PROBABILIDAD Y ESTADISTICA BASICA PARA INGENIEROS-9

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Definición: Mediana Muestral 
 
 x~=
n 1( )
2
n n( ) ( 1)
2 2
X , si n es impar
1 (X X ), si n es par
2
+
+



+

 
 
 
Ejemplo: Si los datos son 2, 6, 11, 8, 11, 4, 7, 5 
Los datos ordenados: 2, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 11, entonces x~= 1(6 7) 6.5
2
+ = 
 
Las medidas de tendencia central no son suficientes para describir de manera completa el 
comportamiento de los datos de una muestra. Se necesitan otras medidas. 
 
 
2.7 MEDIDAS DE DISPERSIÓN 
Son números que proveen información adicional acerca del comportamiento de los datos, 
describiendo numéricamente su dispersión. 
 
2.7.1 RANGO 
Es la diferencia entre el mayor valor y el menor valor de los datos de la muestra. 
 
Definición: Rango 
 
R = X(n) – X(1) 
 
 
 
Ejemplo. Si los datos son 2, 6, 11, 8, 11, 4, 7, 5 
 
Entonces el rango es: R = 11 – 2 = 9 
 
 
2.7.2 VARIANZA MUESTRAL 
Esta medida cuantifica las distancias de los datos con respecto al valor de la media muestral 
 
Definición: Varianza Muestral 
 
 
n
2
i
2 i 1
(X X)
S
n 1
=
−
=
−
∑
 Fórmula para calcular la varianza 
 
n n
2 2
i i
2 i 1 i 1
n X ( X )
S
n(n 1)
= =
−
=
−
∑ ∑
 Fórmula alternativa para calcular la varianza 
 
El motivo que en el denominador se escriba n – 1 en lugar de n (que parece natural), se 
justificará formalmente en el estudio de la Estadística Inferencial. 
 
Ambas fórmulas son equivalentes. Se puede demostrar mediante desarrollo de las sumatorias 
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Ejemplo. Si los datos son 2, 6, 11, 8, 11, 4, 7, 5 y se ha calculado que X = 6.75 
 
Entonces la varianza es 
S2 = 
2 2 2(2 6.75) (6 6.75) ... (5 6.75)
7
− + − + + − = 10.2143 
 
 
2.7.3 DESVIACIÓN ESTÁNDAR MUESTRAL 
Es la raíz cuadrada positiva de la variancia. La desviación estándar muestral o desviación típica 
está expresada en las mismas unidades de medida que los datos de la muestra 
 
Definición: Desviación Estándar Muestral 
 
 = + 2S S 
 
 
Ejemplo. Calcule la desviación estándar para el ejemplo anterior. 
 
Si la varianza es S2 = 10.2143, entonces, la desviación estándar es 
S = 2S 10.2143= = 3.196 
 
 
2.8 MEDIDAS DE POSICIÓN 
Son números que distribuyen los datos ordenados de la muestra en grupos de aproximadamente 
tamaño con el propósito de resaltar su ubicación relativa. Estos números se denominan 
cuantiles en forma genérica. 
 
2.8.1 CUARTILES 
Son números que dividen a los datos de la muestra en grupos de tamaño aproximado de 25%. 
 
Primer Cuartil (Q1) 
A la izquierda de Q1 están incluidos 25% de los datos (aproximadamente) 
A la derecha de Q1 están el 75% de los datos (aproximadamente) 
 
Segundo Cuartil (Q2) 
Igual que la mediana divide al grupo de datos en dos partes, cada una con el 50% de los datos 
(aproximadamente) 
 
Tercer Cuartil (Q3) 
A la izquierda de Q3 están incluidos 75% de los datos (aproximadamente) 
A la derecha de Q3 están el 25% de los datos (aproximadamente) 
 
Ejemplo. Suponer que una muestra contiene 40 datos ordenados: 
 X(1), X(2), ... , X(40). Calcular Q1, Q2, Q3 
 
Q1: 25% de 40 = 10 
Por lo tanto: Q1 = (X(10) + X(11))/2 
 
Q2: 50% de 40 = 20 es igual a la mediana 
 Q2 = (X(20) + X(21))/2 
 
Q3: 75% de 40 = 30 
Q3 = (X(30) + X(31))/2 
25 
 
 
 
2.8.2 DECILES 
Son números que dividen a los datos de la muestra en grupos de tamaño aproximado de 10%. 
 
Primer Decil (D1) 
A la izquierda de D1 están incluidos 10% de los datos (aproximadamente) 
A la derecha de D1 están el 90% de los datos (aproximadamente) 
 
Segundo Decil (D2) 
A la izquierda de D2 están incluidos 20% de los datos (aproximadamente) 
A la derecha de D2 están el 80% de los datos (aproximadamente) 
Etc. 
 
Ejemplo. Suponer que una muestra contiene 40 datos ordenados: 
 X(1), X(2), ... , X(40). Calcular D1 
 
D1: 10% de 40 = 4 
Por lo tanto: D1 = (X(4) + X(5))/2 
 
 
2.8.3 PERCENTILES (O PORCENTILES) 
Son números que dividen a los datos de la muestra en grupos de tamaño aproximado de 1%. 
 
Primer Percentil (P1) 
A la izquierda de P1 están incluidos 1% de los datos (aproximadamente) 
A la derecha de P1 están el 99% de los datos (aproximadamente) 
 
Segundo Percentil (P2) 
A la izquierda de P2 están incluidos 2% de los datos (aproximadamente) 
A la derecha de P2 están el 98% de los datos (aproximadamente) 
Etc. 
 
Ejemplo. Suponer que una muestra contiene 400 datos ordenados: 
 X(1), X(2), ... , X(400). Calcular P1, P82 
 
P1: 1% de 400 = 4 
Por lo tanto: P1 = (X(4) + X(5))/2 (Percentil 1) 
 
P82: 82% de 400 = 328 (Percentil 82) 
P82 = (X(328) + X(329))/2 
 
 
2.9 COEFICIENTE DE VARIACIÓN 
Es un número que se usa para comparar la variabilidad de los datos de diferentes grupos. Es 
una medida adimensional. 
 
Definición: Coeficiente de Variación 
 V = S
X
 
 
Ejemplo: Para un grupo de datos X = 20, S = 4, entonces v = 4/20 = 0.2 = 20% 
 Para un segundo grupo X = 48, S = 6, entonces v = 6/48 = 0.125 = 12.5% 
Se concluye que el primer grupo tiene mayor variabilidad relativa con respecto a su media. 
	2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
	2.7 MEDIDAS DE DISPERSIÓN
	2.7.1 RANGO
	2.7.2 VARIANZA MUESTRAL
	2.7.3 DESVIACIÓN ESTÁNDAR MUESTRAL
	2.8 MEDIDAS DE POSICIÓN
	2.8.1 CUARTILES
	2.8.2 DECILES
	2.8.3 PERCENTILES (O PORCENTILES)
	2.9 COEFICIENTE DE VARIACIÓN
	2.9.1 EJERCICIOS