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ESCUELA UNIVERSITARIA DE ESTUDIOS EMPRESARIALES
DIPLOMATURA EN CIENCIAS EMPRESARIALES
(PRIMER CURSO)
RELACIÓN DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS SOBRE
ANÁLISIS DE UNA CARACTERÍSTICA
(DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES)
CURSO 2006-07
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1. En el Departamento de Personal de una fábrica se ha realizado una investigación estadística en
relación a los salarios en € percibidos por los trabajadores diariamente. Los resultados de la misma
arrojaron los siguientes valores:
30 40 33 30 34 31 39 38 38 40
39 37 39 32 30 35 40 38 40 36
30 32 35 38 34 38 37 35 35 37
35 33 37 36 32 36 37 34 36 33
36 30 33 39 32 30 39 37 37 34
31 36 38 31 38 36 39 31 36 35
A partir de dicha información, se pide:
a) Obtenga la distribución de frecuencias sin agrupar para dicha variable, repitiendo la operación
agrupando la misma en cuatro intervalos de amplitud constante.
b) Calcule la media, moda y mediana para los datos originales y para los datos agrupados. ¿A qué
se deben las diferencias?
c) Realice la representación gráfica de la variable a través del correspondiente histograma. Dibuje
el diagrama acumulativo de frecuencias para el caso de la distribución agrupada.
2. Para una determinada empresa, los precios en € de los artículos producidos en un determinado
ejercicio vienen dados por la siguiente distribución:
Precios 5-15 15-25 25-35 35-45
Frecuencias 15 k 2k 5
A partir de tales cifras, se quiere conocer:
a) El valor de la constante k si se sabe que el precio medio es de 25.
b) Los valores de mediana, moda, varianza y desviación típica para dicha variable.
c) El tercer cuartil y el percentil de orden 85.
3. Una fábrica produce barras de acero utilizando una máquina, cuyas características hacen que la
longitud de éstas no pueda ser mayor de 50 cm. Para una determinada hora de funcionamiento de dicha
máquina, las longitudes de las barras producidas fueron las siguientes:
Longitud ≤10 (10,20] (20,25] (25,30] (30,40] >40
Nº de barras 5 10 25 35 22 23
a) Determine para esa hora, si es posible, los valores de la media, mediana, moda, varianza,
percentil de orden 35, cuarto decil y primer cuartil.
b) Suponiendo que la longitud máxima es de 50 cm. y que el primer intervalo es (0,10], obtenga el
histograma y calcule las medidas del apartado a).
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4. En dos empresas se dan las siguientes distribuciones de salarios mensuales (en €) para sus
trabajadores:
EMPRESA A EMPRESA B
Salarios Nº empleados Salarios Nº empleados
900 10 1000 10
1000 15 1100 15
1100 40 1200 40
1200 25 1300 25
1300 10 1400 10
En función a tales distribuciones, responda a las siguientes preguntas:
a) Calcule los salarios medios.
b) ¿Cuál de las dos tiene menor dispersión? ¿Para qué empresa resulta más representativo el salario
medio?
c) ¿Cuál de las dos empresas se encuentra con una distribución de los salarios más equitativa?.
Para responder, dibuje las correspondientes curvas de Lorenz y determine los índices de Gini.
5. Conocemos los siguientes datos acerca de dos subpoblaciones (A y B) en las que se encuentra
dividida una determinada población:
Dato/Subpoblación A B
Nº elementos 100 200
Media 2 5
Desv. Típica 3 4
A partir de tales cifras, calcule la media y la varianza para el conjunto de la población.
6. Dada la siguiente distribución de frecuencias:
xi 0 1 2 3
ni 10 15 19 9
¿Sería más adecuada una media aritmética, geométrica o armónica? Razone la posible respuesta.
7. De una determinada distribución unidimensional sabemos que el recorrido de la variable es 60, y
que la misma está dividida en seis intervalos de amplitud constante. Conocemos también que las
frecuencias correspondientes a los distintos intervalos (ordenados de menor a mayor) son,
respectivamente, 7, 11, 15, 10, 5 y 2, y que la media aritmética toma un valor de 35,2.
A partir de esta información, se pide:
a) Determine la distribución de frecuencias para dicha variable y represéntela gráficamente.
b) Calcule la moda, mediana, desviación típica y los dos cuartiles que restan para dicha variable.
c) Determine el grado y tipo de asimetría de la distribución. Si es posible estudie el grado de
apuntamiento o curtosis.
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8. Los operarios de una determinada sección de una empresa recibieron durante el pasado año un
salario de 12.000 € fijos más un plus de 7’5 € por hora extra trabajada. Para tal ejercicio, se conoce que
la distribución del número de horas extras realizadas por tales empleados fue la siguiente:
Nº horas extra [100,110] (110,120] (120,130] (130,140] (140,160] (160,180]
Nº trabajadores 5 10 30 25 25 5
Desde tal información, determine para tal ejercicio:
a) El salario medio por obrero
b) La varianza de tales salarios
c) Los límites salariales que definen el 50 % de la distribución central para los salarios en tal
sección. ¿Cuál es el salario que define que divide la masa salarial en dos partes iguales?
9. Dada una distribución de frecuencias de una variable que define las ventas para una determinada
empresa durante el pasado mes con valores agrupados en intervalos, sólo conocemos de la misma las
amplitudes y las frecuencias absolutas de cada uno de tales intervalos, las cuales se presentan en la
siguiente tabla, suponiendo una ordenación creciente de los intervalos:
Frecuencias 10 25 32 16 14 21 42
Amplitudes 50 25 50 25 25 25 50
Para esta variable, sabemos también que el 90 % de los valores de la variable son mayores que 156.
Con estos datos, se pide:
a) Represente gráficamente la distribución de frecuencias y obtenga, desde ella, una primera
aproximación de los valores de la media, la mediana y la moda.
b) Calcule los valores de la media, la mediana, la moda, la varianza, la desviación típica, el
coeficiente de variación y el recorrido intercuartílico para esta variable.
10. Consultada la revisión del Padrón Municipal de Habitantes de Andalucía a 1 de enero de 2001, la
tabla adjunta proporciona la distribución de la población en Andalucía occidental (Cádiz, Córdoba,
Huelva y Sevilla) y en Andalucía oriental (Málaga, Granada, Almería y Jaén), según el tamaño del
Municipio:
ANDALUCÍA OCCIDENTAL ANDALUCÍA ORIENTAL
Tamaño del Nº habitantes Nº Nº habitantes Nº
municipio (miles) municipios (miles) municipios
Hasta 10.000 792 226 911 410
10.000-30.000 1.000 58 582 37
30.000-100.000 631 12 630 14
Más de 100.000 1.687 7 1.171 5
Desde esta información, se pide que responda a las siguientes cuestiones:
a) ¿Está más concentrada la población en Andalucía occidental, en Andalucía oriental o en el
conjunto de la región? Utilice la curva de Lorenz y el índice de Gini para responder a esta pregunta.
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b) ¿Cuál es el tamaño medio en número de habitantes por municipio en ambas zonas y en el
conjunto?
11. La tabla adjunta muestra el salario mensual de los 720 trabajadores de una empresa para el pasado
año:
Salarios (en €) 720 830 950 1.100 1.200 1.350
Nº trabajadores 300 200 100 60 40 20
A la hora de renovar el convenio colectivo, la dirección de la empresa presenta dos alternativas a los
trabajadores:
i) Aumento proporcional del 5% en el salario de cada trabajador.
ii) Aumento lineal de 50 € en el salario de cada trabajador.
Desde de esta doble posibilidad, y teniendo en cuenta que a la dirección de la empresa le es indiferente
cualquier de las dos opciones, se quiere conocer por parte de los negociadores sindicales:
a) ¿Cuál de las dos alternativas daría lugar a una menor dispersión?
b) ¿A partir de qué salario es preferible el aumento proporcional? ¿Qué porcentaje de trabajadores
estarían beneficiados por éste?
12. Durante cuatro años, una familia compró leña para la chimenea de su casa a los precios de precios
8, 9, 10, 12 céntimos de € por Kg. Se quiere conocer el coste medio de la leña consumida por esta
familia en estos 4 años, bajo los siguientes supuestos:
(1) Se consume la misma cantidad de leña cada año.
(2) Se gasta la misma cantidad de dinero en leña cada año.
13. En tres empresas se dan las siguientes cifras de producción total y productividad media porempleado:
COMPAÑÍA A B C
PRODUCCIÓN (UNIDADES) 200 350 400
PRODUCTIVIDAD POR EMPLEADO 0,5 0,7 0,8
Se desea conocer cuál sería el valor que alcanzaría la productividad media por empleado para el
conjunto de las tres empresas.
14. La compañía de seguros EL CASTAÑAZO, S.A., especializada en el ramo de los automóviles,
reúne los datos referentes a los ingresos obtenidos por las pólizas a todo riesgo para automóviles
durante 1993, para cada uno de los distintos niveles de precios, obteniéndose la siguiente información:
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Precio de la póliza (103 Pts.) Ingresos totales (106 Pts.) Porcentaje de pólizas
Menos de 85 28 35
85-100 23 25
100-120 22 20
120-150 13 10
Más de 150 18 10
Como información adicional, conocemos también que hay 200 pólizas contratadas con un importe
superior a las 120.000 pesetas. Desde estos datos, se le pide que responda a las siguientes cuestiones:
a) ¿Diría usted que el coste medio de una póliza contratada en esta compañía es representativo?
Razone su respuesta.
b) ¿Cree que una gran parte de los ingresos obtenidos por la compañía se concentran en un número
reducido de pólizas? Cuantifique su respuesta.
c) ¿Qué porcentaje de pólizas costaron menos de 100.000 Pts? ¿Qué porcentaje de ingresos
representaron tales pólizas?
d) Ante el gran aumento de los siniestros, la empresa proyecta una subida en el importe de las
pólizas, pero duda entre un aumento lineal de 12.000 pts. y uno proporcional del 12 %. ¿A partir de
qué precio le interesará a un cliente la subida lineal de 12.000 pts. en su póliza?
15. Dos empresas del mismo grupo y pertenecientes al mismo sector productivo, pero ubicadas en
regiones distintas, han manifestado a la dirección general de la compañía su descontento por las
retribuciones salariales que están percibiendo. La empresa localizada en la región 2 manifiesta que su
salario medio es inferior al de la que está en la región 1, argumentando además que la dispersión en sus
salarios es menor, a pesar de que el sueldo máximo que se pueda percibir en esta empresa supere al
sueldo máximo de la empresa ubicada en la región 1. Además, argumentan que la productividad media
por empleado para el conjunto de la empresa supera a la de la región 1, siendo igual dicha
productividad por empleado para cada una de las categorías en que se considera dividida la empresa.
Conocemos la siguiente información acerca de las dos empresas en conflicto:
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Empresa ubicada en Región 1 Empresa ubicada en Región 2
Categoría
Laboral
Salario
Mensual
(103 pts.)
Nº
Empleados
Productividad
por mes y
empleado
Salario
Mensual
(103 pts.)
Nº
Empleados
Productividad
por mes y
empleado
90-120 24 85-115 10
A
120-150 36
0’5
115-145 42
0’5
150-180 20
B
180-210 20
0’7 145-170 35 0’7
170-220 20
C 210-240 50 0’8
220-250 23
0’8
Desde esta información, se le pide:
a) Comparar las medias salariales para ambas empresas, la representatividad de las mismas, y la
productividad media por empleado para el conjunto de las dos empresas. En base a las cifras
alcanzadas, confirme o deniegue los argumentos dados por la empresa de la región 2.
b) Determine para la empresa ubicada en la región 1 el salario cobrado por un mayor número de
trabajadores
c) Calcular el intervalo salarial, para la empresa ubicada en la región 2, que abarca el 94 % de la
distribución central de la misma.
La dirección afirma que, si bien es cierto que existe una diferencia en el salario medio del conjunto de
las dos empresas, no existe tal diferencia en cuanto a la productividad. Por ello, propone un aumento
proporcional del 5 % en los salarios de la empresa ubicada en la región 2, con objeto de que aumente la
media salarial. Adicionalmente, propone reducir proporcionalmente en cada nivel salarial la plantilla en
un 2 % para la empresa ubicada en la región 1. A partir de tales modificaciones, se quiere conocer:
d) ¿Cuáles serán las nuevas situaciones de las dos empresas en cuanto a las medias salariales, la
representatividad de las mismas y las respectivas productividades?
16. El director de una cadena hotelera que dispone de 4.700 plazas, ha estado recopilando datos sobre el
rendimiento diario de cada plaza, observando que en la mitad de éstas el rendimiento diario es superior
a las 250 pts., pero sólo 590 tenían un rendimiento superior a las 350 pts. por día. Con ayuda de la
secretaría, agrupó los datos en 6 intervalos de igual amplitud, y observó que tenían una distribución
simétrica, con un recorrido de 300 pts. La secretaria se percató, además, de que sólo 2.700 plazas tenían
rendimiento superior a las 150 pts., pero no superior a 300 pts. por día, lo que le hacía pensar que no
habría mucha dispersión entre los rendimientos diarios. Desde estos planteamientos:
a) ¿Podría usted comentar la opinión de la secretaria?
b) Si se produce una subida de los precios diarios del 15%, ¿cuánto aumentará en términos
absolutos la recaudación diaria de esta sociedad, supuesto que se mantiene la misma distribución?
c) Determine el coeficiente de variación para la distribución, antes y después de la subida.
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17. Las cifras de impuestos recaudados durante un determinado ejercicio en la República de Turulandia
vienen recogidos en la siguiente tabla:
Cuota a pagar (104
pts.)
Nº de unidades familiares
(103)
Total de recaudación (107
pts.)
0-5 25 75
5-10 36 288
10-18 45 630
18-25 39 819
Más de 25 15 405
A partir de dicha información, se pide:
a) Calcular la cuota media con la que contribuyen las unidades familiares de Turulandia. ¿Diría
usted que es representativa?
b) ¿Cree que el peso de la recaudación se concentra en un número reducido de unidades
familiares? Cuantifique su respuesta.
c) Calcule aquella cuota tal, que la recaudación total que se sitúe por debajo de ella constituya,
globalmente, un volumen igual que la de la que se sitúe por encima de dicha cuota.
18. En una determinada ciudad se ha realizado un estudio del precio del m2 construido de vivienda
durante el año 1991. En uno de sus distritos, se han construido 59.300 m2 de vivienda. La siguiente
tabla muestra los datos correspondientes a las viviendas construidas en el mismo:
Precio de venta del m2 de vivienda
(104 pts.)
Nº de m2 construidos Volumen de ventas
(106 pts.)
8-10 10.800 885’6
10-11 15.000 1.545
11-13 20.900 2.466’2
13-16 9.600 1.344
16-20 3.000 516
Total 59.300 6.756’8
Desde los datos ahí reflejados, responda a las siguientes preguntas:
a) Si se consideran viviendas de protección oficial (VPO) aquellas cuyo precio es inferior a las
102000 pts./m2, ¿qué porcentaje de m2 construidos correspondería a las mismas? Explique en qué
basa su estimación.
b) Halle el precio medio del m2 de vivienda construida e interprete si la media representa bien al
total de lo construido, en virtud de la correspondiente dispersión.
c) Un 20% de los m2 construidos, los más caros, corresponden a viviendas catalogadas de “lujo”.
¿Qué precio mínimo ha de tener el m2 de una vivienda para ser definida como de lujo?
d) En los precios reflejados en la tabla anterior no se incluye un 13 % de IVA, el cual lógicamente
tiene que pagar el comprador de la vivienda. Si el IVA se aplica sobre el precio de venta, ¿qué
precio medio tiene el m2 para el comprador de la vivienda? ¿Qué representatividad tendría dicho
precio medio?
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e) Para otro distrito de esa misma ciudad, próximo al analizado, se conoce que se construyeron
viviendas por un total de 30000 m2 durante 1991, y que el precio medio se situó en las 120000
Ptas./ m2, con una desviación típica de 25000 Ptas./ m2. Si hubiésemos hecho el estudio en ambos
distritos conjuntamente, ¿cuál sería el precio medio del m2 construido? ¿Qué representatividad
tendría tal precio medio?
19. Ante la actual coyuntura económica, la dirección de SOFTINGSA, empresa de ingeniería del
software, desea realizar una disminución de plantilla, para lo que solicita del Gabinete de Recursos
Humanos un informe que comprenda, al menos, los aspectos que a continuación se relacionan, y que
usted tendrá que valorar:
a) Salarioque percibe el mayor número de empleados
b) Salario mínimo que percibe el 50% de los empleados de mayor salario
c) Salario que divide en partes iguales el volumen salarial de la empresa
Para poder acometer el análisis, la empresa nos proporciona la siguiente información acerca de la
distribución salarial en la misma para el último mes:
Categoría
Profesional
Salario
(103 pts.)
Nº de empleados Volumen salarial
(106 pts.)
A 70-110 30 3
B 110-135 50 6
C 135-165 80 12
D 165-190 100 18
E 190-230 120 24
Dicho estudio pone de manifiesto la inversión de la pirámide salarial de esta empresa, planteándose la
reducción del 50 % en la plantilla y en el volumen salarial de la categoría D, y en un 75 % en la
categoría E. A partir de tal modificación, la dirección ha quedado satisfecha con la nueva distribución
ya que, no sólo se adecua más a la situación actual y a las características de la empresa sino que, desde
el punto de vista estadístico, la distribución de la plantilla presentaría una mayor simetría y
homogeneidad. Al objeto de que pueda juzgar adecuadamente lo planteado, valore las siguientes
cuestiones:
d) La distribución es simétrica (halle media, mediana y moda).
e) La distribución es más homogénea, en el sentido que la dispersión relativa sea menor que la
anterior.
f) Compare la situación de la empresa, antes y después de la disminución de plantilla, en cuanto a
concentración.
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20. A principios de año, los interventores de 45 municipios elaboraron los presupuestos anuales de sus
respectivas localidades, resultando la siguiente distribución para los mismos:
PRESUPUESTO (106 PTS.) NÚMERO DE MUNICIPIOS
0 a 50 8
50 a 110 12
110 a 180 15
180 a 250 10
Se conoce también que, por exigencias del gobierno central, todos los municipios dedican el 10 % de
su presupuesto a festejos y el 15 % a transportes. A partir de esta información, se quiere conocer:
a) ¿Cuál sería el presupuesto mínimo que tendría que dedicar un municipio a festejos para estar
considerado entre el 50 % de los que mayores partidas dedican a este fin?
b) ¿Qué presupuesto dedica la mayoría de los municipios a transporte?
c) ¿Cómo afectaría a los resultados de los apartados anteriores una subvención a todos los
municipios de 2 millones de pesetas?
En una de las localidades pertenecientes a la anterior distribución, desarrollan su actividad dos bancos
de reconocido prestigio, el Banco del Norte y el Banco del Sur. A partir de los datos acerca de la
distribución de los salarios para el Banco del Norte en esa población, trate de responder a las siguientes
preguntas:
CATEGORÍA SALARIO (103 PTS.) Nº DE TRABAJADORES
A 50-130 19
B 130-190 18
C 190-350 3
d) ¿Cuál sería el grado de concentración en tales salarios?
e) Suponiendo que el número de asalariados en cada categoría en el Banco del Sur es proporcional
al de los asalariados en el Banco del Norte, determine el grado de concentración en aquella entidad.
f) Si el Banco del Norte decide aumentar los salarios en un 20 %, ¿cuál sería el nivel de
concentración de la nueva distribución de salarios?
21. Disponemos de información sobre los volúmenes de compras realizados por los clientes de un gran
almacén en nuestra ciudad un día cualquiera:
Valor de las compras
(103 pts.)
Porcentaje de clientes Volumen total de compras
(103 pts.)
(0,1] 25 375
(1,2] 20 700
(2,5] 30 2.775
(5,8] 15 2.550
Más de 8 10 2.625
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Sabemos, además, que el número de clientes cuyo volumen de compras se encuentra comprendido
entre las 1.000 y las 5.000 pesetas fueron de 1.250. Se quiere conocer, a partir de estos datos:
a) El valor medio de las compras de los clientes y su dispersión. Comente si ésta es grande o
pequeña.
b) Si al 10% de los clientes de mayor gasto en compras se les regala un obsequio, al
considerárseles clientes preferentes, ¿cuál debe ser el gasto mínimo en compras para que un cliente
esté incluido en este estrato?
c) Si las compras anteriores llevan incluido un 13 % de IVA, ¿cuál sería el valor medio de las
compras sin considerar el IVA? ¿Qué grado de dispersión relativa existiría en tal distribución?
d) ¿Cuál sería el valor de la compra tal, que divida el volumen total de compras en dos grupos
iguales? ¿Qué porcentaje de clientes habría en cada grupo?
e) ¿Qué grado de concentración existiría en de estas compras? Responda desde el cálculo de algún
indicador específico.
22. En cierta localidad se ha observado la temperatura máxima registrada en varios días de verano,
obteniéndose la siguiente tabla de frecuencias de las temperaturas (en grados centígrados):
Temperatura (ºC) Nº días
(10,20] 8
(20,25] 7
(25,30] 12
(30,35] 10
(35,45] ?
Desde esa información, responda a las siguientes cuestiones:
a) Sabiendo que la temperatura media ha sido de 29’05º C, halle la temperatura mediana. Utilice el
dato de este apartado para dar respuesta a los siguientes apartados.
b) Represente el histograma y determine la asimetría por medio de alguno de los coeficientes
estudiados.
c) Si convertimos todas las temperaturas de grados centígrados a grados Fahrenheit por medio de
la fórmula F=C·9/5+32, ¿cuál sería la media y la desviación típica para la temperatura de esos días
en grados Fahrenheit?
d) El Servicio Meteorológico afirma que el 90% de los días hay una máxima inferior a 38º C en esa
localidad. ¿Se presenta dicha circunstancia en los datos recogidos?
23. Un grupo de expertos en análisis cuantitativo ha realizado un estudio sobre el consumo semanal de
alcohol (variable Y) en un determinado conjunto de individuos a partir de la siguiente información:
Y Número de personas
0-2 36
2-10 49
10-20 80
20-35 100
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Desde los datos aquí recogidos, dé respuesta a las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el consumo semanal de alcohol más frecuente?
b) Construye un intervalo para el consumo de alcohol, tal que contenga el 95 % central de la
frecuencia.
c) Basándonos con otro criterio de medida el consumo de alcohol (Y’=Y/2+1), ¿cómo se
modificaría la dispersión relativa de la nueva distribución (medida a través del coeficiente de
variación) respecto de la primitiva?
d) Representa el histograma de Y e interpreta a partir del mismo el tipo de asimetría que presenta
la variable.
24. La empresa A tenía una plantilla compuesta por 2000 trabajadores en el año 1998, en tanto que en
el año 1999 el total de empleados de la misma disminuyó un 10 % en cada uno de los estratos
salariales, merced a las jubilaciones y prejubilaciones habidas el 31 de Diciembre de 1998, y a que no
se contrató ningún trabajador nuevo. La distribución de la masa salarial global correspondiente al año
1998 supuso un coste global para la empresa de 4000 millones de pesetas, el cual se puede desglosar de
la siguiente forma:
SALARIO ANUAL (103 pts.) MASA SALARIAL (106 pts.) Nº TRABAJADORES
850-1000 180 200
1000-1500 440 400
1500-2000 800 500
2000-2750 840 400
2750-3500 840 300
3500-5000 900 200
A pesar de haber disminuido el número de trabajadores, la masa salarial por estratos de la empresa en
1999 no varió, lo que no es óbice para que los sindicatos muestren su descontento con la situación
salarial de sus representados en la negociación colectiva que se llevó a cabo durante los últimos meses
de 1999 para el año 2000. En la misma, basándose en los datos de 1998, se plantearon por parte de los
trabajadores diversas afirmaciones, a saber:
1. Aunque la media salarial aumentó entre los años 1998 y 1999, la dispersión relativa de tales
salarios aumentó.
2. El salario que cobraba la mayor parte de trabajadores en 1998 se situó sensiblemente por debajo
de las 900.000 pesetas anuales.
3. En 1998, el 10 % de los trabajadores que cobraba más, se llevó más del 20 % de la masa salarial
total de la empresa.
4. El 60 % de los trabajadores cobraba por debajo de 1.800.000 pesetas en 1998.
¿Estaría usted de acuerdo con tales afirmaciones? Razone sus respuestas con los cálculos estadísticos
que estime más oportunos.
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25. A partir de los datos sobre el paro registrado en la comunidad autónoma de Andalucía en 1997 queaparecen en la siguiente tabla, responda a las cuestionen que se relacionan a continuación.
Rango de edad (años) Nº personas (miles)
(18,20] 35’1
(20,25] 71’1
(25,55] 304’9
(55,65] 32’4
a) ¿A qué edad el número de parados es mayor?
b) Calcula la dispersión relativa de la edad de los parados.
c) ¿Qué edad máxima tiene el 90 % de los parados de menor edad?
d) Se pretende establecer una política laboral que potencie la contratación de los parados en
función de su edad. Para ello, se establece una subvención en dinero (en pesetas) para las
contrataciones que se realicen, según la cual, el dinero que recibiría la empresa sería igual al
producto entre la edad del trabajador y la constante 369’23. No obstante, y en función de las
disponibilidades presupuestarias, no se podría subvencionar cualquier número de contrataciones,
por lo que se proponen dos tipos de políticas de subvenciones alternativas:
i) La subvención sólo se aplicaría a las 5000 primeras contrataciones que se realicen en cada
rango de edad.
ii) La subvención sólo se aplicaría al 25 % de las primeras contrataciones que se realicen en
cada rango de edad.
¿Cuál sería la subvención media otorgada si se aplicase la primera política de subvenciones y si se
aplicase la segunda?
26. El Departamento de estudios de una conocida compañía de suministros telefónicos que ofrece,
entre sus servicios, conexión a internet de sus usuarios, ha llevado a cabo un estudio durante el último
mes (mayo), de acuerdo a la facturación realizada por este servicio, sobre los clientes que no tienen
contratada tarifa plana ni ningún tipo de bono. De este análisis, se desprende la información relativa al
número de conexiones a internet realizadas por tales usuarios:
Número de conexiones/mes Porcentaje de usuarios
0-5 20
5-15 20
15-30 10
30-60 35
60-90 15
Se sabe también que para 45.000 de tales clientes, el número de conexiones fue superior a 60. A partir
de tales datos, y de toda la información anterior, se desea conocer para este mes y el colectivo de
clientes analizado:
a) ¿Cómo sería el histograma de frecuencias correspondiente a esta distribución? Realice para ello
la correspondiente representación gráfica y comente las características más relevantes de la misma.
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b) ¿Cuál es el número más frecuente de conexiones establecidas por un cliente? Razone su
respuesta e indique si tal medida es exacta o aproximativa y, en su caso, si se estableció algún tipo
de hipótesis para poder llegar a calcular tal cifra, indicando la misma.
c) ¿Cuál es el número medio de conexiones establecidas por un usuario? ¿Considera tal media
como representativa? Razone su respuesta.
d) Si se quisiera primar al 20 % de los clientes que realizan un mayor número de conexiones
rebajando el precio pagado por aquellos, ¿a partir de qué número de conexiones al mes se
establecería el precio más reducido?
e) A fin de incentivar el hábito de conexión a internet, se ha planteado una oferta para el próximo
mes mediante la cual cualquier conexión se facturará a 75 céntimos de euro, siempre y cuando se
dieran de alta en el servidor de la compañía antes del pasado día 30. De los estudios realizados por
la compañía derivados del número de contrataciones realizadas, del historial de conexiones
efectuadas, y de su experiencia en otros países, se prevé un crecimiento del 90 % en las conexiones
realizadas en julio respecto de las computadas para el mes de mayo, manteniéndose la estructura de
la distribución de frecuencias de ese mes. Desde estas previsiones, ¿cuál sería la nueva media de
conexiones? ¿Cuáles serían los ingresos totales de la compañía por este concepto? Razone sus
respuestas.
27. Un gimnasio está estudiando las horas de mayor asistencia de sus socios, al objeto de mejorar o
reforzar determinadas actividades en determinados horarios, teniendo en cuenta que los socios pagan
una determinada cuota mensual, que depende del horario elegido. En este sentido, existen cinco
posibilidades de horario, entre las cuales los socios pueden elegir:
-Asistir entre las 8 y las 10 horas, en cuyo caso el socio pagaría la tarifa 1.
-Asistir entre las 10 y las 13 horas, en cuyo caso el socio pagaría la tarifa 2.
-Asistir entre las 13 y las 16 horas, en cuyo caso el socio pagaría la tarifa 3.
-Asistir entre las 16 y las 19 horas, en cuyo caso el socio pagaría la tarifa 4.
-Asistir entre las 19 y las 21 horas, en cuyo caso el socio pagaría la tarifa 5.
Actualmente el gimnasio cuenta con 1.200 socios, y se sabe que los socios que pagan la tarifa 1 son el
10 % del total, en tanto que los que pagan la tarifa 3 son el 15 %, y las otras tres tarifas cuentan con
igual proporción de socios. Desde esta información, se pide:
a) Calcule la hora de mayor asistencia de socios a las instalaciones del gimnasio.
b) Calcule la franja horaria central del día, dentro de la cual asisten el 50 % de los socios.
c) Calcule la tarifa media que cobra el gimnasio y su representatividad en términos del coeficiente
de variación. Comente los resultados.
d) Determine la recaudación mensual del gimnasio.
e) Estudie si existe o no concentración en la recaudación mensual según los horarios o tarifas.
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28. En una empresa dedicada al envío a domicilio de comida preparada, se han recogido, durante las
últimas semanas, datos de los pedidos, tomando nota de sus correspondientes precios, obteniéndose la
siguiente distribución:
Precio pedido (€) Número de pedidos
(9,12] 25
(12,14] 30
(14,16] 35
(16,18] 25
(18,22] 20
A partir de tal información, dé su opinión acerca de las siguientes cuestiones:
a) ¿Cuál fue el precio más frecuente?
b) ¿Es importante la dispersión relativa respecto del precio medio? Razone su respuesta.
c) Se quiere ofrecer un servicio de máxima urgencia en los pedidos más caros, aquellos que tienen
un precio superior a los 17'5 euros. ¿A qué porcentaje de los pedidos afectaría este servicio? Razone
su respuesta.
d) Ante la competencia existente en el sector, se está planteando una variación en los precios en
dos pasos:
i) Reducción del 10 %
ii) Aumento constante de 1 euro para cada pedido
Considerando los precios resultantes, ¿cuál sería el ingreso total de la empresa si se mantuviera la
misma distribución de frecuencias?
29. En la tabla que se ofrece a continuación se muestra la superficie útil de las viviendas principales en
m2 para un barrio de Sevilla:
Superficie útil (en m2) Número de viviendas Total de m2 (en miles)
Menos de 60 800 40
(60,90] 2.000 150
(90,120] 1.000 100
(120,150] 350 47’6
Más de 150 360 64’8
Total 4.510 402’4
Desde esa información, se pide:
a) Calcule la superficie útil media y cuantifique su representatividad en términos de una medida de
dispersión relativa.
b) ¿Cuántos m2 tiene la vivienda que utilizan con mayor frecuencia estas familias de Sevilla?
c) ¿Cuántos m2 tiene la vivienda que divide al volumen total de m2 útiles en dos partes iguales?
d) ¿Cree usted que la superficie útil total se concentra en las viviendas de pocas familias?
Cuantifíquelo.
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e) Si la superficie construida se puede obtener incrementando en un 30 % la superficie útil, ¿cuál
sería la superficie construida media? ¿Será más representativa esta superficie que la superficie
media útil?
30. En la empresa X se está debatiendo entre los sindicatos y la dirección de la misma la subida salarial
a aplicar en el convenio colectivo para el año 2003. Después de estudiar la distribución salarial
correspondiente al año 2002, que se presenta como ANEXO I, se ha llegado al acuerdo de plantear una
subida lineal para todos los trabajadores de 200 € en los salarios mensuales. A partir de ese
planteamiento, se le pide que valore razonadamente si:
a) La dispersión relativa de los salarios respecto de su media ha mejorado. Calcule la dispersión
relativa de los salarios en 2002 e indique razonadamente cómo variaría la misma en 2003.
b) La equidad en el reparto de la masa salarial global en la empresa tras la modificación propuesta
es alta.
c) ¿Cuál sería el salario mínimo que cobrarían el 20 % delos trabajadores que más ganan en 2003?
ANEXO I: Distribución de la masa salarial global mensual en el año 2002
Salarios (€) Masa salarial Número Trabajadores
900-1.000 92.500 100
1.000-1.150 143.000 130
1.150-1.250 183.750 150
1.250-1.450 162.000 120
1.450-1.800 160.000 100
TOTAL 741.250 600
31. En una conocida y visitada zona playera de nuestro litoral, se está realizando un estudio sobre el
precio de las copas en los chiringuitos situados en dichas playas. Para ello, se recogió información a
partir de una muestra de 112 establecimientos de esta categoría, en un día cualquiera de verano,
agrupándose posteriormente en intervalos y resultando la siguiente distribución:
Precio (€) Nº copas
2-5 125
5-8 110
8-12 75
12-15 30
Más 15 5
Se conoce, así mismo, que el importe de las ventas procedente de las copas más caras en el día
analizado fue de 100 €. Con esta información, se desea conocer, para este día:
a) ¿Cuál es el precio medio de una copa en los establecimientos analizados? ¿Es representativo?
Cuantifique y razone su respuesta.
b) ¿Qué porcentaje de copas tiene un precio inferior a 12,25 €? ¿Cuál es el precio mínimo del 25
% de las copas más caras? Cuantifique y razones sus respuestas.
c) ¿Cuál es el precio más frecuente en este tipo de establecimientos?
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d) Si se decide aumentar el precio un 1,5 %, ¿cómo afectaría este hecho a las cuestiones analizadas
anteriormente?
32. Se ha realizado un estudio en 100 explotaciones agrarias dedicadas a la producción de fresas en la
provincia de Huelva para la campaña del pasado año, obteniéndose la siguiente información:
Producción anual
(miles de toneladas)
Número de explotaciones Producción anual total
(miles de toneladas)
Menos de 1’5 60 58’26
1’5 – 3’5 20 43’15
3’5 – 5’0 11 42’02
Más de 5’0 9 384’26
Conocemos también que la superficie total cultivada de estas explotaciones agrarias es de 211’66 km2.
A partir de esta información:
a) Calcular la producción anual media y la superficie media cultivada. Cuantifique la
representatividad de la producción anual media.
b) ¿Qué producción mínima ha de tener una explotación agraria para encontrarse entre el 10 % de
las explotaciones más productivas?
c) ¿Cuál es el número de explotaciones con una producción anual entre 2 y 5 miles de toneladas?
d) ¿Está concentrada la producción anual en un escaso número de explotaciones agrarias?
Justifique su respuesta gráfica y analíticamente.
33. La empresa MAMPABAÑO, distribuidora nacional de accesorios para cuartos de baño, consciente
de las enormes dificultades que va a entrañar la negociación colectiva para este año, decide realizar un
estudio previo sobre los salarios que cobran sus trabajadores, a partir de la distribución de los mismos
para el año 2003:
Categoría
Profesional
Salario Anual
(102 €)
Empleados Volumen Total de Salario
(104 €)
A 90-110 30 31,5
B 110-130 60 69
C 130-170 90 135
D 170-190 90 166,5
E 190-230 30 60
A partir de tales datos, y de acuerdo a sus conocimientos de estadística, responda razonadamente a las
siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el salario más habitual entre los trabajadores de esta empresa?
b) ¿Qué salario debe tener un empleado para que el número de personas que cobran más que él
fuese igual al del número de personas que cobran menos?
c) ¿Cuál es el salario mínimo que debe tener un empleado para encontrarse dentro del 20 % que
más cobran?
d) ¿Cree usted que en esta empresa existe una distribución equitativa de los salarios?
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e) La empresa planea ofrecer a los sindicatos un 10 % de subida para el sueldo de todos sus
trabajadores. ¿Cuál sería el sueldo medio antes y después de la subida? ¿La dispersión aumentaría o
disminuiría después de esta subida?
34. Una empresa proveedora de servicios de acceso a Internet tiene una cartera de 1900 clientes en una
zona geográfica. Las edades de estos clientes están recogidas en la siguiente tabla, en donde figuran las
frecuencias acumuladas relativas referentes a cada intervalo de edad, expresadas en términos
porcentuales:
Edad Fi
(18,25] 17
(25,35] 45
(35,50] 77
(50,70] 100
A partir de tal información, se pide:
a) Represente el histograma de frecuencias absolutas referente a esta distribución.
b) Para el conjunto de clientes con edades no mayores de 50 años, ¿cuál sería la edad mediana?
c) Cuantifique e interprete el grado de dispersión relativa de las edades del colectivo.
d) Si tuviésemos que dirigir una campaña de marketing al 90 % central de edades, ¿a qué
intervalos de edades estaría dirigida dicha campaña?
e) ¿Podría valorar el grado de simetría de la distribución de edades? Responda cuantificando la
simetría a través de la determinación del coeficiente de asimetría de Pearson.
35. Las ventas mensuales (en 102 litros) de una conocida marca de limonada en los diversos
establecimientos en que se vende en una determinada zona geográfica, se recogen en una variable
estadística, cuya tabla de frecuencias se especifica a continuación:
Ventas Nº establecimientos
[20 , 22] 24
(22 , 25] 30
(25 , 30] 35
(30 , ?] 22
a) Se sabe que la media aritmética de las ventas, calculada a través de las correspondientes marcas
de clase, se situó, para esta distribución, en los 2650 litros. A partir de la información suministrada,
cuantifique el grado de dispersión relativa. Tenga en cuenta este apartado para la realización de los
siguientes.
b) Represente gráficamente el polígono de frecuencias acumuladas relativas y sitúe en él, de forma
aproximada, la posición de la mediana.
c) Construya la curva de Lorenz y, a partir de ella, razone si se puede afirmar que la venta se
concentra principalmente en unos pocos establecimientos.
d) Se conoce que, por cada grado más de temperatura media diaria, se incrementaría un 5 % el
consumo de esta limonada. ¿Cómo afectaría tal subida a la media, dispersión relativa y
concentración de las ventas analizadas en los apartados a y c?
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36. Una determinada empresa dedicada a la elaboración y venta de mantecados y turrones está
analizando los datos de la pasada campaña, con vistas a plantear nuevas estrategias para el futuro. Los
datos disponibles, muy limitados, hacen referencia a los kilos de estos productos vendidos durante la
pasada campaña durante 90 días. De la información disponible, se conoce acerca de la correspondiente
distribución de frecuencias agrupada en intervalos, las frecuencias absolutas de los mismos y las
correspondientes amplitudes:
Nº días 35 22 17 10 4 2
Amplitudes 5 10 10 30 55 20
Adicionalmente, se conoce también que en el 20% de los días que menos se vendió se alcanzó una cifra
de ventas máxima de 2,5714 kg.
A partir de esta información, se desea conocer:
a) ¿Cuál fue el número medio diario de kilos que se vendió durante los 90 días de la pasada
campaña? ¿Cree usted que dicho número medio es representativo? Cuantifique y razone su
respuesta.
b) ¿Qué número de kilos diario se vendió con mayor frecuencia durante la pasada campaña
navideña?
c) ¿Cuántos kilos se vendieron en total durante la pasada campaña? ¿Cree usted que el total de
kilos vendidos se concentró en pocos días o se repartió a lo largo de toda la campaña? Cuantifique
su respuesta.
d) Si el Kilo de estos productos se vendió a 3 € aproximadamente, ¿cuál fue la media de ingresos
de esta empresa? ¿Es representativa dicha media? Cuantifique y razone su respuesta.
37. En una zona de una ciudad se ha efectuado un estudio estadístico sobre la variable “número de
coches por vivienda ocupada”. Los datos del estudio se han recogido en la siguiente tabla:
Automóviles 0 1 2 4 7
Nº de viviendas 2 6 3 2 1
Con esta información, analice las siguientes cuestiones:
a) a) ¿Qué número medio de automóviles por vivienda hay en esa zona? ¿Considera esta media
representativa? Razone su respuesta.
b) b) Represente gráficamente el diagrama acumulativo de frecuencias y señale en el mismo la
posición exacta de la mediana de la variable.
c) c) ¿Considera que el número de automóviles está repartido de forma uniforme entre las
viviendas? Cuantifiquesu respuesta y explique su significado.
d) d) Cuantifique la curtosis de esta distribución de frecuencias y explique su significado para este
caso.
e) e) Si cada vivienda debe pagar por gastos comunitarios derivados del uso de automóvil un fijo
anual de 100 € más 50 € por automóvil, determine la cuantía del pago medio por vivienda y la
varianza de dicho pago.
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38. En el año 2.002 fue constituida una Sociedad Mercantil con el capital inicial aportado por 100
socios, los cuales realizaron su aportación en distinta cuantía. La tabla adjunta muestra la distribución
inicial de dicho capital:
Capital aportado por cada socio
(1033 €)
Número de socios
4’8 38
5’5 25
6’2 18
7 11
7’7 8
A partir de tal información, se desea saber:
a) Si se parte de la hipótesis de que “cada socio es un voto”, ¿cuál sería el valor de la aportación de
aquel socio que divide la sociedad en dos grupos con igual número de votos: “los que menos han
aportado” y “los que más han aportado”?
b) Si el voto estuviese ponderado por el capital aportado, ¿cuál sería el valor de la aportación de
aquel socio que divide la sociedad en dos grupos con igual número de votos: “los que menos han
aportado” y “los que más han aportado”?
c) El presidente del Consejo de administración es elegido entre el 20% de los socios que más
capital han aportado. ¿Qué capital mínimo ha debido aportar un socio para poder ser elegido para
este cargo?
d) Usando las frecuencias relativas (no las acumuladas), represente la distribución anterior con el
diagrama adecuado. A partir de la misma, comente la forma que presenta.
En el año 2.005 se ha realizado una ampliación de capital. La propuesta inicial se situó en un valor
de 4000 € por socio, pero sólo acudieron a la misma los 19 socios que más habían aportado
inicialmente y la mitad de los socios que aportaron en el comienzo 6.200 €, manteniéndose el resto
de los socios con el mismo capital que habían aportado en el año 2.002. Una vez concluida la
ampliación, se desea conocer:
e) ¿Cuál es la nueva distribución del capital aportado por los 100 socios?
f) ¿Cuál es el capital total aportado hasta ahora? ¿Cuál es en la actualidad el capital medio
aportado por cada socio? ¿Cuál es la representatividad de dicho capital medio?
39.Una oficina de consumidores y usuario ha llevado a cabo una investigación sobre el precio del litro de
aceite virgen de calidad extra, en euros, en un cierto número de establecimientos comerciales de la
provincia, obteniendo la siguiente información:
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PRECIO DEL
LITRO
PORCENTAJE DE
COMERCIOS
[3 , 3’5] 20
(3’5 , 4] 30
(4 , 5] 40
(5 , 5’5] 10
SUMA 100
Se sabe que de los comercios investigados, hay 75 en los que el litro de aceite tiene un precio superior a
4 €.
Se pide:
a) Representar gráficamente el histograma.
b) Cuál es el precio medio por litro de aceite?
c) ¿Cuál es el precio por litro más frecuente?
d) La organización desea enviar un escrito a aquellos establecimientos que venden el aceite a un
precio superior a 4’8 € por litro.¿Qué proporción de ellos recibirá dicho escrito?
e) Entre los comercios estudiados, se quiere repartir subvenciones con el siguiente criterio: 1.000 €
a cada uno de aquellos que vendan el litro por debajo de 4 €, 500 € a cada uno de aquellos que
vendan el litro entre 4 y 5 € y 100 € a aquellos que lo vendan entre 5 y 5’5 €. Estudiar la
concentración en el reparto de subvenciones.
40. En una empresa de congelados se anota, realizando varias pruebas, a qué temperatura (en ºC) se
congela cierto producto alimenticio, variable X. En la siguiente tabla se muestra la distribución de
frecuencias absolutas acumuladas de X, obtenida tras experiencias repetidas.
X (-8,-6] (-6,-4] (-4,-2] (-2,-1] (-1,0]
Ni 10 28 58 75 90
a) Determine la distribución de frecuencias absolutas y relativas. Represente el histograma de la
distribución utilizando las frecuencias relativas.
b) Halle la temperatura de congelación más frecuente.
c) Cuantifique la dispersión relativa de la distribución respecto a la media.
d) ¿Qué porcentaje de datos soportaría el intervalo (-6,-3)?.
e) Elimine el 10% menor y el 10% mayor de temperaturas ¿Cuál sería el recorrido entre el mínimo
y el máximo valor restantes?
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f) Si se quisiera pasar las temperaturas de la escala centígrada a la escala Fahrenheit ¿cómo
afectaría dicho cambio a la dispersión calculada en el apartado 3? Para responder téngase en
cuenta que la relación existente entre ºC y ºF es la siguiente: ºC=5/9·(ºF-32).