f38952640_Ondas_y_Rotaciones

Vista previa del material en texto

Hoja de Trabajo 6 
Ondas y Rotaciones 
Aplicaciones I 
 
Jaime Feliciano Hernández 
Universidad Autónoma Metropolitana - Iztapalapa 
México, D. F. 15 de agosto de 2012 
 
 
INTRODUCCIÓN. 
 
En esta hoja de trabajo vamos a aplicar el conocimiento que hemos construido hasta 
ahora. Resolveremos varios ejercicios poniendo énfasis en los pasos y en la 
aplicación oportuna de las ecuaciones de la Cinemática. 
 
A. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS. Muchos de los problemas de Física en 
particular, y de cualquier otra área del conocimiento en general, presentan una serie 
de características identificables que nos permiten acercarnos a ellos y plantear o 
proponer soluciones. 
 
Algunos de los problemas de Física tienen componentes como: 
 
a) Planteamiento, situación o contexto. 
b) Condiciones o especificaciones. 
c) Cuestionamientos o Preguntas. 
d) Instrumentos o utensilios (como las ecuaciones). 
 
Como un ejemplo consideremos el siguiente problema: 
 
Un núcleo de un átomo de helio (una partícula alfa) viaja en el interior de un tubo 
recto de 2.0 m de longitud, que forma parte de un acelerador de partículas. a) Si se 
supone una aceleración uniforme, ¿cuánto tiempo permanece la partícula en el tubo 
si entra en éste con una rapidez de 1.0 X 10 m/s y lo abandona con 5.0 X 104 6 
m/s? b) ¿Cuál es su aceleración durante ese intervalo? 
 
En este caso es fácil reconocer los diferentes elementos que se pueden agrupar en: 
 
 
Argumento
Contexto
Preguntas
Conclusiones
Proposiciones
Condiciones
 
y en este caso los podemos representar así: 
 
 
1 
Hoja de Trabajo 6 
Elementos constituyentes del problema 
Proposición 
Un núcleo de un átomo de helio (una partícula alfa) viaja en 
el interior de un tubo recto de 2.0 m de longitud, que 
forma parte de un acelerador de partículas. 
Condición 1: Se supone una aceleración uniforme. 
Condición 2: Entra en el tubo éste con una rapidez de 1.0 X 104 m/s. 
Condición 3: Sale del tubo con 5.0 X 106 m/s? 
Condición 4: Un tubo recto de 2.0 m de longitud. 
Pregunta 1: ¿Cuánto tiempo permanece la partícula en el tubo? 
A
rg
um
en
to
 
C
on
te
xt
o 
Pregunta 2: ¿Cuál es su aceleración durante ese intervalo? 
 
O en forma de un diagrama como sigue: 
 
 
 
Tanto el Contexto como las Condiciones imponen o establecen una realidad y son la 
condición de posibilidad para las potenciales respuestas que se construyan a partir 
de esas dos premisas. Llamamos a este el Método Hermenéutico para la Solución de 
Problemas, y muestra la importancia proporcional del contexto, las premisas y las 
preguntas, para la elaboración de conclusiones y argumentos. 
 
En este método nos hacemos preguntas como: 
 
1. ¿Qué significa este concepto? 
2. ¿Qué quiere decir? 
3. ¿A qué o quién está dirigido? 
4. ¿Qué me dice a mí? 
5. ¿Qué dice ahora?, y otras más. 
 
Este Método nos conduce a un razonamiento o argumento hipotético-deductivo que 
eventualmente nos llevará a una actividad interpretativa que se puede constituir en 
un hábito, y luego en una virtud: la virtud de resolver problemas de forma ordenada, 
sistemática y eficiente. 
 
En el caso de la Cinemática, para la solución de problemas empleamos las 
ecuaciones: 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
Hoja de Trabajo 6 
 
 
Contiene a: N° de 
ecuación Ecuación x a tV 
if
if
tt
xx
t
xV
−
−
≡
Δ
Δ
≡
__
 1 
if
if
tt
VV
t
Va
−
−
≡
Δ
Δ
≡
__
 2 
( )ifif ttVxx −+=
__
 3 
( )fipromedio VVV += 2
1 4 
( )ifif ttaVV −+=
__
 5 
( )( )iffiif ttVVxx −++= 2
1 6 
( ) ( )2__
2
1
ififiif ttattVxx −+−+= 7 
( )ifif xxaVV −+=
__
22 2 8 
 
Tabla 1 
 
Para este caso, en primera instancia podemos emplear la ecuación 6 para 
conocer el tiempo, dado que conocemos las velocidades inicial y final y la distancia 
recorrida, y no necesitamos la aceleración. 
 
En segunda instancia las condiciones del problema nos sugiere usar la ecuación 8 
de esta tabla para encontrar la aceleración, dado que la partícula se mueve con 
aceleración uniforme, se conocen la distancia recorrida, las velocidades inicial y 
final. Así que, para construir la posible respuesta completa el desarrollo siguiente: 
 
( )( )iffiif ttVVxx −++= 2
1
 (6) Tenemos: 
( ) ( )( )iffiif ttVVxx −+=− 2
1
 
( ) ( )( )iffiif ttVVxx −+=−2 
( )
( ) ( )iffi
if tt
VV
xx
−=
+
−2
 
Despejamos : ft
( ) ( )( )fi
if
if VV
xx
tt
+
−
=−
2
 
( )
( )fi
if
if VV
xx
tt
+
−
+=
2
 
Considerando que 
, Porque empezamos a contar el tiempo en . 0=it 0=it
Considerando que Porque ese es el tamaño del tubo, y la distancia que 
 3 
Hoja de Trabajo 6 
( ) mxx if 2=− recorre la partícula. 
0=it 
( ) mxx if 2=− 
 
=iV ___________ 
=fV ___________ 
Sustituyendo los 
valores: 
( )
( )smsm
mt f //
220
+
+= 
-710 X 7.98403=ft Por lo tanto: 
( )ifif xxaVV −+=
__
22 2Ahora tenemos: (8) 
( )ifif xxaVV −=−
__
22 2 
( )
( )
__22
2
a
xx
VV
if
if =
−
−
 Despejando la 
aceleración: 
( )
( )if
if
xx
VV
a
−
−
=
2
22__
 
( ) mxx if 2=− 
=iV 
=fV 
Sustituyendo los 
valores: 
( ) ( )
( )m
smsma
22
// 2__ −
= 
st f
-710 X 7.98403= 
2
12
__
10 6.24998
s
mXa =Por lo tanto, tenemos: 
 
 
 
 
 4 
Hoja de Trabajo 6 
A1. MÉTODO HERMENÉUTICO PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS. Vamos a 
desarrollar algunos ejercicios aplicando lo mencionado previamente. 
 
Un auto ingresa en Concepción al puente nuevo hacia San Pedro con una rapidez de 
54 km/h, la que mantiene constante mientras recorre el puente. En el mismo 
instante en San Pedro otro auto ingresa lentamente al puente con una rapidez inicial 
de 10.8 km/h hacia Concepción, acelerando a 1 m/s2. Si la longitud del puente es 
de 1838 m. Calcular a) la posición donde se cruzan, b) la rapidez del auto de San 
Pedro en el instante en que se cruzan, ¿Qué comentario puede hacer de este 
resultado? 
 
Elementos constituyentes del problema 
Proposición1: Un auto ingresa en Concepción al puente nuevo hacia San Pedro. 
Proposición 2: En el mismo instante en San Pedro otro auto 
ingresa lentamente al puente hacia Concepción. 
Condición 1: El primer auto entra con una rapidez de 54 km/h. 
Condición 2: El segundo auto entra con una rapidez inicial de 10.8 km/h. 
Condición 3: El primer auto mantiene constante la velocidad mientras recorre el puente. 
Condición 4: La aceleración del segundo auto es de 1 m/s2. 
Condición 5: El puente tiene una longitud de 1838 m. 
Condición 6: Ambos autos entran al mismo tiempo al puente. 
Condición 7: 
Para que haya cruce ff xx 21 = , cada una medida 
desde su lado. 
Pregunta 1: ¿Cuál es la posición donde se cruzan? 
A
rg
um
en
to
 
C
on
te
xt
o 
¿Cuál es la rapidez del auto de San Pedro en el Pregunta 2: instante en que se cruzan? 
 
Podemos ver que: 
 
Auto 1: 
( )ifif ttVxx −+=
__
1
(3) 
hr
kmV i 541 = 
hr
kmV f 541 = 
Por la Condición 
3: 
En el momento en el que se cruzan la velocidad del auto 1 sigue 
siendo la misma. 
Cada auto mide 
su posición 
desde el lado 
donde entra al 
puente. 
 
 
Suponiendo que 
; ff tVx
__
1 = 01 =ix 0=it
 5 
Hoja de Trabajo 6 
Sustituyendo el 
valor de la 
velocidad, que es 
constante (por la 
Condición 3): 
ff tx 541 = 
Podemos 
cambiar las 
unidades de 
hr
km
 
a 
s
m
: 
ff skmhr ⎟⎠⎜⎝⎟⎠⎜⎝⎠⎝ 36001
1 t
hrmkmx ⎟
⎞
⎜
⎛
⎟
⎞
⎜
⎛
⎟
⎞
⎜
⎛=
1100054 
ff ts
mx ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= 151 C1Por lo tanto: 
Auto 2: 
( ) ( )2__
2
1
ififiif ttattVxx −+−+=
Podemos usar la 
ecuación 7: 
 (8)
s
m
s
hr
km
m
hr
kmV i 33600
1
1
10008.102 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=Por la Condición 
2: 
 
21 hr
kma =Por la Condición 
4: 
 
( ) mxx if 1838=−Por la Condición 5: 
( ) ( )2__2 2
1
ififiif ttattVxx −+−+=
Sustituyendo en 
la ecuación 7: 
 (7)
Suponiendo que 
 ( ) ( )2__2 02
100 −+−+= ffif tatVx02 =ix 
0=it 
2
22 12
13 fff thr
kmt
s
mx ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= C2 
ff ts
mx ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= 151C1: 
 Concluimos que: 
2
22 12
13 fff thr
kmt
s
mx ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=C2: 
Por la Condición 
7: 
 
Por la Condición 
5: ffxx 21 1820 −= 
 
 
 
 6 
Hoja de Trabajo 6 
2
212
13182015 fff thr
kmt
s
mt
s
m
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 
( ) ( ) 21
2
131518200 ff tt −+−= 
Podemos 
conocer el 
momento en el 
que se cruzan, 
resolviendo esta 
ecuación de 
segundo grado, 
ya que el tiempo 
es absoluto e 
igual para 
ambos autos. 
( ) 25.01818200 ff tt −−= 
a
acbb
t f 2
42 −±−
=±
Podemos usar la 
fórmula: 
1820
18
5.0
=
−=
−=
c
b
a
Los coeficientes 
son: 
 
80.960305s-=ft 
Obtenemos dos 
soluciones: 
ó 
44.960305s=ft 
El tiempo 
negativo no tiene 
aplicación aquí: 
44.960305s=∴ ft 
Ya conocemos el 
tiempo, por lo 
que podemos 
usar 
nuevamente la 
ecuación 3 para 
encontrar la 
posición donde 
se cruzan, 
respecto a la 
entrada del auto 
1: 
( )ifif ttVxx −+=
__
1
 
Sustituyendo los 
valores: 
( )044.96030515010=ix ; ; 0=it fx = + − 
s
mV 15
__
= : 
mx f 3674.4045741 = Por lo tanto: 
Es decir que el 
auto 1 se cruza 
con el auto 2 a 674.4045743m 
del punto donde 
entró al puente: 
 
Podemos hacer una gráfica de las conclusiones C1 y C2: 
 7 
Hoja de Trabajo 6 
 
 
Claramente nos centramos en el cuadrante de y porque el tiempo 
“fluye” hacia el futuro, y las distancias “siempre” son positivas. 
0≥t 0)( ≥tx
 
Pero si no tuviéramos estas restricciones ¿cómo se interpretaría el cruce en el 
tercer cuadrante? ¿Acaso los autos se encontraron unos 81 segundos en el pasado, 
y a casi 1200 metros antes de entrar al puente? 
 
 
 
 8 
Hoja de Trabajo 6 
A2. EJERCICIOS Y PROBLEMAS. 
 
Emplear el Método Hermenéutico para resolver los siguientes problemas de 
Cinemática: 
 
Ejemplo 1. En la figura se muestra el gráfico 
rapidez/tiempo para una partícula que se 
mueve en dirección positiva del eje x. 
 
a) Calcular el desplazamiento de la partícula. 
 
b) Hacer el gráfico aceleración/tiempo. 
 
c) Determinar las ecuaciones de movimiento 
en cada intervalo de tiempo. 
 
d) Calcular su posición en los instantes 5, 10 
y 20 segundos. 
 
Ejemplo 2. Usted frena su Porsche desde la 
velocidad de 
hr
km85
hr
km45 hasta en una 
distancia de . a) ¿Cuál es la 
aceleración, suponiendo que sea constante 
en el intervalo? b) ¿Qué tanto tiempo 
transcurrió durante el intervalo? c) Si usted 
fuera a continuar frenando con la misma 
aceleración, ¿qué tanto tiempo le tomaría 
detenerse y qué distancia adicional tendrá 
que cubrir? 
m105
 
 
 
A3. ACTIVIDAD INDIVIDUAL. Entregar un reporte virtual al correo electrónico del 
profesor y del ayudante, conteniendo la integración de los conocimientos construidos 
en esta actividad, que consiste en: 
 
a) El mapa conceptual Individual, los elementos que se han ido agregando en 
cada punto. 
a) El mapa conceptual del equipo. 
b) Las respuestas personales. 
c) Las aportaciones del equipo. 
 9