ALGEBRA SEM 09 - 2022 II

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Centro Preuniversitario de la UNS S-09 Ingreso Directo 
x 4 
 ALGEBRA 
Ciclo 2022-II 
“FACTORIZACIÓN- II” 
 
Semana Nº 09 
 
FACTORIZACIÓN II 
MÉTODO DEL ASPA DOBLE. 
Se emplea para factorizar polinomios que tienen la 
siguiente forma general: 
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F 
* Se trazan dos aspas simples entre los términos: 
Ax2  Cy2 ; Cy2  F 
* Se traza un aspa grande entre los extremos: 
Ax2  F 
* Se verifican las aspas simples y el aspa grande: 
* Se forman factores como en el método anterior 
(horizontalmente). 
 
Ejemplo: 
1). Factorizar: x2 + 5xy + 4y2 + 2x + 5y + 1 
x2 + 5xy + 4y2 + 2x + 5y + 1 
x 4y 1 
x y 1 
 (x + 4y + 1) (x + y + 1) 
MÉTODO DOBLE ESPECIAL. 
Se utiliza para factorizar polinomios de 4º grado de la 
forma general: 
Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E 
* Se aplica un aspa simple en los términos 
extremos: 
Ax4  E 
* El resultado se resta del término central: Cx2. 
* Expresar la diferencia en dos factores y colocarlos 
debajo del término central 
* Luego se aplican dos aspas simples, y se toman 
horizontalmente. 
Ejemplo: 
1. Factorizar: 6x4 – 13x3 + 7x2 + 6x – 8 
6x4 – 13x3 + 7x2 + 6x – 8 
Se descompone 5x2 en dos factores (-5x)(-x) que 
se ubican bajo el término central. 
6x4 – 13x3 + 7x2 + 6x – 8 
3x2 -5x 4 
2x2 -x -2 
 (3x2 – 5x + 4) (2x2 – x -2) 
 
MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS. 
Este método se emplea para factorizar polinomios 
de una sola variable y de cualquier grado, cuya 
única condición fundamental es que acepten al 
menos un factor de primer grado. 
* Determinación de los posibles ceros: 
Posiblesceros 
DivisoresT.I 
DivisoresTérm.MayorGrado 
 
Ejemplo: 
1. Factorizar: P(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6 
PC  1, 2, 3, 6  1, 2, 3, 6 
1 
x = -1 (Aplicando Ruffini) 
 1 2 -5 -6 
-1  -1 -1 6 
 1 1 -6 0 
 (x + 1) (x2 + x - 6) (x + 1) (x + 3) )(x - 2) 
MÉTODO POR SUMA Y RESTA. 
Se basa en el siguiente principio: 
“Si a una expresión se le suma y resta una 
misma expresión, la expresión inicial no varía”. 
 
Ejemplo: 
1. Factorizar: P(x) = x4 + 2x2 + 9 
*  x 2 doble producto: 2(x2)(3) 
 6x2 
 
 P(x) = x4 + 2x2 + 9 + 4x2 – 4x2 
9 3 
3x2 4 
2x2 -2 
Verificamos: -6x2 + 8x2 = 2x2 
 7x2 - 2x2 = 5x2 
 
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x, y 
x, y 
a,b 
 x2 + 6x2 + 9 - 4x2 
(x2 + 3)2 - 4x2 
 (x2 + 3 + 2x) (x2 + 3 - 2x) 
(x2 + 2x + 3) (x2 - 2x + 3) 
 
 
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.). 
 
* Se factoriza las expresiones y el M.C.D. 
estará formado por los factores comunes con 
su menor exponente. 
 
 
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.). 
 
* Se factoriza estas expresiones y el 
M.C.M. se formará con los factores comunes 
y no comunes con su mayor exponente. 
 
 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
 
1. Factorizar e indicar uno de los términos 
b) (4z2 – 3y2 - 2) (5z2 + 7y3 + 3) 
c) (5z2 – 3y2 + 2) (4z2 + 7y3 – 3) 
d) (4z2 – 3y2 + 2) (5z2 + 7y3 – 3) 
e) (2z2 – 3y2 + 2) (10z2 + 7y3 – 3) 
 
 
4. Factorizar e indicar los factores primos. 
P(x;y;z) =12x2 –4y2–12z2 – 2xy + 7xz + 14 yz 
a) (3x – 2y -4z) (4x + 2y +3z) 
b) (3x – 2y +3z) (4x + 2y –4z) 
c) (3x + 2y -4z) (4x + 2y +3z) 
d) (3x + 2y +4z) (4x - 2y –3z) 
e) (3x – 2y +4z) (4x + 2y –3z) 
 
5. Factorizar y dar como respuesta la 
suma de coeficientes de un factor 
primo de: 
independientes delos F.P del polinomio. Aa,b  2a
4
  22a 15a
2
  7a
3
  8 
M  3x
2
 14x  8y
2
 10 xy 15  22 y 
a) -5 b) -3 c) 1 d) 3 e) 4 
 
2. Factorizar y dar como resp. La suma de 
los términos independientes delos F.P 
del polinomio. 
T   20 x
2  22 yx  6 y2  33x 17 y  7 
 
a) 8 b) 1 c) -8 d) 7 e) -6 
 
3. Factorizar e indicar los factores primos. 
 
F(z;y) = 20 z4 – 21 y6 + 13 z2 y3 – 2z2 + 23 y3 – 6 
 
a) (5z2 – 3y2 + 2) (4z2 + 7y3 – 3) 
a) 5 b) 4 c) 3 d) 7 e) 6 
 
6. Factoriza y dar como respuesta la 
suma de coeficientes de un F.P de: 
A  6a
6
  5a
5
  6a
4
 13a
2
  6 
a) 3 b) 4 c) -8 d) 7 e) -3 
 
7. Factorizar e indicar los factores primos 
de: 
Q(x)= 20x
4
 + 2x
3
 – 11x
2
 + 19 x – 15 
a) (4x2 – 2x - 3) (5x2 - 3x + 5) 
b) (4x2 – 2x + 3) (5x2 +3x – 5) 
c) (4x2 – 2x - 3) (5x2 +3x – 5) 
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Nota rápida
(2a^2 + 5a + 2)(a^2 + a + 4)
(a+2)(2a+1)(a^2 + a + 4)
M. Loyola
Nota rápida
(3a^3 + 2a^2 + 3)(2a^3 - 3a^2 - 2)
M. Loyola
Rectángulo
M. Loyola
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-3
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(5x+3y-7)(4x+2y-1)
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x 
x 
d) (4x2 – 2x -3) (5x2 +3x + 5) 
e) (5x2 – 2x + 3) (4x2 +3x – 5) 
 
8. Factorizar e indicar los factores primos 
de: 20 x4n + 7x3n – 19 x2n + 19xn – 15 
 
a) (5x2n – 2xn + 3) (4x2n + 3xn – 5) 
b) (5x2n +2xn + 3) (4x2n -3xn – 5) 
c) (5x2n – 2xn -3) (4x2n + 3xn +5) 
d) (5x2n – 2xn +5) (4x2n + 3xn – 3) 
e) (5x2n – 2xn + 3) (4x2n -3xn – 5) 
 
9. Factorizar e indicar uno de los factores 
primos de: 
G(x) = 6x4 - 35x3 + 62x2 - 35 x + 6 
a) (3x + 1) 
b) (2x – 1) 
c) (x+ 2) 
d) (2x – 3) 
e) (x - 1) 
 
10. Factorizar: 
N   2x
3
  5x
2
  x  2 
Indicar la cantidad de los factores 
primos lineales. 
 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 0 e)1 
 
11. Factorizar e indicar 
¿Cuántos factores primos, lineales 
tiene el polinomio?. 
 
P   x
4  x3  7x2  x  6 
a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 0 
 
12. Factorizar e indicar los factores primos. 
F(x) = x4 – 2x3 – 16 x2 + 2x + 15 
 
a) (x –1) (x +1) (x +5) (x+3) 
b) (x –1) (x +1) (x +5) (x-3) 
c) (x –1) (x +2) (x –5) (x+3) 
d) (x –2) (x +1) (x –5) (x+3) 
e) (x –1) (x +1) (x –5) (x+3) 
 
13. Factorizar: 
F(x) = 6x5 + 13x4–29 x3– 43 x2 – x + 6. 
Indicar sus factores primos lineales. 
a) (x - 1)(2x + 1)(3x – 1)(x + 3)(x + 2) 
b) (x + 1)(2x - 1)(3x + 1)(x + 3)(x – 2) 
c) (x - 1)(2x + 1)(3x – 1)(x + 3)(x – 2) 
d) (x + 1)(2x + 1)(3x – 1)(x + 3)(x – 2) 
e) (x + 2)(2x + 1)(3x – 1)(x + 3)(x – 2) 
 
14. ¿Cuántos factores lineales presenta.? 
P(x;y)  x  y
4 
 x4  y4 
 
a) 0 b) 4 c) 2 d) 1 e) 3 
 
15. Luego de factorizar ; Indicar un factor 
primo de: 
M(x;y) = 648x8 - 342x4y2 + 576x4 + 128 - 152y2 + 45y4 
 
a) (x - 1)(2x + 1)(3x – 1)(x + 3)(x + 2) 
b) (x + 1)(2x - 1)(3x + 1)(x + 3)(x – 2) 
c) (x - 1)(2x + 1)(3x – 1)(x + 3)(x – 2) 
d) (x + 1)(2x + 1)(3x – 1)(x + 3)(x – 2) 
e) (x + 2)(2x + 1)(3x – 1)(x + 3)(x – 2) 
M. Loyola
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M. Loyola
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M. Loyola
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(3x^2 - 7x + 2)(2x^2 - 7z + 3)
 (3x-1)(x-2)(2x-1)(x-3)
M. Loyola
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M. Loyola
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(x-1)(2x^3 -3x^2 -2x)
x(x-1)(2x^2 -3x^1 -2)
x(x-1)(2x+1)(x-2)
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16. Factorizar: 
M(x;y)= 648x8 - 342x4y2 + 576x4 + 128 - 152y2 + 45y4; 
Se obtiene: 
 
a) (25x4 - 3y2 + 4)(6x4 - 5y2 + 4) 
b) (36x4 - 9y2 - 16)(18x4 - 5y2 + 8) 
c) (18x4 + 9y2 + 16)(36x4 - 5y2 + 8) 
d) (18x4 - 9y2 + 14)(16x4 - 5y2 + 12) 
e) (36x4 - 9y2 + 16)(18x4 - 5y2 + 8) 
 
17. Factorizar: 
P(x)= x5 - 2x4 - 15x3 + 30x2 – 16x + 32; 
Indicar sus factores primos. 
a) (x + 2)(x - 4) (x + 4)( x2+ 1) 
b) (x - 2)(x + 4) (x2 - 2)( x2- 1) 
c) (x + 2)(x - 4) (x + 4)( x2+ 1) 
d) (x - 2)(x - 4) (x + 4)( x2+ 1) 
e) (x - 2)(x - 4) (x + 4)( x2+ 1) 
 
18. Factorizar: 
Señalar los factores primos: 
A(p,q,r)= 6p2 – 20q2 - 14r2 + 7pq +38qr-17pr 
a) (3p – 4q + 2r)(2p + 5q - 7r) 
b) (3p – 4q + 2r)(2p - 5q - 7r) 
c) (3p – 4q - 2r)(2p + 5q - 7r) 
d) (3p + 4q + 2r)(2p + 5q - 7r) 
e) (3p – 4q - 2r)(2p - 5q - 7r) 
19. Factorice: 36x4 + 15x2 + 4 e indique, el 
coeficiente de un término lineal de un 
factor 
 
a) 1 b) - 2 c) 2 d)3 e) 5 
20. Factorizar: 
M(x) = (3x2 - 4x)2 -19(3x2 - 4x) + 60 
a) (3x+ 2)(x - 4)(3x + 2)(x - 2) 
b) (3x- 5)(x - 3)(3x - 2)(x- 2) 
c) (3x+ 5)(x - 3)(3x + 2)(x - 1) 
d) (3x+ 5)(x - 3)(3x + 2)(x - 2) 
e) (3x+ 1)(x - 3)(3x - 2)(x + 2) 
21. Factorizar: 
R(x) = 16x8 -17x4 + 16 e indicar uno delos 
factores. 
a) 4x4-7x2 + 4 b) 4x2 -x + 2 
c) 2x2 + x + 1 d) 2x4 –7x2 + 4 
e) 2x2 - x - 2 
 
22. Al Factorizar: 
R(a) = a5 - a4 -13a3 + 13a2 + 36a -36 
determinar la cantidad de factores primos. 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 7 e) 6 
 
23. Factorizar : 
P(x) = 15x2 +14xy + 3y2 + 41x + 23y +14 . 
Hallar la suma de coeficientes de uno de 
los factores. 
a) 6 b) 8 c) 9 d) 7 e) 10 
24. ¿Cuantos factores primos presenta la 
expresión algebraica?. 
Q(x) = x7 - 2x5 - 1 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
25. Factorizar: 
Bx, y, z  x2 y  z3  y2 z  x3  z2 x  y3 
Indicar uno delosF.P. 
a) x-y b) z+y c) x+y 
d) z-y e) (xy+zx-yz) 
26. ¿Señalar la suma delos F.P de P(x).? 
px; y; z  x4  2y2  z2 x2  y2  z2 2 
a) 2x b) 8y c) 2z d) 4z e) 4x 
M. Loyola
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M. Loyola
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=(x+1)(x^6 -x^5 -x^4 +x^3 -x^2 +x -1)
=(x+1)(x^3 -x +1)(x^3 -x^2 -1)