 𝐼̅ × (𝐴 − 𝑂̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) + 𝐼�̅� × (𝐴 − 𝑂̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) + 𝐼𝐼𝐼̅̅̅̅ × (𝐴 − 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) = 
 
𝑀𝐴 = |
𝑖 𝑗 𝑘
0 5 0
0 3 6
| + |
𝑖 𝑗 𝑘
0 0 6
0 3 6
| + |
𝑖 𝑗 𝑘
0 0 −3
0 −4 6
| = 
 
𝑀𝐴 = 30𝑖 − 18𝑖 − 12𝑖 = 0 
 
El momento de las 3 fuerzas en A es nulo. 
El sistema esta equilibrado.