1 2 EDO Variables Separables

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TP1 - Ecuaciones diferenciales a variables separables 
2_ Halle la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales. 
a) 𝑦 = 𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ∈ ℝ 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑎
𝑦
𝑥
 
 
Podemos separar variables: = 𝑎 e integrando miembro a miembro: 
 
𝑑𝑦
𝑦
= 𝑎
𝑑𝑥
𝑥
 
 
ln|𝑦| = 𝑎 ln|𝑥| + ln|𝐶| => 𝑙𝑛|𝑦| = 𝑙𝑛|𝑥| + 𝑙𝑛|𝐶| => 𝑙𝑛|𝑦| = ln (|𝑥| |𝐶|) 
 
 𝑦 = 𝐶|𝑥| 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ∈ ℝ 
 
 
 
b) (1 + 𝑥 ) 𝑑𝑦 = 𝑦 𝑑𝑥 
𝑑𝑦
𝑦
=
𝑑𝑥
1 + 𝑥
 
 
 ∫ 𝑦 𝑑𝑦 = ∫ 
 
2 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) + 𝐶 
 
 
c) + 𝑦 = 𝑦 𝑥 𝑒 
 
= 𝑦 𝑥 𝑒 − 𝑦 => = 𝑦(𝑥 𝑒 − 1) => = (𝑥 𝑒 − 1) 
∫ = ∫(𝑥 𝑒 − 1)𝑑𝑥 la integral ∫ 𝑥 𝑒 con tablas o por integración por partes 
𝑙𝑛|𝑦| = 𝑥 𝑒 − 𝑒 − 𝑥 + 𝐶 => 𝑙𝑛|𝑦| = (𝑥 − 1) 𝑒 − 𝑥 + 𝐶 
 
d) 𝑥 𝑦 = 𝑦 − 𝑥 𝑦 ; 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦(−1) = −1 
 
𝑥 = 𝑦(1 − 𝑥) => = 𝑑𝑥 
𝑑𝑦
𝑦
=
1
𝑥
−
1
𝑥
 𝑑𝑥 
 
𝑙𝑛|𝑦| = − − 𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶 Solución General 
 
Para la curva que pasa por el punto (-1;-1): 𝑙𝑛|−1| = − − 𝑙𝑛|−1| + 𝐶 => 𝐶 = −1 
 
𝑙𝑛|𝑦| = − − 𝑙𝑛|𝑥| − 1 Solución Particular => |𝑦| =
| |
 => 𝑦 = 𝑒
− 1𝑥+1
𝑥
 
 
 
3_ Problemas de formación de ecuaciones diferenciales 
 
a) Demuestre que la curva tal que la pendiente de la tangente en cada punto es 
proporcional a la abscisa del punto de tangencia, es una parábola. 
Como existe una relación biunívoca entre derivada y pendiente de recta tangente a una curva, del 
enunciado se puede expresar matemáticamente que: 𝑦 = 𝑘 𝑥 que es una ecuación diferencial a 
variables separables, que vamos a resolver: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑘 𝑥 => 𝑑𝑦 = 𝑘 𝑥 𝑑𝑥 => 𝑑𝑦 = 𝑘 𝑥 𝑑𝑥 
Siendo su solución general: 𝑦 = 𝑘 𝑥 + 𝐶 que claramente es una familia de parabolas 
 
b) Halle una curva que pase por el punto (0; -2) de tal modo que el coeficiente angular de 
la tangente en cada punto sea igual a la ordenada a ese punto. 
Sabiendo que el coeficiente angular de la recta tangente es la pendiente. La ecuación diferencial 
que resulta del enunciado es: 𝑦 = 𝑦 ED a variables separables que podemos resolver: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 =>
𝑑𝑦
𝑦
 = 𝑑𝑥 =>
𝑑𝑦
𝑦
= 𝑑𝑥 
Siendo su solución general: 𝑙𝑛|𝑦| = 𝑥 + 𝐶 
si queremos hallar la curva que pase por (0; - 2) => 𝑙𝑛|−2| = 0 + 𝐶 => C = ln 2 
𝑙𝑛|𝑦| = 𝑥 + 𝑙𝑛2 => |𝑦| = 𝑒 => |𝑦| = 2 𝑒 => 𝑦 = ±2 𝑒 
La solución buscada es: 𝑦 = −2 𝑒