introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-117

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TABLA 8.6 
●
 Valores muestrales para opinión sobre propuesta de bono
 Sección en desarrollo Resto de la ciudad
Tamaño muestral 50 100
Número a favor de propuesta 38 65
Proporción a favor de propuesta .76 .65
ESTIMACIÓN PUNTUAL DE MUESTRA GRANDE 
DE (p1 � p2)
Estimador puntual: ( p̂1 � p̂2)
95% de margen de error: � 1.96 SE � �1.96 �
_________
 
p̂1q̂1 ____ n1 � 
p̂2q̂2 ____ n2
 
UN INTERVALO DE CONFIANZA DE MUESTRA 
GRANDE (1 � a)100% PARA (p1 � p2)
( p̂1 � p̂2) � za/2 �
_________
 
p̂1q̂1 ____ n1 � 
p̂2q̂2 ____ n2
 
Suposición: n1 y n2 deben ser sufi cientemente grandes para que la distribución 
muestral de ( p̂1 � p̂2) puede ser aproximado por una distribución normal, es decir, si 
n1p̂1, n1q̂1, n2p̂2 y n2q̂2 son todas mayores a 5.
La propuesta de un bono para la construcción de una escuela será enviada a los votantes 
en la siguiente elección municipal. Una parte importante del dinero derivado de esta 
emisión de bonos se empleará en construir escuelas en una zona de rápido desarrollo de 
la ciudad y lo demás se usará para renovar y actualizar los edifi cios escolares del resto 
de ésta. Para evaluar la viabilidad de la propuesta de un bono, a una muestra aleato-
ria de n1 � 50 residentes de la zona de rápido desarrollo y n2 � 100 de las otras partes 
de la ciudad, se les preguntó si piensan votar por la propuesta. Los resultados se tabulan en 
la tabla 8.6.
E J E M P L O 8.11
1. Estime la diferencia en las proporciones verdaderas a favor de la propuesta de 
bono con un 99% de intervalo de confi anza.
2. Si ambas muestras se agrupan en una muestra de tamaño n � 150, con 103 a 
favor de la propuesta, dé una estimación puntual de la proporción de residentes 
de la ciudad que votarán para la propuesta del bono. ¿Cuál es el margen de error?
Solución
1. La mejor estimación puntual de la diferencia (p1 � p2) está dada por
( p̂1 � p̂2) � .76 � .65 � .11
 y el error estándar de ( p̂1 � p̂2) se estima como
 �
_________
 
p̂1q̂1 ____ n1 � 
p̂2q̂2 ____ n2
 � �
___________________
 
(.76)(.24)
 ________ 
50
 � 
(.65)(.35)
 ________ 
100
 � .0770
 Para un intervalo de confi anza de 99%, z.005 � 2.58 y el intervalo aproximado de 
confi anza de 99% se encuentra como
 8.7 ESTIMACIÓN DE LA DIFERENCIA ENTRE DOS PROPORCIONES BINOMIALES ❍ 325
Probabilidad_Mendenhall_08.indd 325Probabilidad_Mendenhall_08.indd 325 5/14/10 8:19:36 AM5/14/10 8:19:36 AM
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326 ❍ CAPÍTULO 8 ESTIMACIÓN DE MUESTRAS GRANDES
 EJERCICIOS8.7
( p̂1 � p̂2) � z.005 �
_________
 
p̂1q̂1 ____ n1 � 
p̂2q̂2 ____ n2
 
 .11 � (2.58)(.0770)
 .11 � .199,
 o sea, (�.089, .309). Como este intervalo contiene el valor (p1 � p2) � 0, es 
posible que p1 � p2, lo cual implica que puede no haber diferencia en las propor-
ciones a favor del asunto del bono en las dos secciones de la ciudad.
2. Si no hay diferencia en las dos proporciones, entonces las dos muestras no 
son realmente diferentes y podrían bien combinarse para obtener una estimación 
total de la proporción de los residentes de la ciudad que votarán por el asunto del 
bono. Si ambas muestras se agrupan, entonces n � 150 y
p̂ � 
1
1
0
5
3
0
 � .69
 Por tanto, la estimación puntual del valor total de p es .69, con un margen de 
error dado por
�1.96 �
_________
 
(.69)(.31)
 ________ 
150
 � �1.96(.0378) � �.074
 Observe que .69 � .074 produce el intervalo .62 a .76, que incluye sólo propor-
ciones mayores a .5. Por tanto, si las actitudes de votantes no cambian de 
manera adversa antes de la elección, la propuesta del bono debe aprobarse por 
una mayoría razonable.
TÉCNICAS BÁSICAS
8.50 Muestras aleatorias independientes de n1 � 500 
y n2 � 500 observaciones se seleccionaron de entre las 
poblaciones binomiales 1 y 2, y se observaron x1 � 120 y 
x2 � 147 éxitos.
a. ¿Cuál es el mejor estimador puntual para la diferencia 
(p1 � p2) en las dos proporciones binomiales?
b. Calcule el error estándar aproximado para la 
estadística empleada en el inciso a).
c. ¿Cuál es el margen de error para esta estimación puntual?
8.51 Muestras aleatorias independientes de n1 � 800 
y n2 � 640 observaciones se seleccionaron de las 
poblaciones binomiales 1 y 2, y se observaron x1 � 337 
y x2 � 374 éxitos.
a. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para 
la diferencia (p1 � p2) de las dos proporciones 
poblacionales. Interprete el intervalo.
b. ¿Qué suposiciones deben hacerse para que el 
intervalo de confianza sea válido? ¿Se satisfacen estas 
suposiciones?
8.52 Muestras aleatorias independientes de n1 � 1265 
y n2 � 1688 observaciones se seleccionaron de las 
poblaciones binomiales 1 y 2, y se observaron x1 � 849 y 
x2 � 910 éxitos.
a. Encuentre un intervalo de confianza de 99% para 
la diferencia (p1 � p2) de las dos proporciones 
poblacionales. ¿Qué significa “99% de confianza”?
b. Con base en el intervalo de confianza del inciso a), 
¿se puede concluir que hay una diferencia en las dos 
proporciones binomiales? Explique.
APLICACIONES
8.53 M&M’S ¿La compañía Mars Incorporate, usa 
la misma proporción de dulces rojos en sus variedades 
sencilla y de cacahuate? Una muestra aleatoria de 56 
M&M’S sencillos contenía 12 dulces rojos y otra muestra 
aleatoria de 32 M&M’S de cacahuate contenía ocho 
dulces rojos.
a. Construya un intervalo de confianza de 95% para la 
diferencia en las proporciones de dulces rojos para 
las variedades sencilla y de cacahuate.
Probabilidad_Mendenhall_08.indd 326Probabilidad_Mendenhall_08.indd 326 5/14/10 8:19:36 AM5/14/10 8:19:36 AM
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b. Con base en el intervalo de confianza del inciso a), 
¿se puede concluir que hay una diferencia en las 
proporciones de dulces rojos para las variedades 
sencilla y de cacahuate? Explique.
8.54 Realidades diferentes Los votantes en las 
elecciones de medio periodo de 2006 mostraron que las 
diferencias entre demócratas y republicanos se extienden 
más allá de asuntos de opinión y en realidad incluyen la 
forma en que ven el mundo.12 Los tres problemas más 
importantes mencionados por demócratas y republicanos 
se detallan a continuación.
 1° 2° 3°
Republicanos Terrorismo Economía Guerra de Irak
(n � 995) 42% 41% 37%
Demócratas Guerra de Irak Economía Atención a la salud
(n � 1094) 60% 44% 44%
Utilice un procedimiento de estimación de muestra 
grande para comparar las proporciones de republicanos 
y demócratas que mencionaron la economía como 
un asunto importante en las elecciones. Explique sus 
conclusiones.
8.55 Afi cionados al béisbol El primer día del béisbol 
es a fi nes de marzo y termina en octubre con la Serie 
Mundial. ¿El apoyo de los afi cionados aumenta a medida 
que avanza la temporada? Dos encuestas de la CNN/
USA Today/Gallup, una de ellas realizada en marzo y 
la otra en noviembre, contenían muestras aleatorias de 
1001 adultos de 18 años de edad o más. En la muestra 
de marzo, 45% de los adultos dijeron ser afi cionados del 
béisbol profesional, en tanto que 51 de los adultos de la 
muestra de noviembre dijo que eran afi cionados.13
a. Construya un intervalo de confianza de 99% para la 
diferencia en la proporción de adultos que dicen ser 
aficionados en marzo contra noviembre.
b. ¿Los datos indican que la proporción de adultos que 
dicen ser aficionados aumenta en noviembre, más o 
menos en el tiempo de la Serie Mundial? Explique.
8.56 Béisbol y esteroides Consulte el ejercicio 8.55. 
En la encuesta de opiniones de marzo, suponga que 451 
adultos se identifi caron como afi cionados al béisbol, en 
tanto que otros 550 no eran afi cionados. Se planteó la 
siguiente pregunta:
¿Los jugadores de béisbol de ligas mayores deben o no 
ser examinados para ver si consumen esteroides 
u otras drogas que mejoran el rendimiento?
Suponga que 410 de los afi cionados al béisbol y 505 
de quienes no son afi cionados contestaron en forma 
afi rmativa a esta pregunta.
a. Construya un intervalo de confianza de 95% para la 
diferencia en la proporción de adultos(aficionados 
contra no aficionados) que están a favor de una prueba 
obligatoria de detección de drogas para jugadores 
profesionales de béisbol.
b. ¿Los datos indican que hay una diferencia en la 
proporción de aficionados contra no aficionados que están 
a favor de una prueba obligatoria de detección de drogas 
para jugadores profesionales de béisbol? Explique.
8.57 Pescar un resfrío ¿Las personas cultas tienen 
menos resfriados? Un estudio del Chronicle of Higher 
Education fue realizado por científi cos de la Carnegie 
Mellon University, la Universidad de Pittsburgh y la 
Universidad de Virginia. Encontraron que las personas 
que tienen sólo unas pocas reuniones sociales tienen 
menos resfriados que quienes participan en varias 
actividades sociales.14 Suponga que de los 276 hombres 
y mujeres sanos examinados, n1 � 96 tenían sólo pocas 
reuniones sociales y n2 � 105 estaban ocupados con seis 
o más actividades. Cuando estas personas se exponían al 
virus del resfriado, se observaron los siguientes resultados:
 Pocas reuniones Muchas reuniones
 sociales sociales
Tamaño muestral 96 105
Porcentaje con resfriado 62% 35%
a. Construya un intervalo de confianza de 99% para la 
diferencia en las dos proporciones poblacionales.
b. ¿Parece haber una diferencia en las proporciones 
poblacionales para los dos grupos?
c. Podría pensarse que entrando en contacto con más 
personas llevaría a más resfriados, pero los datos 
muestran el efecto opuesto. ¿Cómo se puede explicar 
este hallazgo inesperado?
8.58 ¡Sindicato, Sí! Un muestreo de candidatos 
políticos, 200 escogidos del Oeste y 200 del Este, se 
clasifi có de acuerdo a si el candidato recibió apoyo de un 
sindicato nacional del trabajo y si el candidato ganó. En el 
Oeste, 120 ganadores tuvieron apoyo sindical y, en el Este, 
142 ganadores tuvieron el apoyo de un sindicato nacional. 
Encuentre un intervalo de confi anza de 95% para la 
diferencia entre las proporciones de ganadores con apoyo 
sindical en el Oeste contra el Este. Interprete este intervalo.
8.59 Orden de nacimiento y éxito universitario En 
un estudio de la relación entre el orden de nacimiento y 
éxito universitario, un investigador encontró que 126 de 
entre una muestra de 180 graduados universitarios eran 
primogénitos o hijos únicos. En una muestra de 100 no 
graduados de edad y nivel socioeconómico comparables, 
el número de primogénitos o hijos únicos fue 54. Estime 
la diferencia entre las proporciones de primogénitos 
o hijos únicos en las dos poblaciones de las cuales se 
tomaron estas muestras. Use un intervalo de confi anza 
de 90% e interprete sus resultados. 
 8.7 ESTIMACIÓN DE LA DIFERENCIA ENTRE DOS PROPORCIONES BINOMIALES ❍ 327
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	8 ESTIMACIÓN DE MUESTRAS GRANDES
	8.7 Estimación de la diferencia entre dos proporciones binomiales
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